Haz espinorial

Estructura geométrica

En geometría diferencial , dada una estructura de espín en una variedad de Riemann orientable en -dimensional , se define el fibrado de espinores como el fibrado vectorial complejo asociado al fibrado principal correspondiente de marcos de espín sobre y la representación de espín de su grupo de estructura en el espacio de espinores . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n)\,}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$

Una sección del haz de espinores se llama campo de espinores . ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$

Definición formal

Sea una estructura de espín en una variedad de Riemann , es decir, una elevación equivariante del fibrado ortonormal orientado con respecto al doble recubrimiento del grupo ortogonal especial por el grupo de espín . ${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$ ${\displaystyle (M,g),\,}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$ ${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)}$

El fibrado espinorial se define ^[1] como el fibrado vectorial complejo asociado a la estructura de espín a través de la representación de espín donde denota el grupo de operadores unitarios que actúan en un espacio de Hilbert. Vale la pena señalar que la representación de espín es una representación fiel y unitaria del grupo ^[2]. ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$ $${\displaystyle {\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,}$$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ ${\displaystyle \kappa \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,}$ ${\displaystyle {\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,}$ ${\displaystyle {\mathbf {W} }.\,}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n).}$

Véase también

• Paquete de Clifford
• Paquete de módulos de Clifford
• Paquete de marcos ortonormales
• Geometría de espín
• Espinor
• Representación del espinor

Notas

1. Friedrich, Thomas (2000), Operadores de Dirac en geometría riemanniana , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2055-1página 53
2. Friedrich, Thomas (2000), Operadores de Dirac en geometría riemanniana , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2055-1páginas 20 y 24

Lectura adicional

• Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría del espín . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5.
• Friedrich, Thomas (2000), Operadores de Dirac en geometría riemanniana , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2055-1

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