Isomorfismo Harish-Chandra

Isomorfismo de anillos conmutativos construidos en la teoría de álgebras de Lie

En matemáticas , el isomorfismo de Harish-Chandra , introducido por Harish-Chandra  (1951), es un isomorfismo de anillos conmutativos construido en la teoría de álgebras de Lie . El isomorfismo asigna el centro del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie reductiva a los elementos del álgebra simétrica de una subálgebra de Cartan que son invariantes bajo el grupo de Weyl . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})^{W}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle W}$

Introducción y contexto

Sea un álgebra de Lie semisimple , su subálgebra de Cartan y dos elementos del espacio de pesos (donde es el dual de ) y supongamos que se ha fijado un conjunto de raíces positivas . Sean y los módulos de mayor peso con los pesos más altos y respectivamente. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \Phi _{+}}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle V_{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Personajes centrales

Los módulos y son representaciones del álgebra envolvente universal y su centro actúa sobre los módulos mediante multiplicación escalar (esto se deduce del hecho de que los módulos son generados por un vector de peso más alto). Por lo tanto, para y , y de manera similar para , donde las funciones son homomorfismos de a escalares llamados caracteres centrales . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle V_{\mu }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle v\in V_{\lambda }}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ $${\displaystyle x\cdot v:=\chi _{\lambda }(x)v}$$ ${\displaystyle V_{\mu }}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda },\,\chi _{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$

Enunciado del teorema de Harish-Chandra

Para cualquier , los caracteres si y solo si y están en la misma órbita del grupo de Weyl de , donde es la mitad de la suma de las raíces positivas , a veces conocida como el vector de Weyl . ^[1] ${\displaystyle \lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }=\chi _{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda +\delta }$ ${\displaystyle \mu +\delta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \delta }$

Otra formulación estrechamente relacionada es que el homomorfismo de Harish-Chandra desde el centro del álgebra envolvente universal hasta (los elementos del álgebra simétrica de la subálgebra de Cartan fijados por el grupo de Weyl) es un isomorfismo . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})^{W}}$

Isomorfismo explícito

Más explícitamente, el isomorfismo puede construirse como la composición de dos mapas, uno de a y otro de a sí mismo. ${\displaystyle {\mathfrak {Z}}={\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})=S({\mathfrak {h}}),}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})}$

La primera es una proyección . Para una elección de raíces positivas , definiendo como la subálgebra nilpotente positiva y la subálgebra nilpotente negativa correspondientes respectivamente, debido al teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt hay una descomposición Si es central, entonces de hecho La restricción de la proyección al centro es , y es un homomorfismo de álgebras. Esto está relacionado con los caracteres centrales por ${\displaystyle \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \Phi _{+}}$ $${\displaystyle n^{+}=\bigoplus _{\alpha \in \Phi _{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha },n^{-}=\bigoplus _{\alpha \in \Phi _{-}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$$ $${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=U({\mathfrak {h}})\oplus (U({\mathfrak {g}}){\mathfrak {n}}^{+}+{\mathfrak {n}}^{-}U({\mathfrak {g}})).}$$ ${\displaystyle z\in {\mathfrak {Z}}}$ $${\displaystyle z\in U({\mathfrak {h}})\oplus (U({\mathfrak {g}}){\mathfrak {n}}^{+}\cap {\mathfrak {n}}^{-}U({\mathfrak {g}})).}$$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})\rightarrow U({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})}$ $${\displaystyle \chi _{\lambda }(x)=\gamma (x)(\lambda )}$$

El segundo mapa es el mapa de torsión . Visto como un subespacio de éste, se define con el vector de Weyl. ${\displaystyle \tau :S({\mathfrak {h}})\rightarrow S({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \tau (h)=h-\delta (h)1}$ ${\displaystyle \delta }$

Entonces, está el isomorfismo. La razón por la que se introduce esta torsión es que, en realidad, no es invariante respecto de Weyl, pero se puede demostrar que el carácter torcido sí lo es. ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}=\tau \circ \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\chi }}_{\lambda }=\chi _{\lambda -\delta }}$

Aplicaciones

El teorema se ha utilizado para obtener una prueba algebraica de Lie simple de la fórmula de caracteres de Weyl para representaciones irreducibles de dimensión finita. ^[2] La prueba ha sido simplificada aún más por Victor Kac , de modo que solo se requiere el operador cuadrático de Casimir; hay una prueba de tratamiento simplificado correspondiente de la fórmula de caracteres en la segunda edición de Humphreys (1978, pp. 143-144).

Además, es una condición necesaria para la existencia de un homomorfismo distinto de cero de algunos módulos de mayor peso (un homomorfismo de tales módulos conserva el carácter central). Una consecuencia simple es que para los módulos de Verma o módulos de Verma generalizados con el mayor peso , solo existe un número finito de pesos para los cuales existe un homomorfismo distinto de cero . ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle V_{\lambda }\rightarrow V_{\mu }}$

Invariantes fundamentales

Para un álgebra de Lie simple, sea su rango , es decir, la dimensión de cualquier subálgebra de Cartan de . HSM Coxeter observó que es isomorfo a un álgebra polinómica en variables (véase el teorema de Chevalley-Shephard-Todd para una declaración más general). Por lo tanto, el centro del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie simple es isomorfo a un álgebra polinómica. Los grados de los generadores del álgebra son los grados de los invariantes fundamentales dados en la siguiente tabla. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})^{W}}$ ${\displaystyle r}$

El número de invariantes fundamentales de un grupo de Lie es igual a su rango. Los invariantes fundamentales también están relacionados con el anillo de cohomología de un grupo de Lie. En particular, si los invariantes fundamentales tienen grados , entonces los generadores del anillo de cohomología tienen grados . Debido a esto, los grados de los invariantes fundamentales se pueden calcular a partir de los números de Betti del grupo de Lie y viceversa. En otra dirección, los invariantes fundamentales están relacionados con la cohomología del espacio de clasificación . El anillo de cohomología es isomorfo a un álgebra polinómica sobre generadores con grados . ^[3] ${\displaystyle d_{1},\cdots ,d_{r}}$ ${\displaystyle 2d_{1}-1,\cdots ,2d_{r}-1}$ ${\displaystyle H^{*}(BG,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2d_{1},\cdots ,2d_{r}}$

Ejemplos

• Si es el álgebra de Lie , entonces el centro del álgebra envolvente universal es generado por el invariante de Casimir de grado 2, y el grupo de Weyl actúa sobre la subálgebra de Cartan, que es isomorfa a , por negación, por lo que el invariante del grupo de Weyl es el cuadrado del generador de la subálgebra de Cartan, que también es de grado 2. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Para , el isomorfismo de Harish-Chandra dice que es isomorfo a un álgebra polinómica de polinomios invariantes de Weyl en dos variables (ya que la subálgebra de Cartan es bidimensional). Para , el grupo de Weyl es que actúa sobre el CSA en la representación estándar. Dado que el grupo de Weyl actúa por reflexiones, son isometrías y, por lo tanto, el polinomio de grado 2 es invariante de Weyl. Los contornos del polinomio invariante de Weyl de grado 3 (para una elección particular de representación estándar donde una de las reflexiones es a través del eje x) se muestran a continuación. Estos dos polinomios generan el álgebra polinómica y son los invariantes fundamentales para . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=A_{2}={\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle h_{1},h_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}\cong D_{6}}$ ${\displaystyle f_{2}(h_{1},h_{2})=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$
• Para todas las álgebras de Lie en la clasificación, existe un invariante fundamental de grado 2, el Casimir cuadrático . En el isomorfismo, estos corresponden a un polinomio de grado 2 sobre el CSA. Como el grupo de Weyl actúa por reflexiones sobre el CSA, son isometrías, por lo que el polinomio invariante de grado 2 es donde es la dimensión del CSA , también conocido como el rango del álgebra de Lie. ${\displaystyle f_{2}(\mathbf {h} )=h_{1}^{2}+\cdots +h_{r}^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
• Para , la subálgebra de Cartan es unidimensional, y el isomorfismo de Harish-Chandra dice que es isomorfo al álgebra de polinomios invariantes de Weyl en una sola variable . El grupo de Weyl está actuando como reflexión, con un elemento no trivial que actúa sobre polinomios por . Por lo tanto, la subálgebra de polinomios invariantes de Weyl en el álgebra polinómica completa es solo los polinomios pares, generados por . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=A_{1}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle h\mapsto -h}$ ${\displaystyle K[h]}$ ${\displaystyle f_{2}(h)=h^{2}}$

• Para , el grupo de Weyl es , actuando sobre dos coordenadas , y se genera (de manera no mínima) por cuatro reflexiones, que actúan sobre coordenadas como . Cualquier invariante cuártico debe ser par tanto en como , y la invariancia bajo intercambio de coordenadas significa que cualquier invariante cuártico puede escribirse A pesar de ser un espacio vectorial bidimensional, esto aporta solo un nuevo invariante fundamental como yace en el espacio. En este caso, no hay una elección única de invariante cuártico ya que cualquier polinomio con (y no ambos cero) es suficiente. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=B_{2}={\mathfrak {so}}(5)={\mathfrak {sp}}(4)}$ ${\displaystyle D_{8}}$ ${\displaystyle h_{1},h_{2}}$ ${\displaystyle (h_{1}\mapsto -h_{1},h_{2}\mapsto h_{2}),(h_{1}\mapsto h_{1},h_{2}\mapsto -h_{2}),(h_{1}\mapsto h_{2},h_{2}\mapsto h_{1}),(h_{1}\mapsto -h_{2},h_{2}\mapsto h_{1})}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle f_{4}(h_{1},h_{2})=ah_{1}^{4}+bh_{1}^{2}h_{2}^{2}+ah_{2}^{4}.}$ ${\displaystyle f_{2}(h_{1},h_{2})^{2}}$ ${\displaystyle b\neq 2a}$ ${\displaystyle a,b}$

Generalización a álgebras de Lie afines

El resultado anterior es válido para álgebras de Lie reductivas y, en particular, semisimples . Existe una generalización para álgebras de Lie afines mostrada por Feigin y Frenkel que muestra que un álgebra conocida como centro de Feigin-Frenkel es isomorfa a un álgebra W asociada al álgebra de Lie dual de Langlands . ^{[4] [5]} ${\displaystyle ^{L}{\mathfrak {g}}}$

El centro de Feigin-Frenkel de un álgebra de Lie afín no es exactamente el centro del álgebra envolvente universal . Son elementos del álgebra de vértices afín del vacío en el nivel crítico , donde es el número dual de Coxeter para el cual son aniquilados por la parte del álgebra de bucles positiva de , es decir, donde es el álgebra de vértices afín en el nivel crítico. Los elementos de este centro también se conocen como vectores singulares o vectores de Segal-Sugawara . ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\hat {\mathfrak {g}}}))}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k=-h^{\vee }}$ ${\displaystyle h^{\vee }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}}):=\{S\in V_{\text{cri}}({\mathfrak {g}})|{\mathfrak {g}}[t]S=0\}}$$ ${\displaystyle V_{\text{cri}}({\mathfrak {g}})}$

El isomorfismo en este caso es un isomorfismo entre el centro de Feigin-Frenkel y el álgebra W construida asociada al álgebra de Lie dual de Langlands por reducción de Drinfeld-Sokolov : También hay una descripción de como un álgebra polinomial en un número finito de familias contablemente infinitas de generadores, , donde tienen grados y es el (negativo de) el operador de derivada natural en el álgebra de bucles. $${\displaystyle {\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}})\cong {\mathcal {W}}(^{L}{\mathfrak {g}}).}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}})}$ ${\displaystyle \partial ^{n}S_{i},i=1,\cdots ,l,n\geq 0}$ ${\displaystyle S_{i},i=1,\cdots ,l}$ ${\displaystyle d_{i}+1,i=1,\cdots ,l}$ ${\displaystyle \partial }$

Véase también

• Función de traducción
• Carácter infinitesimal

Notas

1. Humphreys 1978, pág. 130.
2. Humphreys 1978, págs. 135-141.
3. Borel, Armand (abril de 1954). "Sur la cohomologie des espaces homogenes des groupes de Lie compacts". Revista Estadounidense de Matemáticas . 76 (2): 273–342.
4. Molev, Alexander (19 de enero de 2021). "Sobre vectores de Segal-Sugawara y elementos de Casimir para álgebras de Lie clásicas". Cartas en física matemática . 111 (8). arXiv : 2008.05256 . doi :10.1007/s11005-020-01344-3. S2CID  254795180.
5. Feigin, Boris; Frenkel, Eduardo; Reshetikhin, Nikolai (3 de abril de 1994). "Modelo Gaudin, Bethe Ansatz y nivel crítico". Comunitario. Matemáticas. Física . 166 : 27–62. arXiv : hep-th/9402022 . doi :10.1007/BF02099300. S2CID  17099900.

Recursos externos

Notas sobre el isomorfismo Harish-Chandra

Referencias

• Harish-Chandra (1951), "Sobre algunas aplicaciones del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie semisimple", Transactions of the American Mathematical Society , 70 (1): 28–96, doi : 10.2307/1990524 , JSTOR  1990524, MR  0044515
• Humphreys, James E. (1978). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 9 (segunda edición revisada). Springer-Verlag . ISBN. 0-387-90053-5.Sr. 0499562  .(Contiene una prueba mejorada de la fórmula del carácter de Weyl).
• Humphreys, James E. (2008), Representaciones de álgebras de Lie semisimples en la categoría O de BGG , AMS, pág. 26, ISBN 978-0-8218-4678-0
• Knapp, Anthony W.; Vogan, David A. (1995), Inducción cohomológica y representaciones unitarias , Princeton Mathematical Series, vol. 45, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-03756-1, Sr.  1330919
• Knapp, Anthony W. (2013) [1996], "V. Representaciones de dimensión finita §5. Isomorfismo de Harish-Chandra", Grupos de Lie más allá de una introducción , Progress in Mathematics, vol. 140, Springer, págs. 246–258, ISBN 978-1-4757-2453-0