En geometría algebraica , un punto genérico P de una variedad algebraica X es un punto en una posición general , en la que todas las propiedades genéricas son verdaderas, siendo una propiedad genérica una propiedad que es verdadera para casi todos los puntos.
En geometría algebraica clásica, un punto genérico de una variedad algebraica afín o proyectiva de dimensión d es un punto tal que el campo generado por sus coordenadas tiene grado de trascendencia d sobre el campo generado por los coeficientes de las ecuaciones de la variedad.
En teoría de esquemas , el espectro de un dominio integral tiene un único punto genérico, que es el ideal cero. Como la clausura de este punto para la topología de Zariski es todo el espectro, la definición se ha extendido a la topología general , donde un punto genérico de un espacio topológico X es un punto cuya clausura es X .
Un punto genérico del espacio topológico X es un punto P cuya clausura es todo X , es decir, un punto que es denso en X . [1]
La terminología surge del caso de la topología de Zariski sobre el conjunto de subvariedades de un conjunto algebraico : el conjunto algebraico es irreducible (es decir, no es la unión de dos subconjuntos algebraicos propios) si y sólo si el espacio topológico de las subvariedades tiene un punto genérico.
En el enfoque fundacional de André Weil , desarrollado en su libro Fundamentos de geometría algebraica , los puntos genéricos tenían un papel importante, pero se manejaban de una manera diferente. Para una variedad algebraica V sobre un cuerpo K , los puntos genéricos de V eran una clase completa de puntos de V que tomaban valores en un dominio universal Ω, un cuerpo algebraicamente cerrado que contenía K pero también un suministro infinito de indeterminados nuevos. Este enfoque funcionaba, sin necesidad de tratar directamente con la topología de V ( es decir, la topología K -Zariski), porque las especializaciones podían discutirse todas a nivel de campo (como en el enfoque de la teoría de la valoración para la geometría algebraica, popular en la década de 1930).
Esto se hizo a costa de que hubiera una enorme colección de puntos igualmente genéricos. Oscar Zariski , un colega de Weil en São Paulo justo después de la Segunda Guerra Mundial , siempre insistió en que los puntos genéricos deberían ser únicos. (Esto se puede volver a poner en términos topológicos: la idea de Weil no logra dar un espacio de Kolmogorov y Zariski piensa en términos del cociente de Kolmogorov ).
En los rápidos cambios fundacionales de la década de 1950, el enfoque de Weil se volvió obsoleto. Sin embargo, en la teoría de esquemas , a partir de 1957, regresaron los puntos genéricos: esta vez a la Zariski . Por ejemplo, para R, un anillo de valoración discreto , Spec ( R ) consta de dos puntos, un punto genérico (que proviene del ideal primo {0}) y un punto cerrado o punto especial que proviene del ideal máximo único . Para los morfismos de Spec ( R ), la fibra por encima del punto especial es la fibra especial , un concepto importante, por ejemplo, en la reducción módulo p , la teoría de la monodromía y otras teorías sobre la degeneración. La fibra genérica , igualmente, es la fibra por encima del punto genérico. La geometría de la degeneración trata en gran medida, entonces, sobre el paso de fibras genéricas a fibras especiales o, en otras palabras, cómo la especialización de los parámetros afecta las cuestiones. (Para un anillo de valoración discreto, el espacio topológico en cuestión es el espacio de Sierpinski de los topólogos. Otros anillos locales tienen puntos genéricos y especiales únicos, pero un espectro más complicado, ya que representan dimensiones generales. El caso de valoración discreta es muy parecido al disco unitario complejo , para estos propósitos).