Echar para atrás

En matemáticas , un retroceso es uno de dos procesos diferentes, pero relacionados: precomposición y producto de fibra. Su dual es un avance .

Precomposición

La precomposición con una función probablemente proporciona la noción más elemental de retroceso: en términos simples, una función de una variable donde ella misma es una función de otra variable puede escribirse como una función de Este es el retroceso de por la función ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y.}$

$${\displaystyle f(y(x))\equiv g(x)}$$

Es un proceso tan fundamental que a menudo se pasa por alto sin mencionarlo.

Sin embargo, en este sentido no sólo se pueden "retirar" funciones. Los retrocesos se pueden aplicar a muchos otros objetos, como formas diferenciales y sus clases de cohomología ; ver

• Retroceso (geometría diferencial)
• Retroceso (cohomología)

Producto de fibra

El paquete de retroceso es un ejemplo que une la noción de retroceso como precomposición y la noción de retroceso como cuadrado cartesiano . En ese ejemplo, el espacio base de un haz de fibras se retira, en el sentido de precomposición, arriba. Luego, las fibras viajan junto con los puntos en el espacio base en los que están ancladas: el nuevo haz de retroceso resultante se parece localmente a un producto cartesiano del nuevo espacio base y la fibra (sin cambios). El haz de retroceso tiene entonces dos proyecciones: una hacia el espacio de la base y la otra hacia la fibra; el producto de los dos se vuelve coherente cuando se trata como un producto de fibra .

Generalizaciones y teoría de categorías.

La noción de retroceso como un producto de fibra conduce en última instancia a la idea muy general de un retroceso categórico , pero tiene casos especiales importantes: haces de imagen inversa (y retroceso) en geometría algebraica y haces de retroceso en topología algebraica y geometría diferencial.

Ver también:

• Retroceso (teoría de categorías)
• categoría de fibra
• Gavilla de imagen inversa

Análisis funcional

Cuando el retroceso se estudia como un operador que actúa sobre espacios funcionales , se convierte en un operador lineal y se conoce como operador de transposición o de composición . Su adjunto es el operador de transferencia o, en el contexto del análisis funcional , el operador de transferencia .

Relación

La relación entre las dos nociones de retroceso quizás pueda ilustrarse mejor mediante secciones de haces de fibras: si es una sección de un haz de fibras y luego el retroceso (precomposición) de s con es una sección del haz de retroceso (producto de fibra) encima ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle f:M\to N,}$ ${\displaystyle f^{*}s=s\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}E}$ ${\displaystyle M.}$

Ver también

• Funtor de imagen inversa  : functor entre categorías de haces valorados en grupos abelianos inducido por un mapa continuo entre espacios topológicos; gavilla del prehaz asociado a un conjunto abierto U el límite inductivo de los grupos asociados a superconjuntos abiertos de la imagen de UPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias