Álgebra de Lie afín

En matemáticas , un álgebra de Lie afín es un álgebra de Lie de dimensión infinita que se construye de manera canónica a partir de un álgebra de Lie simple de dimensión finita . Dada un álgebra de Lie afín, también se puede formar el álgebra de Kac-Moody afín asociada, como se describe a continuación. Desde un punto de vista puramente matemático, las álgebras de Lie afines son interesantes porque su teoría de representación , como la teoría de representación de las álgebras de Lie semisimples de dimensión finita , se entiende mucho mejor que la de las álgebras de Kac-Moody generales. Como observó Victor Kac , la fórmula de caracteres para las representaciones de álgebras de Lie afines implica ciertas identidades combinatorias, las identidades de Macdonald .

Las álgebras de Lie afines juegan un papel importante en la teoría de cuerdas y la teoría de campos conforme bidimensionales debido a la forma en que se construyen: comenzando desde un álgebra de Lie simple , se considera el álgebra de bucles , , formada por las funciones -valuadas en un círculo (interpretado como la cuerda cerrada) con conmutador puntual. El álgebra de Lie afín se obtiene añadiendo una dimensión extra al álgebra de bucles y modificando el conmutador de una manera no trivial, lo que los físicos llaman una anomalía cuántica (en este caso, la anomalía del modelo WZW ) y los matemáticos una extensión central . De manera más general, si σ es un automorfismo del álgebra de Lie simple asociado a un automorfismo de su diagrama de Dynkin , el álgebra de bucles torcidos consiste en funciones -valuadas f en la línea real que satisfacen la condición de periodicidad torcida f ( x + 2 π ) = σ f ( x ) . Sus extensiones centrales son precisamente las álgebras de Lie afines retorcidas . El punto de vista de la teoría de cuerdas ayuda a comprender muchas propiedades profundas de las álgebras de Lie afines, como el hecho de que los caracteres de sus representaciones se transforman entre sí bajo el grupo modular . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle L_{\sigma }{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Álgebras de Lie afines a partir de álgebras de Lie simples

Definición

Si es un álgebra de Lie simple de dimensión finita, el álgebra de Lie afín correspondiente se construye como una extensión central del álgebra de bucles , con centro unidimensional . Como espacio vectorial, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } c.}$

${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {g}}}={\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]\oplus \mathbb {\mathbb {C} } c,}$

donde es el espacio vectorial complejo de polinomios de Laurent en la indeterminada t . El corchete de Lie se define por la fórmula ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]}$

${\displaystyle [a\otimes t^{n}+\alpha c,b\otimes t^{m}+\beta c]=[a,b]\otimes t^{n+m}+\langle a|b\rangle n\delta _{m+n,0}c}$

para todos y , donde es el corchete de Lie en el álgebra de Lie y es la forma de Cartan-Killing en ${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {\mathbb {C} } }$ ${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

El álgebra de Lie afín correspondiente a un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita es la suma directa de las álgebras de Lie afines correspondientes a sus sumandos simples. Existe una derivación distinguida del álgebra de Lie afín definida por

${\displaystyle \delta (a\otimes t^{m}+\alpha c)=t{d \over dt}(a\otimes t^{m}).}$

El álgebra afín de Kac-Moody correspondiente se define como un producto semidirecto añadiendo un generador extra d que satisface [ d , A ] = δ ( A ).

Construyendo los diagramas de Dynkin

El diagrama de Dynkin de cada álgebra de Lie afín consiste en el de la álgebra de Lie simple correspondiente más un nodo adicional, que corresponde a la adición de una raíz imaginaria. Por supuesto, dicho nodo no puede unirse al diagrama de Dynkin en cualquier posición, pero para cada álgebra de Lie simple existe un número de posibles uniones igual a la cardinalidad del grupo de automorfismos externos del álgebra de Lie. En particular, este grupo siempre contiene el elemento identidad, y la álgebra de Lie afín correspondiente se denomina álgebra de Lie afín no retorcida . Cuando el álgebra simple admite automorfismos que no son automorfismos internos, se pueden obtener otros diagramas de Dynkin y estos corresponden a álgebras de Lie afines retorcidas .

Clasificación de las extensiones centrales

La adición de un nodo adicional al diagrama de Dynkin de la álgebra de Lie simple correspondiente corresponde a la siguiente construcción. Un álgebra de Lie afín siempre se puede construir como una extensión central del álgebra de bucles de la álgebra de Lie simple correspondiente. Si se desea comenzar en cambio con un álgebra de Lie semisimple, entonces se necesita extender centralmente por un número de elementos igual al número de componentes simples del álgebra semisimple. En física, a menudo se considera en cambio la suma directa de un álgebra semisimple y un álgebra abeliana . En este caso también se necesita agregar n elementos centrales adicionales para los n generadores abelianos. ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$

La segunda cohomología integral del grupo de bucles del grupo de Lie compacto simple correspondiente es isomorfa a los números enteros. Las extensiones centrales del grupo de Lie afín por un solo generador son fibrados de círculos topológicamente sobre este grupo de bucles libre, que se clasifican por una clase doble conocida como la primera clase de Chern de la fibración . Por lo tanto, las extensiones centrales de un grupo de Lie afín se clasifican por un solo parámetro k que se denomina nivel en la literatura de física, donde apareció por primera vez. Las representaciones unitarias de mayor peso de los grupos compactos afines solo existen cuando k es un número natural. De manera más general, si se considera un álgebra semisimple, existe una carga central para cada componente simple.

Estructura

Base de Cartan-Weyl

Como en el caso finito, determinar la base de Cartan-Weyl es un paso importante para determinar la estructura de las álgebras de Lie afines.

Fijemos un álgebra de Lie compleja, simple y de dimensión finita con una subálgebra de Cartan y un sistema de raíces particular . Introduciendo la notación , se puede intentar extender una base de Cartan-Weyl para a una para el álgebra de Lie afín, dada por , con la formación de una subálgebra abeliana. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X_{n}=X\otimes t^{n},}$ ${\displaystyle \{H^{i}\}\cup \{E^{\alpha }|\alpha \in \Delta \}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \{H_{n}^{i}\}\cup \{c\}\cup \{E_{n}^{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{H_{0}^{i}\}\cup \{c\}}$

Los valores propios de y en son y respectivamente e independientemente de . Por lo tanto, la raíz es infinitamente degenerada con respecto a esta subálgebra abeliana. Añadir la derivación descrita anteriormente a la subálgebra abeliana convierte la subálgebra abeliana en una subálgebra de Cartan para el álgebra de Lie afín, con valores propios para ${\displaystyle ad(H_{0}^{i})}$ ${\displaystyle ad(c)}$ ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha ^{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\alpha ^{1},\cdots ,\alpha ^{dim{\mathfrak {h}}},0,n)}$ ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }.}$

Forma de matar

La forma Killing se puede determinar casi por completo utilizando su propiedad de invariancia. Utilizando la notación para la forma Killing en y para la forma Killing en el álgebra afín de Kac-Moody, donde solo la última ecuación no está fijada por invariancia y en su lugar se elige por convención. En particular, la restricción de al subespacio da una forma bilineal con signatura . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle {\hat {B}}(X_{n},Y_{m})=B(X,Y)\delta _{n+m,0},}$$ $${\displaystyle {\hat {B}}(X_{n},c)=0,{\hat {B}}(X_{n},d)=0}$$ $${\displaystyle {\hat {B}}(c,c)=0,{\hat {B}}(c,d)=1,{\hat {B}}(d,d)=0,}$$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle c,d}$ ${\displaystyle (+,-)}$

Escribe la raíz afín asociada con como . Al definir , esto se puede reescribir ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(\alpha ;0;n)}$ ${\displaystyle \delta =(0,0,1)}$ $${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\alpha +n\delta .}$$

El conjunto completo de raíces es Entonces es inusual ya que tiene longitud cero: donde es la forma bilineal de las raíces inducidas por la forma Killing. $${\displaystyle {\hat {\Delta }}=\{\alpha +n\delta |n\in \mathbb {Z} ,\alpha \in \Delta \}\cup \{n\delta |n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\}.}$$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (\delta ,\delta )=0}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

Raíz simple afín

Para obtener una base de raíces simples para el álgebra afín, se debe añadir una raíz simple adicional, que se obtiene mediante donde es la raíz más alta de , utilizando la noción habitual de altura de una raíz. Esto permite la definición de la matriz de Cartan extendida y los diagramas de Dynkin extendidos . $${\displaystyle \alpha _{0}=-\theta +\delta }$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Teoría de la representación

La teoría de representación para álgebras de Lie afines se desarrolla generalmente utilizando módulos de Verma . Al igual que en el caso de las álgebras de Lie semisimples, estos son módulos de mayor peso . No hay representaciones de dimensión finita; esto se deduce del hecho de que los vectores nulos de un módulo de Verma de dimensión finita son necesariamente cero; mientras que los de las álgebras de Lie afines no lo son. En términos generales, esto se deduce porque la forma de Killing es lorentziana en las direcciones, por lo que a veces se las llama "coordenadas de cono de luz" en la cuerda. Los productos de operadores actuales "ordenados radialmente" pueden entenderse como ordenados normalmente de manera temporal al tomar la dirección de manera temporal a lo largo de la hoja del mundo de la cuerda y la dirección espacial. ${\displaystyle c,\delta }$ ${\displaystyle (z,{\bar {z}})}$ ${\displaystyle z=\exp(\tau +i\sigma )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

Representación de rango por vacíoa

Las representaciones se construyen con más detalle como sigue. ^[1]

Fijemos un álgebra de Lie y una base . Entonces es una base para el álgebra de bucles correspondiente, y es una base para el álgebra de Lie afín . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \{J^{\rho }\}}$ ${\displaystyle \{J_{n}^{\rho }\}=\{J^{\rho }\otimes t^{n}\}}$ ${\displaystyle \{J_{n}^{\rho }\}\cup \{c\}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$

La representación de vacío de rango ${\displaystyle k}$ , denotada por donde , es la representación compleja con base y donde la acción de sobre está dada por: ${\displaystyle V_{k}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \{v_{\,n_{1}\,\cdots \,n_{m}}^{\,\rho _{1}\,\cdots \,\rho _{m}}:n_{1}\geq \cdots \geq n_{m}\geq 1,\rho _{1}\leq \cdots \leq \rho _{m}\}\cup \{\Omega \},}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle V=V_{k}({\mathfrak {g}})}$ $${\displaystyle c=k\,{\text{id}}_{V},\qquad J_{n}^{\rho }\Omega =0,\ \mathrm {for} \ n\geq 0,\qquad J_{-n}^{\rho }\Omega =v_{n}^{\rho },\ \mathrm {for} \ n>0,}$$ $${\displaystyle \mathrm {and} \ J_{-n}^{\rho }v_{\,n_{1}\cdots n_{m}}^{\,\rho _{1}\cdots \rho _{m}}=v_{\,n\,n_{1}\cdots n_{m}}^{\,\rho \,\rho _{1}\cdots \rho _{m}}.}$$

Álgebra de vértices afines

De hecho, la representación del vacío puede estar dotada de una estructura de álgebra de vértices, en cuyo caso se denomina álgebra de vértices afín de rango ${\displaystyle k}$ . El álgebra de Lie afín se extiende naturalmente al álgebra de Kac-Moody, con la diferencial representada por el operador de traslación en el álgebra de vértices. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle T}$

Grupo Weyl y personajes

El grupo de Weyl de un álgebra de Lie afín se puede escribir como un producto semidirecto del grupo de Weyl del álgebra de modo cero (el álgebra de Lie utilizada para definir el álgebra de bucles ) y la red de cororraíces.

La fórmula de caracteres de Weyl de los caracteres algebraicos de las álgebras de Lie afines se generaliza a la fórmula de caracteres de Weyl-Kac . De estas se derivan varias construcciones interesantes. Se pueden construir generalizaciones de la función theta de Jacobi . Estas funciones theta se transforman bajo el grupo modular . Las identidades de denominador habituales de las álgebras de Lie semisimples también se generalizan; debido a que los caracteres se pueden escribir como "deformaciones" o análogos q de los pesos más altos, esto condujo a muchas identidades combinatorias nuevas, incluidas muchas identidades previamente desconocidas para la función eta de Dedekind . Estas generalizaciones se pueden ver como un ejemplo práctico del programa Langlands .

Aplicaciones

Debido a la construcción de Sugawara , el álgebra envolvente universal de cualquier álgebra de Lie afín tiene al álgebra de Virasoro como subálgebra. Esto permite que las álgebras de Lie afines sirvan como álgebras de simetría de teorías de campos conformes , como los modelos WZW o los modelos de coset. Como consecuencia, las álgebras de Lie afines también aparecen en la descripción de la teoría de cuerdas en la hoja del mundo .

Ejemplo

El álgebra de Heisenberg ^[2] definida por generadores que satisfacen relaciones de conmutación puede realizarse como el álgebra de Lie afín . ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle [a_{m},a_{n}]=m\delta _{m+n,0}c}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}(1)}$

Referencias

1. Schottenloher, Martin (11 de septiembre de 2008). Una introducción matemática a la teoría de campos conforme. Lecture Notes in Physics. Vol. 759 (2.ª ed.). Berlín: Springer-Verlag. pp. 196–7. doi :10.1007/978-3-540-68628-6. ISBN 978-3-540-68625-5. Recuperado el 16 de enero de 2023 .
2. P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría de campos conforme , 1997, ISBN 0-387-94785-X 

• Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de Lie afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
• Goddard, Peter ; Olive, David (1988), Álgebras de Kac-Moody y Virasoro: un volumen reimpreso para físicos , Serie avanzada en física matemática, vol. 3, World Scientific, ISBN 9971-5-0419-7
• Kac, Victor (1990), Álgebras de Lie de dimensión infinita (3.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-46693-8
• Kohno, Toshitake (1998), Teoría de campos conformes y topología , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2130-X
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), Grupos de bucles , Oxford University Press, ISBN 0-19-853535-X