Haz espinorial

Estructura geométrica

En geometría diferencial , dada una estructura de espín en una variedad de Riemann orientable en -dimensional , se define el fibrado de espinores como el fibrado vectorial complejo asociado al fibrado principal correspondiente de marcos de espín sobre y la representación de espín de su grupo de estructura en el espacio de espinores . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n)\,}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$

Una sección del haz de espinores se llama campo de espinores . ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$

Definición formal

Sea una estructura de espín en una variedad de Riemann , es decir, una elevación equivariante del fibrado ortonormal orientado con respecto al doble recubrimiento del grupo ortogonal especial por el grupo de espín . ${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$ ${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)}$

El fibrado espinorial se define ^[1] como el fibrado vectorial complejo asociado a la estructura de espín a través de la representación de espín donde denota el grupo de operadores unitarios que actúan en un espacio de Hilbert . La representación de espín es una representación fiel y unitaria del grupo ^[2]. ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$ $${\displaystyle {\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,}$$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ ${\displaystyle \kappa \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,}$ ${\displaystyle {\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,}$ ${\displaystyle {\mathbf {W} }.\,}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n).}$

Véase también

• Paquete de Clifford
• Paquete de módulos de Clifford
• Paquete de marcos ortonormales
• Geometría de espín
• Espinor
• Representación del espinor

Notas

1. Friedrich, Thomas (2000), Operadores de Dirac en geometría riemanniana , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2055-1página 53
2. Friedrich, Thomas (2000), Operadores de Dirac en geometría riemanniana , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2055-1páginas 20 y 24

Lectura adicional

• Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría del espín . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5.
• Friedrich, Thomas (2000), Operadores de Dirac en geometría riemanniana , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2055-1

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