Paquete de vectores holomorfos

Paquete de vectores complejos en una variedad compleja

En matemáticas , un paquete de vectores holomórfico es un paquete de vectores complejo sobre una variedad compleja X tal que el espacio total E es una variedad compleja y el mapa de proyección π: E → X es holomórfico . Ejemplos fundamentales son el paquete tangente holomorfo de una variedad compleja y su dual, el paquete cotangente holomorfo . Un paquete de líneas holomorfas es un paquete de vectores holomorfos de rango uno.

Según GAGA de Serre , la categoría de haces de vectores holomórficos en una variedad proyectiva compleja suave X (vista como una variedad compleja) es equivalente a la categoría de haces de vectores algebraicos (es decir, haces localmente libres de rango finito) en X.

Definición mediante trivialización

Específicamente, se requiere que los mapas de trivialización

${\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}}$

Son mapas biholomórficos . Esto equivale a exigir que la transición funcione

${\displaystyle t_{UV}:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )}$

Son mapas holomorfos. La estructura holomorfa en el paquete tangente de una variedad compleja está garantizada por la observación de que la derivada (en el sentido apropiado) de una función holomorfa valorada por un vector es en sí misma holomorfa.

El haz de secciones holomorfas.

Sea E un paquete de vectores holomorfos. Una sección local s  : U → E | _{Se dice que U} es holomórfico si, en una vecindad de cada punto de U , es holomórfico en alguna (equivalentemente cualquier) trivialización.

Esta condición es local, lo que significa que las secciones holomorfas forman un haz en X. Esta gavilla a veces se denota , o de manera abusiva , por E. Tal haz siempre está localmente libre del mismo rango que el rango del paquete de vectores. Si E es el haz de líneas trivial , entonces este haz coincide con el haz estructural de la variedad compleja X. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Ejemplos básicos

Hay paquetes de líneas sobre cuyas secciones globales corresponden a polinomios de grado homogéneos (para un número entero positivo). En particular, corresponde al paquete de líneas trivial. Si tomamos la cobertura , podemos encontrar gráficos definidos por ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}]:x_{i}\neq 0\}}$ ${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}}$

Podemos construir funciones de transición definidas por ${\displaystyle \phi _{ij}|_{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$

${\displaystyle \phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{z_{j}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)}$

Ahora, si consideramos el paquete trivial, podemos formar funciones de transición inducidas . Si usamos la coordenada en la fibra, entonces podemos formar funciones de transición. ${\displaystyle L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \psi _{i,j}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi _{i,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)}$

para cualquier número entero . Cada uno de estos está asociado con un paquete de líneas . Dado que los paquetes de vectores necesariamente retroceden, cualquier subvariedad holomorfa tiene un paquete de líneas asociado , a veces denominado . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}({\mathcal {O}}(k))}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)|_{X}}$

Operadores Dolbeault

Supongamos que E es un paquete de vectores holomorfos. Luego hay un operador distinguido definido de la siguiente manera. En una trivialización local de E , con marco local , cualquier sección puede escribirse para algunas funciones suaves . Definir un operador localmente mediante ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle s=\sum _{i}s^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle s^{i}:U_{\alpha }\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s):=\sum _{i}{\bar {\partial }}(s^{i})\otimes e_{i}}$

¿Dónde está el operador regular de Cauchy-Riemann de la variedad base? Este operador está bien definido en todo E porque en una superposición de dos trivializaciones con función de transición holomorfa , si donde hay un marco local para E en , entonces , y así ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle U_{\beta }}$ ${\displaystyle s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}(s^{i})=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})}$

porque las funciones de transición son holomorfas. Esto lleva a la siguiente definición: Un operador de Dolbeault en un paquete de vectores complejo suave es un operador lineal ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(M)\otimes \Gamma (E)}$

tal que

• (Condición de Cauchy-Riemann) , ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{2}=0}$
• (Regla de Leibniz) Para cualquier sección y función en , se tiene ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }}(f)\otimes s+f{\bar {\partial }}_{E}(s)}$.

Mediante una aplicación del teorema de Newlander-Nirenberg , se obtiene lo contrario de la construcción del operador Dolbeault de un paquete holomórfico: ^[1]

Teorema: Dado un operador de Dolbeault en un paquete de vectores complejo suave , existe una estructura holomorfa única que es el operador de Dolbeault asociado como se construyó anteriormente. ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$

Con respecto a la estructura holomorfa inducida por un operador de Dolbeault , una sección suave es holomorfa si y sólo si . Esto es moralmente similar a la definición de una variedad suave o compleja como un espacio anillado . Es decir, basta con especificar qué funciones en una variedad topológica son suaves o complejas, para imbuirla de una estructura suave o compleja. ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s)=0}$

El operador de Dolbeault tiene inverso local en términos de operador de homotopía . ^[2]

Los haces de formas con valores en un paquete de vectores holomorfos

Si denota la gavilla de formas diferenciales C ^∞ de tipo ( p , q ) , entonces la gavilla de formas tipo ( p , q ) con valores en E se puede definir como el producto tensorial ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.}$

Estos haces son finos , es decir que admiten particiones de unidad . Una distinción fundamental entre paquetes de vectores suaves y holomórficos es que en este último hay un operador diferencial canónico, dado por el operador de Dolbeault definido anteriormente:

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E).}$

Cohomología de paquetes de vectores holomorfos.

Si E es un paquete de vectores holomórfico, la cohomología de E se define como la cohomología de la gavilla de . En particular, tenemos ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),}$

el espacio de secciones holomorfas globales de E . También tenemos que parametriza el grupo de extensiones del haz de líneas trivial de X por E , es decir, secuencias exactas de haces de vectores holomórficos 0 → E → F → X × C → 0 . Para conocer la estructura del grupo, consulte también Suma de Baer y extensión de gavilla . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))}$

Según el teorema de Dolbeault , esta cohomología de haz puede describirse alternativamente como la cohomología del complejo de cadenas definido por los haces de formas con valores en el paquete holomórfico . Es decir, tenemos ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }}_{E})).}$

El grupo Picard

En el contexto de la geometría diferencial compleja, el grupo Picard Pic( X ) de la variedad compleja X es el grupo de clases de isomorfismo de haces de líneas holomorfas con ley de grupo dada por el producto tensorial e inversión dada por la dualización. Puede definirse de manera equivalente como el primer grupo de cohomología del haz de funciones holomorfas que no desaparecen. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$

Métricas hermitianas en un paquete de vectores holomorfos

Sea E un paquete de vectores holomórfico en una variedad compleja M y supongamos que hay una métrica hermitiana en E ; es decir, las fibras E _x están equipadas con productos internos <·,·> que varían suavemente. Entonces existe una conexión única ∇ en E que es compatible tanto con la estructura compleja como con la estructura métrica, llamada conexión Chern ; es decir, ∇ es una conexión tal que

( 1) Para cualquier sección suave s de E , donde π _0,1 toma el componente (0, 1) de una forma 1 con valor E. ${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s}$

(2) Para cualquier sección suave s , t de E y un campo vectorial X en M ,

${\displaystyle X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle }$

donde escribimos para la contracción de por X . (Esto equivale a decir que el transporte paralelo por ∇ conserva la métrica <·,·>.) ${\displaystyle \nabla _{X}s}$ ${\displaystyle \nabla s}$

De hecho, si u = ( e ₁ ,…, e _n ) es un marco holomorfo, entonces definamos ω _u mediante la ecuación , que escribimos de manera más simple como: ${\displaystyle h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle }$ ${\displaystyle \sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}}$

${\displaystyle \omega _{u}=h^{-1}\partial h.}$

Si u' = ug es otro cuadro con un cambio holomorfo de base g , entonces

${\displaystyle \omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},}$

y entonces ω es de hecho una forma de conexión , dando lugar a ∇ por ∇ s = ds + ω · s . Ahora, desde , ${\displaystyle {\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}}$

${\displaystyle d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .}$

Es decir, ∇ es compatible con la estructura métrica. Finalmente, dado que ω es una forma (1, 0), el componente (0, 1) de es . ${\displaystyle \nabla s}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}s}$

Sea la forma de curvatura de ∇. Dado que los cuadrados son cero según la definición de un operador de Dolbeault, Ω no tiene componente (0, 2) y dado que se demuestra fácilmente que Ω es sesgado-hermitiano, ^[3] tampoco tiene componente (2, 0). En consecuencia, Ω es una forma (1, 1) dada por ${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$ ${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}}$

${\displaystyle \Omega ={\bar {\partial }}_{E}\omega .}$

La curvatura Ω aparece de manera destacada en los teoremas de desaparición para la cohomología superior de haces de vectores holomorfos; por ejemplo, el teorema evanescente de Kodaira y el teorema evanescente de Nakano .

Ver también

• Teorema de Birkhoff-Grothendieck
• Métrica de Quillen
• dualidad serre

Notas

1. Kobayashi, S. (2014). Geometría diferencial de haces de vectores complejos (Vol. 793). Prensa de la Universidad de Princeton.
2. Kycia, Radosław Antoni (2020). "El lema de Poincaré, formas antiexactas y oscilador armónico cuántico fermiónico". Resultados en Matemáticas . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . doi : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN  1422-6383.
3. Por ejemplo, la existencia de una métrica hermitiana en E significa que el grupo de estructura del paquete de marcos se puede reducir al grupo unitario y Ω tiene valores en el álgebra de Lie de este grupo unitario, que consta de métricas hermitianas sesgadas.

Referencias

• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, señor  1288523
• "Paquete de vectores, analítico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

enlaces externos

• Principio de división para paquetes de vectores holomorfos