Cohomología de haces coherentes

En matemáticas , especialmente en geometría algebraica y en la teoría de variedades complejas , la cohomología de haces coherentes es una técnica para producir funciones con propiedades específicas. Muchas cuestiones geométricas pueden formularse como preguntas sobre la existencia de secciones de haces de líneas o de haces coherentes más generales ; dichas secciones pueden considerarse funciones generalizadas. La cohomología proporciona herramientas computables para producir secciones o explicar por qué no existen. También proporciona invariantes para distinguir una variedad algebraica de otra.

Gran parte de la geometría algebraica y la geometría analítica compleja se formula en términos de haces coherentes y su cohomología.

Haces coherentes

Los haces coherentes pueden considerarse como una generalización de los fibrados vectoriales . Existe una noción de haz analítico coherente en un espacio analítico complejo y una noción análoga de haz algebraico coherente en un esquema . En ambos casos, el espacio dado viene con un haz de anillos , el haz de funciones holomorfas o funciones regulares , y los haces coherentes se definen como una subcategoría completa de la categoría de -módulos (es decir, haces de -módulos). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Los fibrados vectoriales, como el fibrado tangente, desempeñan un papel fundamental en geometría. En términos más generales, para una subvariedad cerrada de con inclusión , un fibrado vectorial en determina un haz coherente en , el haz imagen directa , que es cero fuera de . De esta manera, muchas preguntas sobre subvariedades de se pueden expresar en términos de haces coherentes en . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:Y\to X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

A diferencia de los fibrados vectoriales, los haces coherentes (en el caso analítico o algebraico) forman una categoría abeliana y, por lo tanto, están cerrados bajo operaciones como la toma de núcleos , imágenes y conúcleos . En un esquema, los haces cuasi-coherentes son una generalización de los haces coherentes, incluidos los haces localmente libres de rango infinito.

Cohomología de haces

Para un haz de grupos abelianos en un espacio topológico , los grupos de cohomología de haces para números enteros se definen como los funtores derivados por la derecha del funtor de secciones globales, . Como resultado, es cero para , y se puede identificar con . Para cualquier secuencia exacta corta de haces , existe una secuencia exacta larga de grupos de cohomología: ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i<0}$ ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle 0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}\to 0}$

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,{\mathcal {A}})\to H^{0}(X,{\mathcal {B}})\to H^{0}(X,{\mathcal {C}})\to H^{1}(X,{\mathcal {A}})\to \cdots .}$

Si es un haz de -módulos en un esquema , entonces los grupos de cohomología (definidos usando el espacio topológico subyacente de ) son módulos sobre el anillo de funciones regulares. Por ejemplo, si es un esquema sobre un cuerpo , entonces los grupos de cohomología son - espacios vectoriales . La teoría se vuelve poderosa cuando es un haz coherente o cuasi-coherente, debido a la siguiente secuencia de resultados. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Teoremas de desaparición en el caso afín

El análisis complejo fue revolucionado por los teoremas A y B de Cartan en 1953. Estos resultados dicen que si es un haz analítico coherente en un espacio de Stein , entonces está abarcado por sus secciones globales , y para todo . (Un espacio complejo es de Stein si y solo si es isomorfo a un subespacio analítico cerrado de para algún ). Estos resultados generalizan un gran cuerpo de trabajo anterior sobre la construcción de funciones analíticas complejas con singularidades dadas u otras propiedades. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

En 1955, Serre introdujo haces coherentes en la geometría algebraica (al principio sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , pero esa restricción fue eliminada por Grothendieck ). Los análogos de los teoremas de Cartan se mantienen en gran generalidad: si es un haz cuasi-coherente en un esquema afín , entonces está abarcado por sus secciones globales, y para . ^[2] Esto está relacionado con el hecho de que la categoría de haces cuasi-coherentes en un esquema afín es equivalente a la categoría de -módulos, con la equivalencia tomando un haz al -módulo . De hecho, los esquemas afines se caracterizan entre todos los esquemas cuasi-compactos por la desaparición de la cohomología superior para haces cuasi-coherentes. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}$

La cohomología de Čech y la cohomología del espacio proyectivo

Como consecuencia de la desaparición de la cohomología para esquemas afines: para un esquema separado , una cobertura abierta afín de , y un haz cuasi-coherente en , los grupos de cohomología son isomorfos a los grupos de cohomología de Čech con respecto a la cobertura abierta . ^[2] En otras palabras, conocer las secciones de en todas las intersecciones finitas de los subesquemas abiertos afines determina la cohomología de con coeficientes en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{*}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Utilizando la cohomología de Čech, se puede calcular la cohomología del espacio proyectivo con coeficientes en cualquier fibrado lineal. Es decir, para un cuerpo , un entero positivo y cualquier entero , la cohomología del espacio proyectivo sobre con coeficientes en el fibrado lineal viene dada por: ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$

${\displaystyle H^{i}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=0\\[6pt]0&i\neq 0,n\\[6pt]\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=n\end{cases}}}$

En particular, este cálculo muestra que la cohomología del espacio proyectivo con coeficientes en cualquier fibrado de líneas tiene dimensión finita como un espacio -vectorial. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

La desaparición de estos grupos de cohomología por encima de la dimensión es un caso muy especial del teorema de desaparición de Grothendieck : para cualquier haz de grupos abelianos en un espacio topológico noetheriano de dimensión , para todo . ^[5] Esto es especialmente útil para un esquema noetheriano (por ejemplo, una variedad sobre un cuerpo) y un haz cuasi coherente. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n<\infty }$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Cohomología de haces de curvas planas

Dada una curva plana proyectiva suave de grado , la cohomología del haz se puede calcular fácilmente utilizando una secuencia exacta larga en cohomología. En primer lugar, observe que para la incrustación existe el isomorfismo de los grupos de cohomología ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$ ${\displaystyle i:C\to \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} ^{2},i_{*}{\mathcal {O}}_{C})\cong H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$

ya que es exacta. Esto significa que la secuencia corta y exacta de haces coherentes ${\displaystyle i_{*}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{C}\to 0}$

En , llamada secuencia ideal ^[6] , se puede utilizar para calcular la cohomología a través de la secuencia exacta larga en cohomología. La secuencia se lee como ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}}$

que se puede simplificar utilizando los cálculos anteriores sobre el espacio proyectivo. Para simplificar, supongamos que el anillo base es (o cualquier campo algebraicamente cerrado). Luego están los isomorfismos ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\end{aligned}}}$

lo que demuestra que la curva es un espacio vectorial de dimensión finita de rango ${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle {d-1 \choose d-3}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}$.

Teorema de Künneth

Existe un análogo de la fórmula de Künneth en la cohomología de haces coherentes para productos de variedades. ^[7] Dados esquemas cuasi-compactos con diagonales afines sobre un cuerpo , (por ejemplo, esquemas separados), y sean y , entonces existe un isomorfismo ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Coh}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\in {\text{Coh}}(Y)}$

${\displaystyle H^{k}(X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y,\pi _{1}^{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {G}})\cong \bigoplus _{i+j=k}H^{i}(X,{\mathcal {F}})\otimes _{k}H^{j}(Y,{\mathcal {G}})}$

¿Dónde están las proyecciones canónicas de a ? ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$ ${\displaystyle X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}$ ${\displaystyle X,Y}$

Cálculo de la cohomología de haces de curvas

En , una sección genérica de define una curva , dando la secuencia ideal ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a,b)=\pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(a)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(b)}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-a,-b)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{C}\to 0}$

Entonces, la secuencia larga y exacta se lee así:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{0}(X,{\mathcal {O}})\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}})\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{2}(X,{\mathcal {O}})\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}}$

donación

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\end{aligned}}}$

Como es el género de la curva, podemos utilizar la fórmula de Künneth para calcular sus números de Betti. Esto es ${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-a,-b))\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-a))\otimes _{k}H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-b))}$

que es de rango

${\displaystyle {\binom {a-1}{a-2}}{\binom {b-1}{b-2}}=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1}$^[8]

para . En particular, si se define por el lugar geométrico de desaparición de una sección genérica de , es de género ${\displaystyle -a,-b\leq -2}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(2,k)}$

${\displaystyle 2k-2-k+1=k-1}$

Por lo tanto, una curva de cualquier género se puede encontrar dentro de . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$

Dimensionalidad finita

Para un esquema propio sobre un cuerpo y cualquier haz coherente sobre , los grupos de cohomología tienen dimensión finita como espacios vectoriales -. ^[9] En el caso especial donde es proyectivo sobre , esto se prueba reduciendo al caso de fibrados lineales en el espacio proyectivo, discutido anteriormente. En el caso general de un esquema propio sobre un cuerpo, Grothendieck demostró la finitud de la cohomología reduciendo al caso proyectivo, usando el lema de Chow . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

La dimensionalidad finita de la cohomología también se cumple en la situación análoga de haces analíticos coherentes en cualquier espacio complejo compacto , mediante un argumento muy diferente. Cartan y Serre demostraron la dimensionalidad finita en esta situación analítica utilizando un teorema de Schwartz sobre operadores compactos en espacios de Fréchet . Grothendieck (para esquemas localmente noetherianos) y Grauert (para espacios analíticos complejos) demostraron versiones relativas de este resultado para un morfismo propio . Es decir, para un morfismo propio (en el contexto algebraico o analítico) y un haz coherente en , los haces de imagen directa superiores son coherentes. ^[10] Cuando es un punto, este teorema da la dimensionalidad finita de la cohomología. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$

La dimensionalidad finita de la cohomología conduce a muchos invariantes numéricos para variedades proyectivas. Por ejemplo, si es una curva proyectiva suave sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , el género de se define como la dimensión del espacio vectorial . Cuando es el cuerpo de números complejos , esto concuerda con el género del espacio de puntos complejos en su topología clásica (euclidiana). (En ese caso, es una superficie orientada cerrada ). Entre muchas generalizaciones posibles de dimensión superior, el género geométrico de una variedad proyectiva suave de dimensión es la dimensión de , y el género aritmético (según una convención ^[11] ) es la suma alternada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )=X^{an}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X})=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})).}$

Dualidad de Serre

La dualidad de Serre es análoga a la dualidad de Poincaré para la cohomología de haces coherentes. En esta analogía, el fibrado canónico desempeña el papel del haz de orientación . Es decir, para un esquema propio suave de dimensión sobre un cuerpo , existe una función de traza natural , que es un isomorfismo si es geométricamente conexo , lo que significa que el cambio de base de a un cierre algebraico de es conexo . La dualidad de Serre para un fibrado vectorial en dice que el producto ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{n}(X,K_{X})\to k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})\to H^{n}(X,K_{X})\to k}$

es un emparejamiento perfecto para cada entero . ^[12] En particular, los espacios vectoriales y tienen la misma dimensión (finita). (Serre también demostró la dualidad de Serre para fibrados vectoriales holomorfos en cualquier variedad compleja compacta). La teoría de dualidad de Grothendieck incluye generalizaciones para cualquier haz coherente y cualquier morfismo propio de esquemas, aunque las afirmaciones se vuelven menos elementales. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{i}(X,E)}$ ${\displaystyle H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})}$

Por ejemplo, para una curva proyectiva suave sobre un campo algebraicamente cerrado , la dualidad de Serre implica que la dimensión del espacio de 1-formas en es igual al género de (la dimensión de ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{1})=H^{0}(X,K_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Teoremas de GAGA

Los teoremas de GAGA relacionan variedades algebraicas sobre los números complejos con los espacios analíticos correspondientes. Para un esquema X de tipo finito sobre C , existe un funtor desde haces algebraicos coherentes sobre X hasta haces analíticos coherentes sobre el espacio analítico asociado X ^an . El teorema clave de GAGA (de Grothendieck, que generaliza el teorema de Serre sobre el caso proyectivo) es que si X es propio sobre C , entonces este funtor es una equivalencia de categorías. Además, para cada haz algebraico coherente E sobre un esquema propio X sobre C , la función natural

${\displaystyle H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\text{an}},E^{\text{an}})}$

de espacios vectoriales complejos (de dimensión finita) es un isomorfismo para todo i . ^[13] (El primer grupo aquí se define utilizando la topología de Zariski, y el segundo utilizando la topología clásica (euclidiana).) Por ejemplo, la equivalencia entre haces coherentes algebraicos y analíticos en el espacio proyectivo implica el teorema de Chow de que todo subespacio analítico cerrado de CP ⁿ es algebraico.

Teoremas que desaparecen

El teorema de desaparición de Serre dice que para cualquier fibrado lineal amplio en un esquema propio sobre un anillo noetheriano , y cualquier haz coherente en , hay un entero tal que para todo , el haz está abarcado por sus secciones globales y no tiene cohomología en grados positivos. ^{[14] [15]} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m\geq m_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes L^{\otimes m}}$

Aunque el teorema de desaparición de Serre es útil, la falta de explicitud del número puede ser un problema. El teorema de desaparición de Kodaira es un resultado explícito importante. Es decir, si es una variedad proyectiva suave sobre un cuerpo de característica cero, es un fibrado lineal amplio en , y un fibrado canónico , entonces ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0}$

para todos . Nótese que el teorema de Serre garantiza la misma desaparición para grandes potencias de . La desaparición de Kodaira y sus generalizaciones son fundamentales para la clasificación de variedades algebraicas y el programa de modelo mínimo . La desaparición de Kodaira falla sobre campos de característica positiva. ^[16] ${\displaystyle j>0}$ ${\displaystyle L}$

Teoría de Hodge

El teorema de Hodge relaciona la cohomología de haces coherentes con la cohomología singular (o cohomología de De Rham ). Es decir, si es una variedad proyectiva compleja suave, entonces existe una descomposición de suma directa canónica de espacios vectoriales complejos: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{a}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{b=0}^{a}H^{a-b}(X,\Omega ^{b}),}$

para cada . El grupo de la izquierda significa la cohomología singular de en su topología clásica (euclidiana), mientras que los grupos de la derecha son grupos de cohomología de haces coherentes, que (por GAGA) pueden tomarse tanto en la topología de Zariski como en la clásica. La misma conclusión es válida para cualquier esquema propio suave sobre , o para cualquier variedad compacta de Kähler . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Por ejemplo, el teorema de Hodge implica que la definición del género de una curva proyectiva suave como la dimensión de , que tiene sentido sobre cualquier cuerpo , concuerda con la definición topológica (como la mitad del primer número de Betti ) cuando es el número complejo. La teoría de Hodge ha inspirado una gran cantidad de trabajos sobre las propiedades topológicas de las variedades algebraicas complejas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Teoremas de Riemann-Roch

Para un esquema propio X sobre un cuerpo k , la característica de Euler de un haz coherente E sobre X es el entero

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,E)).}$

La característica de Euler de un haz coherente E se puede calcular a partir de las clases de Chern de E , según el teorema de Riemann-Roch y sus generalizaciones, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . Por ejemplo, si L es un fibrado lineal sobre una curva geométricamente conexa propia y suave X sobre un cuerpo k , entonces

${\displaystyle \chi (X,L)={\text{deg}}(L)-{\text{genus}}(X)+1,}$

donde deg( L ) denota el grado de L .

Cuando se combina con un teorema de desaparición, el teorema de Riemann-Roch se puede utilizar a menudo para determinar la dimensión del espacio vectorial de las secciones de un fibrado lineal. Saber que un fibrado lineal en X tiene suficientes secciones, a su vez, se puede utilizar para definir una función de X en el espacio proyectivo, tal vez una inmersión cerrada. Este enfoque es esencial para clasificar las variedades algebraicas.

El teorema de Riemann-Roch también es válido para fibrados vectoriales holomorfos en una variedad compleja compacta, según el teorema del índice de Atiyah-Singer .

Crecimiento

Las dimensiones de los grupos de cohomología en un esquema de dimensión n pueden crecer como máximo como un polinomio de grado n .

Sea X un esquema proyectivo de dimensión n y D un divisor en X . Si es cualquier haz coherente en X entonces ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {F}}(mD))=O(m^{n})}$para cada yo .

Para una cohomología superior del nuevo divisor D en X ;

${\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD))=O(m^{n-1})}$

Aplicaciones

Dado un esquema X sobre un cuerpo k , la teoría de la deformación estudia las deformaciones de X en entornos infinitesimales. El caso más simple, que concierne a las deformaciones sobre el anillo de números duales , examina si existe un esquema X _R sobre Spec R tal que la fibra especial ${\displaystyle R:=k[\epsilon ]/\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle X_{R}\times _{\operatorname {Spec} R}\operatorname {Spec} k}$

es isomorfo al X dado . La cohomología de haces coherentes con coeficientes en el haz tangente controla esta clase de deformaciones de X , siempre que X sea suave. Es decir, ${\displaystyle T_{X}}$

• Las clases de isomorfismo de deformaciones del tipo anterior están parametrizadas por la primera cohomología coherente , ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$
• Hay un elemento (llamado clase de obstrucción) que se desvanece si y solo si existe una deformación de X sobre Spec R como la indicada anteriormente. ${\displaystyle H^{2}(X,T_{X})}$

Notas

1. (Hartshorne 1977, (III.1.1A) y sección III.2.)
2. Stacks, etiqueta 01X8.
3. Proyecto Stacks, etiqueta 01XE.
4. (Hartshorne 1977, Teorema III.5.1.)
5. (Hartshorne 1977, Teorema III.2.7.)
6. Hochenegger, Andreas (2019). "Introducción a las categorías derivadas de haces coherentes". En Andreas Hochenegger; Manfred Lehn; Paolo Stellari (eds.). Geometría birracional de hipersuperficies . Notas de clase de la Unione Matematica Italiana. Vol. 26. págs. 267–295. arXiv : 1901.07305 . Código Bibliográfico :2019arXiv190107305H. doi :10.1007/978-3-030-18638-8_7. ISBN: 978-3-030-18637-1.S2CID119721183  .​
7. "Sección 33.29 (0BEC): Fórmula de Künneth: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 23 de febrero de 2020 .
8. Vakil. "FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA ALGEBRAICA CLASES 35 Y 36" (PDF) .
9. Proyecto Stacks, Etiqueta 02O3.
10. (Grothendieck y Dieudonné 1961, (EGA 3) 3.2.1), (Grauert y Remmert 1984, Teorema 10.4.6.)
11. (Serre 1955, sección 80.)
12. (Hartshorne 1977, Teorema III.7.6.)
13. (Grothendieck y Raynaud 2003, (SGA 1) Exposé XII.)
14. (Hartshorne 1977, Teorema II.5.17 y Proposición III.5.3.)
15. (Grothendieck y Dieudonné 1961, (EGA 3) Teorema 2.2.1)
16. Michel Raynaud. Contra-ejemplo del teorema de desaparición en característica p > 0 . En CP Ramanujam - un homenaje , Tata Inst. Financiar. Res. Estudios en Matemáticas. 8, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, (1978), págs. 273-278.

Referencias

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• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (2004). "El teorema de finitud". Teoría de espacios de Stein . Clásicos de las matemáticas. pp. 186–203. doi :10.1007/978-3-642-18921-0_8. ISBN 978-3-540-00373-1.

Enlaces externos

• Autores del Proyecto Stacks, Proyecto Stacks