Forma diferencial valorada en el álgebra de Lie

En geometría diferencial , una forma con valores de álgebra de Lie es una forma diferencial con valores en un álgebra de Lie . Estas formas tienen aplicaciones importantes en la teoría de conexiones en un fibrado principal , así como en la teoría de conexiones de Cartan .

Definición formal

Una forma diferencial valorada en álgebra de Lie en una variedad, , es una sección suave del fibrado , donde es un álgebra de Lie , es el fibrado cotangente de y denota la potencia exterior . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}}\times M)\otimes \wedge ^{k}T^{*}M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \wedge ^{k}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

Producto de cuña

El producto cuña de formas diferenciales ordinarias con valores reales se define mediante la multiplicación de números reales. Para un par de formas diferenciales con valores de álgebra de Lie, el producto cuña se puede definir de manera similar, pero sustituyendo la operación de corchete de Lie bilineal , para obtener otra forma con valores de álgebra de Lie. Para una forma con valores y una forma con valores , su producto cuña se da por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},\dotsc ,v_{p+q})={1 \over p!q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )[\omega (v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (p)}),\eta (v_{\sigma (p+1)},\dotsc ,v_{\sigma (p+q)})],}$

donde los son vectores tangentes. La notación tiene como objetivo indicar ambas operaciones involucradas. Por ejemplo, si y son formas uno con valores de álgebra de Lie, entonces se tiene ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})].}$

La operación también puede definirse como la operación bilineal al satisfacer ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$ ${\displaystyle \Omega (M,{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [(g\otimes \alpha )\wedge (h\otimes \beta )]=[g,h]\otimes (\alpha \wedge \beta )}$

para todos y . ${\displaystyle g,h\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega (M,\mathbb {R} )}$

Algunos autores han utilizado la notación en lugar de . La notación , que se asemeja a un conmutador , se justifica por el hecho de que si el álgebra de Lie es un álgebra matricial entonces no es nada más que el conmutador graduado de y , es decir, si y entonces ${\displaystyle [\omega ,\eta ]}$ ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$ ${\displaystyle [\omega ,\eta ]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{q}(M,{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]=\omega \wedge \eta -(-1)^{pq}\eta \wedge \omega ,}$

donde se forman productos de cuña utilizando la multiplicación de matrices en . ${\displaystyle \omega \wedge \eta ,\ \eta \wedge \omega \in \Omega ^{p+q}(M,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Operaciones

Sea un homomorfismo del álgebra de Lie . Si es una forma -valuada en una variedad, entonces es una forma -valuada en la misma variedad obtenida al aplicar a los valores de : . ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f(\varphi )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f(\varphi )(v_{1},\dotsc ,v_{k})=f(\varphi (v_{1},\dotsc ,v_{k}))}$

De manera similar, si es una función multilineal en , entonces se pone ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle f(\varphi _{1},\dotsc ,\varphi _{k})(v_{1},\dotsc ,v_{q})={1 \over q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )f(\varphi _{1}(v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (q_{1})}),\dotsc ,\varphi _{k}(v_{\sigma (q-q_{k}+1)},\dotsc ,v_{\sigma (q)}))}$

donde y son formas con valores . Además, dado un espacio vectorial , se puede utilizar la misma fórmula para definir la forma con valores cuando ${\displaystyle q=q_{1}+\ldots +q_{k}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(\varphi ,\eta )}$

${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\times V\to V}$

es una función multilineal, es una forma con valores y es una forma con valores. Nótese que, cuando ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle f([x,y],z)=f(x,f(y,z))-f(y,f(x,z)){,}\qquad (*)}$

dar equivale a dar una acción de sobre ; es decir, determina la representación ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to V,\rho (x)y=f(x,y)}$

y, a la inversa, cualquier representación determina con la condición . Por ejemplo, si (el corchete de ), entonces recuperamos la definición de dada anteriormente, con , la representación adjunta . (Obsérvese que la relación entre y anterior es, por tanto, como la relación entre un corchete y ). ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (*)}$ ${\displaystyle f(x,y)=[x,y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$ ${\displaystyle \rho =\operatorname {ad} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$

En general, si es una forma con valor y es una forma con valor , entonces se escribe más comúnmente cuando . Explícitamente, ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \alpha \cdot \varphi =f(\alpha ,\varphi )}$ ${\displaystyle f(T,x)=Tx}$

${\displaystyle (\alpha \cdot \phi )(v_{1},\dotsc ,v_{p+q})={1 \over (p+q)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\alpha (v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (p)})\phi (v_{\sigma (p+1)},\dotsc ,v_{\sigma (p+q)}).}$

Con esta notación se tiene por ejemplo:

${\displaystyle \operatorname {ad} (\alpha )\cdot \phi =[\alpha \wedge \phi ]}$.

Ejemplo: Si es una forma unidimensional con valor (por ejemplo, una forma de conexión ), una representación de en un espacio vectorial y una forma cero con valor, entonces ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \varphi =2\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \varphi ).}$^[2]

Formularios con valores en un conjunto adjunto

Sea un fibrado principal liso con grupo de estructura y actúa sobre vía representación adjunta y por tanto se puede formar el fibrado asociado: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}=P\times _{\operatorname {Ad} }{\mathfrak {g}}.}$

Cualquier forma con valor en el espacio base de está en una correspondencia natural biunívoca con cualquier forma tensorial en del tipo adjunto. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Véase también

• Forma Maurer-Cartan
• Paquete adjunto

Notas

1. S. Kobayashi, K. Nomizu. Fundamentos de geometría diferencial (Wiley Classics Library) Volumen 1, 2. Capítulo XII, § 1.}}
2. Dado que , tenemos que ${\displaystyle \rho ([\omega \wedge \omega ])(v,w)=\rho ([\omega \wedge \omega ](v,w))=\rho ([\omega (v),\omega (w)])=\rho (\omega (v))\rho (\omega (w))-\rho (\omega (w))\rho (\omega (v))}$

   ${\displaystyle (\rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \varphi )(v,w)={1 \over 2}(\rho ([\omega \wedge \omega ])(v,w)\varphi -\rho ([\omega \wedge \omega ])(w,v)\phi )}$

   es ${\displaystyle \rho (\omega (v))\rho (\omega (w))\varphi -\rho (\omega (w))\rho (\omega (v))\phi =2(\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \phi ))(v,w).}$

Referencias

• S. Kobayashi, K. Nomizu. Fundamentos de geometría diferencial (Wiley Classics Library) Volumen 1, 2.

Enlaces externos

• Producto en cuña del álgebra de Lie valorada en una sola forma
• grupoide de formas valoradas del álgebra de Lie en el laboratorio n