Forma diferencial valorada por vectores

En matemáticas , una forma diferencial con valores vectoriales en una variedad M es una forma diferencial en M con valores en un espacio vectorial V. De manera más general, es una forma diferencial con valores en algún paquete de vectores E sobre M . Las formas diferenciales ordinarias pueden verse como formas diferenciales con valores R.

Un caso importante de formas diferenciales con valores vectoriales son las formas con valores del álgebra de Lie . (Un formulario de conexión es un ejemplo de dicho formulario).

Definición

Sea M una variedad suave y E → M un paquete de vectores suave sobre M . Denotamos el espacio de secciones suaves de un paquete E por Γ( E ). Una forma diferencial de grado p con valor E es una sección suave del haz producto tensorial de E con Λ ^p ( T ^∗ M ), la p -ésima potencia exterior del haz cotangente de M . El espacio de tales formas se denota por

${\displaystyle \Omega ^{p}(M,E)=\Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M).}$

Debido a que Γ es un funtor monoidal fuerte , ^[1] esto también se puede interpretar como

${\displaystyle \Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Gamma (\Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),}$

donde los dos últimos productos tensoriales son el producto tensorial de módulos sobre el anillo Ω ⁰ ( M ) de funciones suaves con valores R en M (consulte el séptimo ejemplo aquí ). Por convención, una forma 0 con valor E es solo una sección del paquete E. Eso es,

${\displaystyle \Omega ^{0}(M,E)=\Gamma (E).\,}$

De manera equivalente, una forma diferencial con valor E se puede definir como un morfismo de paquete

${\displaystyle TM\otimes \cdots \otimes TM\to E}$

que es totalmente simétrico sesgado .

Sea V un espacio vectorial fijo . Una forma diferencial de grado p con valor V es una forma diferencial de grado p con valores en el paquete trivial M × V. El espacio de tales formas se denota por Ω ^p ( M , V ). Cuando V = R se recupera la definición de forma diferencial ordinaria. Si V es de dimensión finita, entonces se puede demostrar que el homomorfismo natural

${\displaystyle \Omega ^{p}(M)\otimes _{\mathbb {R} }V\to \Omega ^{p}(M,V),}$

donde el primer producto tensorial es de espacios vectoriales sobre R , es un isomorfismo. ^[2]

Operaciones en formas con valores vectoriales

Echar para atrás

Se puede definir el retroceso de formas con valores vectoriales mediante mapas suaves al igual que para las formas ordinarias. El retroceso de una forma con valor E en N mediante un mapa suave φ : M → N es una forma con valor (φ* E ) en M , donde φ* E es el paquete de retroceso de E por φ.

La fórmula se da como en el caso ordinario. Para cualquier forma p con valor E ω en N , el retroceso φ*ω viene dado por

${\displaystyle (\varphi ^{*}\omega )_{x}(v_{1},\cdots ,v_{p})=\omega _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{1}),\cdots ,\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{p})).}$

Producto de cuña

Al igual que con las formas diferenciales ordinarias, se puede definir un producto de cuña de formas con valores vectoriales. El producto de cuña de una forma p con valor E ₁ con una forma q con valor E ₂ es naturalmente una forma ( p + q ) con valor ( E ₁ ⊗ E ₂ ) :

${\displaystyle \wedge :\Omega ^{p}(M,E_{1})\times \Omega ^{q}(M,E_{2})\to \Omega ^{p+q}(M,E_{1}\otimes E_{2}).}$

La definición es la misma que para las formas ordinarias, con la excepción de que la multiplicación real se reemplaza con el producto tensorial :

${\displaystyle (\omega \wedge \eta )(v_{1},\cdots ,v_{p+q})={\frac {1}{p!q!}}\sum _{\sigma \in S_{p+q}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)})\otimes \eta (v_{\sigma (p+1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)}).}$

En particular, el producto de cuña de una forma p ordinaria (valorada en R ) con una forma q valorada en E es naturalmente una forma ( p + q ) valorada en E (ya que el producto tensorial de E con el paquete trivial M × R es naturalmente isomorfo a E ). Para ω ∈ Ω ^p ( M ) y η ∈ Ω ^q ( M , E ) se tiene la relación de conmutatividad habitual:

${\displaystyle \omega \wedge \eta =(-1)^{pq}\eta \wedge \omega .}$

En general, el producto de cuña de dos formas con valores E no es otra forma con valores E , sino una forma con valores ( E ⊗ E ). Sin embargo, si E es un conjunto de álgebra (es decir, un conjunto de álgebras en lugar de solo espacios vectoriales), se puede componer con multiplicación en E para obtener una forma con valor de E. Si E es un conjunto de álgebras conmutativas y asociativas , entonces, con este producto de cuña modificado, el conjunto de todas las formas diferenciales valoradas en E

${\displaystyle \Omega (M,E)=\bigoplus _{p=0}^{\dim M}\Omega ^{p}(M,E)}$

se convierte en un álgebra asociativa conmutativa graduada . Si las fibras de E no son conmutativas, entonces Ω ( M , E ) no será conmutativa graduada.

Derivado exterior

Para cualquier espacio vectorial V existe una derivada exterior natural en el espacio de formas valoradas en V. Esta es simplemente la derivada exterior ordinaria que actúa en componentes con respecto a cualquier base de V. Explícitamente, si { e _α } es una base para V, entonces el diferencial de una forma p con valor V ω = ω ^α e _α viene dado por

${\displaystyle d\omega =(d\omega ^{\alpha })e_{\alpha }.\,}$

La derivada exterior en formas con valores V se caracteriza completamente por las relaciones habituales:

${\displaystyle {\begin{aligned}&d(\omega +\eta )=d\omega +d\eta \\&d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta \qquad (p=\deg \omega )\\&d(d\omega )=0.\end{aligned}}}$

De manera más general, las observaciones anteriores se aplican a formas valoradas en E donde E es cualquier paquete de vectores plano sobre M (es decir, un paquete de vectores cuyas funciones de transición son constantes). La derivada exterior se define como anteriormente en cualquier trivialización local de E.

Si E no es plano, entonces no existe una noción natural de una derivada exterior que actúe sobre formas valoradas en E. Lo que se necesita es elegir la conexión en E. Una conexión en E es un operador diferencial lineal que toma secciones de E a E con valor uno de las formas:

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(M,E)\to \Omega ^{1}(M,E).}$

Si E está equipado con una conexión ∇ entonces hay una derivada exterior covariante única

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{p}(M,E)\to \Omega ^{p+1}(M,E)}$

extendiendo ∇. La derivada exterior covariante se caracteriza por la linealidad y la ecuación

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \wedge \eta )=d_{\nabla }\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta }$

donde ω es una forma p con valor E y η es una forma q ordinaria . En general, no es necesario tener d _∇ ² = 0. De hecho, esto sucede si y sólo si la conexión ∇ es plana (es decir, tiene curvatura evanescente ).

Formas básicas o tensoriales en paquetes principales.

Sea E → M un paquete de vectores suave de rango k sobre M y sea π  : F ( E ) → M el paquete de marcos ( asociado ) de E , que es un paquete principal GL _k ( R ) sobre M . El retroceso de E por π es canónicamente isomorfo a F( E ) × _ρ R ^k a través de la inversa de [ u , v ] → u ( v ), donde ρ es la representación estándar. Por lo tanto, el retroceso por π de una forma con valor E en M determina una forma con valor R ^k en F( E ). No es difícil comprobar que esta forma retraída es equivalente a la derecha con respecto a la acción natural de GL _k ( R ) sobre F( E ) × R ^k y desaparece en los vectores verticales (vectores tangentes a F( E ) que se encuentran en el núcleo de d π ). Estas formas con valores vectoriales en F( E ) son lo suficientemente importantes como para justificar una terminología especial: se denominan formas básicas o tensoriales en F( E ).

Sea π  : P → M un paquete G principal (suave) y sea V un espacio vectorial fijo junto con una representación ρ  : G → GL( V ). Una forma básica o tensorial en P de tipo ρ es una forma ω con valor V en P que es equivariante y horizontal en el sentido de que

1. ${\displaystyle (R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,}$para todo g ∈ G , y
2. ${\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0}$siempre que al menos uno de los v _i sea vertical (es decir, d π ( v _i ) = 0).

Aquí R _g denota la acción correcta de G sobre P para algunos g ∈ G . Tenga en cuenta que para las formas 0 la segunda condición es vagamente verdadera .

Ejemplo: si ρ es la representación adjunta de G en el álgebra de Lie, entonces la forma de conexión ω satisface la primera condición (pero no la segunda). La forma de curvatura asociada Ω satisface ambas; por tanto Ω es una forma tensorial de tipo adjunto. La "diferencia" de dos formas de conexión es una forma tensorial.

Dados P y ρ como arriba , se puede construir el paquete de vectores asociado E = P × _ρ V. Las q -formas tensoriales en P están en una correspondencia natural uno a uno con las q -formas valoradas en E en M . Como en el caso del paquete principal F( E ) anterior, dada una forma q en M con valores en E , defina φ en P a modo de fibra, digamos en u , ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

${\displaystyle \phi =u^{-1}\pi ^{*}{\overline {\phi }}}$

donde u se ve como un isomorfismo lineal . φ es entonces una forma tensorial de tipo ρ. Por el contrario, dada una forma tensorial φ de tipo ρ, la misma fórmula define una forma valorada en M en M (cf. el homomorfismo de Chern-Weil ). En particular, existe un isomorfismo natural de espacios vectoriales ${\displaystyle V{\overset {\simeq }{\to }}E_{\pi (u)}=(\pi ^{*}E)_{u},v\mapsto [u,v]}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

${\displaystyle \Gamma (M,E)\simeq \{f:P\to V|f(ug)=\rho (g)^{-1}f(u)\},\,{\overline {f}}\leftrightarrow f}$.

Ejemplo: Sea E el paquete tangente de M. Entonces, el mapa de paquetes de identidad id _E : E → E es una forma con valor E en M . La forma única tautológica es una forma única única en el paquete de marcos de E que corresponde a id _E . Denotado por θ, es una forma tensorial de tipo estándar.

Ahora, supongamos que hay una conexión en P de modo que hay una diferenciación covariante exterior D en (varias) formas con valores vectoriales en P . A través de la correspondencia anterior, D también actúa sobre formas valoradas en E : defina ∇ por

${\displaystyle \nabla {\overline {\phi }}={\overline {D\phi }}.}$

En particular para formas cero,

${\displaystyle \nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)}$.

Esta es exactamente la derivada covariante de la conexión en el paquete de vectores E. ^[3]

Ejemplos

Las formas modulares de Siegel surgen como formas diferenciales con valores vectoriales en las variedades modulares de Siegel . ^[4]

Notas

1. "Secciones globales de un producto tensorial de haces de vectores en una variedad suave". math.stackexchange.com . Consultado el 27 de octubre de 2014 .
2. Prueba: Se puede verificar esto para p =0 convirtiendo una base para V en un conjunto de funciones constantes para V , lo que permite la construcción de un inverso al homomorfismo anterior. El caso general puede probarse observando que

   ${\displaystyle \Omega ^{p}(M,V)=\Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),}$

   y eso porque es un subanillo de Ω ⁰ ( M ) a través de las funciones constantes, ${\displaystyle \mathbb {R} }$

   ${\displaystyle \Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=(V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{0}(M))\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=V\otimes _{\mathbb {R} }(\Omega ^{0}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M))=V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{p}(M).}$

3. Prueba: para cualquier forma tensorial cero f con valor escalar y cualquier forma tensorial cero φ de tipo ρ, y Df = df ya que f desciende a una función en M ; cf. este Lema 2 . ${\displaystyle D(f\phi )=Df\otimes \phi +fD\phi }$
4. Hulek, Klaus; Sankaran, GK (2002). "La geometría de las variedades modulares de Siegel". Estudios Avanzados en Matemática Pura . 35 : 89-156.

Referencias

• Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu (1963) Fundamentos de geometría diferencial , vol. 1, Wiley Interciencia .