En matemáticas , el sistema integrable de Hitchin es un sistema integrable que depende de la elección de un grupo reductivo complejo y una superficie de Riemann compacta , introducido por Nigel Hitchin en 1987. Se encuentra en la encrucijada de la geometría algebraica , la teoría de las álgebras de Lie y la teoría de sistemas integrables . También juega un papel importante en la correspondencia geométrica de Langlands sobre el cuerpo de números complejos a través de la teoría de cuerpos conformes .
Un análogo de género cero del sistema de Hitchin, el sistema de Garnier , fue descubierto por René Garnier algo antes como un cierto límite de las ecuaciones de Schlesinger , y Garnier resolvió su sistema definiendo curvas espectrales. (El sistema de Garnier es el límite clásico del modelo de Gaudin . A su vez, las ecuaciones de Schlesinger son el límite clásico de las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov ).
Casi todos los sistemas integrables de la mecánica clásica pueden obtenerse como casos particulares del sistema de Hitchin o su generalización común definida por Bottacin y Markman en 1994.
Utilizando el lenguaje de la geometría algebraica, el espacio de fases del sistema es una compactificación parcial del fibrado cotangente al espacio de módulos de los fibrados G estables para algún grupo reductivo G , en alguna curva algebraica compacta . Este espacio está dotado de una forma simpléctica canónica . Supóngase para simplificar que , el grupo lineal general ; entonces los hamiltonianos pueden describirse de la siguiente manera: el espacio tangente al espacio de módulos de los fibrados G en el fibrado F es
que por la dualidad de Serre es dual a
¿Dónde está el haz canónico , entonces un par?
llamado par de Hitchin o fibrado de Higgs , define un punto en el fibrado cotangente.
se obtienen elementos en
que es un espacio vectorial que no depende de . Por lo tanto, tomando cualquier base en estos espacios vectoriales, obtenemos funciones H i , que son hamiltonianas de Hitchin. La construcción para el grupo reductivo general es similar y utiliza polinomios invariantes en el álgebra de Lie de G .
Por razones triviales, estas funciones son algebraicamente independientes y algunos cálculos muestran que su número es exactamente la mitad de la dimensión del espacio de fases. La parte no trivial es una prueba de la conmutatividad de Poisson de estas funciones. Por lo tanto, definen un sistema integrable en el sentido simpléctico o de Arnold-Liouville .
La fibración de Hitchin es la aplicación del espacio de módulos de pares de Hitchin a polinomios característicos , un análogo de género superior de la aplicación que Garnier utilizó para definir las curvas espectrales. Ngô (2006, 2010) utilizó fibraciones de Hitchin sobre cuerpos finitos en su prueba del lema fundamental .
