Sección (haz de fibras)

Una sección de un paquete . Una sección permite identificar el espacio base con un subespacio de . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle s(B)}$ ${\displaystyle E}$

Un campo vectorial en . Una sección de un paquete de vectores tangente es un campo vectorial. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Un paquete de vectores sobre una base con sección . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$

En el campo matemático de la topología , una sección (o sección transversal ) ^[1] de un haz de fibras es una inversa derecha continua de la función de proyección . En otras palabras, si hay un haz de fibras sobre un espacio base ,: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \pi \colon E\to B}$

entonces una sección de ese haz de fibras es un mapa continuo ,

${\displaystyle \sigma \colon B\to E}$

tal que

${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$para todos . ${\displaystyle x\in B}$

Una sección es una caracterización abstracta de lo que significa ser un gráfico . La gráfica de una función se puede identificar con una función que toma sus valores en el producto cartesiano , de y : ${\displaystyle g\colon B\to Y}$ ${\displaystyle E=B\times Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \sigma \colon B\to E,\quad \sigma (x)=(x,g(x))\in E.}$

Sea la proyección sobre el primer factor: . Entonces una gráfica es cualquier función para la cual . ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle \pi (x,y)=x}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$

El lenguaje de los haces de fibras permite generalizar esta noción de sección al caso en el que no es necesariamente un producto cartesiano. Si es un haz de fibras, entonces una sección es una elección de punto en cada una de las fibras. La condición simplemente significa que la sección en un punto debe quedar sobre . (Ver imagen). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Por ejemplo, cuando un paquete de vectores es una sección de un elemento del espacio vectorial que se encuentra sobre cada punto . En particular, un campo vectorial en una variedad suave es una elección de vector tangente en cada punto de : esta es una sección del paquete tangente de . Asimismo, una forma 1 es una sección del paquete cotangente . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Las secciones, particularmente de haces principales y haces de vectores, también son herramientas muy importantes en geometría diferencial . En esta configuración, el espacio base es una variedad suave y se supone que es un haz de fibras suave (es decir, es una variedad suave y un mapa suave ). En este caso, se considera el espacio de secciones lisas de sobre un conjunto abierto , denotado . También es útil en análisis geométrico considerar espacios de secciones con regularidad intermedia (p. ej., secciones o secciones con regularidad en el sentido de las condiciones de Hölder o espacios de Sobolev ). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U,E)}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Secciones locales y globales

Los haces de fibras en general no tienen tales secciones globales (considérese, por ejemplo, el haz de fibras con fibra obtenido tomando el haz de Möbius y eliminando la sección cero), por lo que también es útil definir secciones solo localmente. Una sección local de un haz de fibras es un mapa continuo donde hay un conjunto abierto en y para todo en . Si es una trivialización local de , donde hay un homeomorfismo de a (dónde está la fibra ), entonces las secciones locales siempre existen en correspondencia biyectiva con mapas continuos de a . Las secciones (locales) forman un haz llamado haz de secciones de . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle F=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle s\colon U\to E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi (s(x))=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U\times F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$

El espacio de las secciones continuas de un haz de fibras a veces se denomina , mientras que el espacio de las secciones globales de a menudo se denomina o . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C(U,E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \Gamma (B,E)}$

Extendiéndose a secciones globales

Las secciones se estudian en teoría de homotopía y topología algebraica , donde uno de los objetivos principales es dar cuenta de la existencia o no existencia de secciones globales . Una obstrucción niega la existencia de secciones globales ya que el espacio está demasiado "retorcido". Más precisamente, las obstrucciones "obstruyen" la posibilidad de extender una sección local a una sección global debido a la "retorsión" del espacio. Las obstrucciones se indican mediante clases características particulares , que son clases cohomológicas. Por ejemplo, un paquete principal tiene una sección global si y sólo si es trivial . Por otro lado, un paquete de vectores siempre tiene una sección global, es decir, la sección cero . Sin embargo, sólo admite una sección que no desaparece en ninguna parte si su clase de Euler es cero.

Generalizaciones

Las obstrucciones para extender secciones locales se pueden generalizar de la siguiente manera: tomar un espacio topológico y formar una categoría cuyos objetos sean subconjuntos abiertos y los morfismos sean inclusiones. Por tanto, utilizamos una categoría para generalizar un espacio topológico. Generalizamos la noción de "sección local" utilizando haces de grupos abelianos , que asigna a cada objeto un grupo abeliano (análogo a las secciones locales).

Aquí hay una distinción importante: intuitivamente, las secciones locales son como "campos vectoriales" en un subconjunto abierto de un espacio topológico. Entonces, a cada punto se le asigna un elemento de un espacio vectorial fijo . Sin embargo, las gavillas pueden "cambiar continuamente" el espacio vectorial (o, más generalmente, el grupo abeliano).

Todo este proceso es en realidad el functor de sección global , que asigna a cada haz su sección global. Entonces la cohomología de la gavilla nos permite considerar un problema de extensión similar mientras "variamos continuamente" el grupo abeliano. La teoría de las clases características generaliza la idea de obstrucciones a nuestras extensiones.

Ver también

• Sección (teoría de categorías)
• Fibración
• Teoría del calibre
• paquete principal
• Paquete de retroceso
• paquete de vectores

Notas

1. Husemöller, Dale (1994), Haces de fibras , Springer Verlag, pág. 12, ISBN 0-387-94087-1

Referencias

• Norman Steenrod , La topología de los haces de fibras , Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6 . 
• David Bleecker, Teoría de calibres y principios variacionales , publicación Addison-Wesley, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7 . 
• Husemöller, Dale (1994), Paquetes de fibras , Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1

enlaces externos

• Paquete de fibras, PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "Paquete de fibras". MundoMatemático .