Paquete adjunto

En matemáticas , un fibrado adjunto ^[1] es un fibrado vectorial asociado naturalmente a cualquier fibrado principal . Las fibras del fibrado adjunto tienen una estructura de álgebra de Lie que convierte al fibrado adjunto en un fibrado algebraico (no asociativo) . Los fibrados adjuntos tienen aplicaciones importantes en la teoría de conexiones , así como en la teoría de gauge .

Definición formal

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie y sea P un G -fibrado principal sobre una variedad suave M. Sea ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})\subset \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}$

sea ​​la representación adjunta (izquierda) de G. El fibrado adjunto de P es el fibrado asociado.

${\displaystyle \mathrm {ad} P=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}}$

El fibrado adjunto también se denota comúnmente por . Explícitamente, los elementos del fibrado adjunto son clases de equivalencia de pares [ p , X ] para p ∈ P y X ∈ tales que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [p\cdot g,X]=[p,\mathrm {Ad} _{g}(X)]}$

para todo g ∈ G . Dado que el grupo de estructura del fibrado adjunto consiste en automorfismos del álgebra de Lie , las fibras naturalmente llevan una estructura del álgebra de Lie que convierte al fibrado adjunto en un fibrado de álgebras de Lie sobre M .

Restricción a un subgrupo cerrado

Sea G un grupo de Lie cualquiera con álgebra de Lie , y sea H un subgrupo cerrado de G. Mediante la representación adjunta (izquierda) de G en , G se convierte en un grupo de transformación topológica de . Al restringir la representación adjunta de G al subgrupo H, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {Ad\vert _{H}} :H\hookrightarrow G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$

Además, H actúa como un grupo de transformación topológica en . Para cada h en H, es un automorfismo del álgebra de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Ad\vert _{H}(h):{\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}}$

Como H es un subgrupo cerrado del grupo de Lie G, el espacio homogéneo M=G/H es el espacio base de un fibrado principal con espacio total G y grupo de estructura H. Por lo tanto , se asegura la existencia de funciones de transición con valores H , donde es una cobertura abierta para M, y las funciones de transición forman un cociclo de funciones de transición en M. El fibrado asociado es un fibrado de álgebras de Lie, con fibra típica , y una aplicación continua induce en cada fibra el corchete de Lie. ^[2] ${\displaystyle G\to M}$ ${\displaystyle g_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\rightarrow H}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \xi =(E,p,M,{\mathfrak {g}})=G[({\mathfrak {g}},\mathrm {Ad\vert _{H}} )]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Theta :\xi \oplus \xi \rightarrow \xi }$

Propiedades

Las formas diferenciales en M con valores en están en correspondencia biunívoca con las formas horizontales G -equivariantes valoradas en el álgebra de Lie en P . Un buen ejemplo es la curvatura de cualquier conexión en P que puede considerarse como una 2-forma en M con valores en . ${\displaystyle \mathrm {ad} P}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} P}$

El espacio de secciones del fibrado adjunto es naturalmente un álgebra de Lie (de dimensión infinita). Puede considerarse como el álgebra de Lie del grupo de Lie de dimensión infinita de transformaciones de calibración de P, que pueden considerarse como secciones del fibrado donde conj es la acción de G sobre sí misma por conjugación (izquierda) . ${\displaystyle P\times _{\mathrm {c} onj}G}$

Si es el fibrado de un fibrado vectorial , entonces tiene fibra el grupo lineal general (ya sea real o complejo, dependiendo de ) donde . Este grupo de estructura tiene álgebra de Lie que consiste en todas las matrices , y estas pueden considerarse como los endomorfismos del fibrado vectorial . De hecho, hay un isomorfismo natural . ${\displaystyle P={\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$ ${\displaystyle r\times r}$ ${\displaystyle \operatorname {Mat} (r)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} {\mathcal {F}}(E)=\operatorname {End} (E)}$

Notas

1. Kolář, Michor y Slovák 1993, págs.161, 400
2. Kiranagi, BS (1984), "Haces de álgebra de Lie y anillos de Lie", Proc. Natl. Acad. Sci. India A , 54 : 38–44

Referencias

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1, Wiley Interciencia , ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Micor, Pedro; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial, Springer, págs. 161, 400, ISBN 978-3-662-02950-3. En formato PDF