Derivada covariante exterior

En el campo matemático de la geometría diferencial , la derivada covariante exterior es una extensión de la noción de derivada exterior al contexto de un fibrado principal diferenciable o fibrado vectorial con una conexión .

Definición

Sea G un grupo de Lie y P → M un fibrado principal de G en una variedad suave M. Supóngase que hay una conexión en P ; esto produce una descomposición natural por suma directa de cada espacio tangente en los subespacios horizontal y vertical . Sea la proyección al subespacio horizontal. ${\displaystyle T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}}$ ${\displaystyle h:T_{u}P\to H_{u}}$

Si ϕ es una forma k en P con valores en un espacio vectorial V , entonces su derivada covariante exterior Dϕ es una forma definida por

${\displaystyle D\phi (v_{0},v_{1},\dots ,v_{k})=d\phi (hv_{0},hv_{1},\dots ,hv_{k})}$

donde v _i son vectores tangentes a P en u .

Supongamos que ρ  : G → GL( V ) es una representación de G en un espacio vectorial V . Si ϕ es equivariante en el sentido de que

${\displaystyle R_{g}^{*}\phi =\rho (g)^{-1}\phi }$

donde , entonces Dϕ es una forma tensorial ( k + 1) en P del tipo ρ : es equivariante y horizontal (una forma ψ es horizontal si ψ ( v ₀ , ..., v _k ) = ψ ( hv ₀ , ..., hv _k ) .) ${\displaystyle R_{g}(u)=ug}$

Por abuso de notación , la diferencial de ρ en el elemento identidad puede denotarse nuevamente por ρ :

${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

Sea la forma unidimensional de la conexión y la representación de la conexión en Es decir, es una forma con valores , que se desvanece en el subespacio horizontal. Si ϕ es una forma k tensorial de tipo ρ , entonces ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \rho (\omega )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V).}$ ${\displaystyle \rho (\omega )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

${\displaystyle D\phi =d\phi +\rho (\omega )\cdot \phi ,}$^[1]

donde, siguiendo la notación en forma diferencial valorada en álgebra de Lie § Operaciones , escribimos

${\displaystyle (\rho (\omega )\cdot \phi )(v_{1},\dots ,v_{k+1})={1 \over (1+k)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\rho (\omega (v_{\sigma (1)}))\phi (v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k+1)}).}$

A diferencia de la derivada exterior habitual , cuyo cuadrado es 0, la derivada covariante exterior no lo hace. En general, se tiene, para una forma tensorial cero ϕ ,

${\displaystyle D^{2}\phi =F\cdot \phi .}$^[2]

donde F = ρ (Ω) es la representación ^{[ aclaración necesaria ]} en de la forma de dos curvaturas Ω. La forma F a veces se denomina tensor de intensidad de campo , en analogía con el papel que desempeña en el electromagnetismo . Nótese que D ² se anula para una conexión plana (es decir, cuando Ω = 0 ). ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Si ρ  : G → GL( R ⁿ ) , entonces se puede escribir

${\displaystyle \rho (\Omega )=F=\sum {F^{i}}_{j}{e^{j}}_{i}}$

donde es la matriz con 1 en la entrada ( i , j ) -ésima y cero en las otras entradas. La matriz cuyas entradas son 2-formas en P se llama matriz de curvatura . ${\displaystyle {e^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {F^{i}}_{j}}$

Para paquetes vectoriales

Dado un fibrado vectorial real suave E → M con una conexión ∇ y rango r , la derivada covariante exterior es una función real-lineal sobre las formas diferenciales con valores vectoriales que se valoran en E :

${\displaystyle d^{\nabla }:\Omega ^{k}(M,E)\to \Omega ^{k+1}(M,E).}$

La derivada covariante es una función de este tipo para k = 0. Las derivadas covariantes externas extienden esta función a k general . Existen varias formas equivalentes de definir este objeto:

• ^[3] Supóngase que se considera que una 2-forma diferencial con valores vectoriales asigna a cada p una función multilineal s _p : T _p M × T _p M → E _p que es completamente antisimétrica. Entonces, la derivada covariante exterior d ^∇ s asigna a cada p una función multilineal T _p M × T _p M × T _p M → E _p dada por la fórmula

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{x_{1}}(s(X_{2},X_{3}))&-\nabla _{x_{2}}(s(X_{1},X_{3}))+\nabla _{x_{3}}(s(X_{1},X_{2}))\\&-s([X_{1},X_{2}],x_{3})+s([X_{1},X_{3}],x_{2})-s([X_{2},X_{3}],x_{1}).\end{aligned}}}$

donde x ₁ , x ₂ , x ₃ son vectores tangentes arbitrarios en p que se extienden para suavizar campos vectoriales definidos localmente X ₁ , X ₂ X ₃ . La legitimidad de esta definición depende del hecho de que la expresión anterior depende solo de x ₁ , x ₂ , x ₃ , y no de la elección de la extensión. Esto se puede verificar mediante la regla de Leibniz para la diferenciación covariante y para el corchete de Lie de campos vectoriales . El patrón establecido en la fórmula anterior en el caso k = 2 se puede extender directamente para definir la derivada covariante exterior para un k arbitrario .

• ^[4] La derivada covariante exterior puede caracterizarse por la propiedad axiomática de definir para cada k una función lineal real Ω ^k ( M , E ) → Ω ^{k + 1} ( M , E ) que para k = 0 es la derivada covariante y en general satisface la regla de Leibniz.

${\displaystyle d^{\nabla }(\omega \wedge s)=(d\omega )\wedge s+(-1)^{k}\omega \wedge (d^{\nabla }s)}$

para cualquier forma diferencial k ω y cualquier forma vectorial s . Esto también puede verse como una definición inductiva directa. Por ejemplo, para cualquier forma diferencial 1 de valor vectorial s y cualquier marco local e ₁ , ..., e _r del fibrado vectorial, las coordenadas de s son formas diferenciales 1 definidas localmente ω ₁ , ..., ω _r . La fórmula inductiva anterior dice entonces que ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{\nabla }s&=d^{\nabla }(\omega _{1}\wedge e_{1}+\cdots +\omega _{r}\wedge e_{r})\\&=d\omega _{1}\wedge e_{1}+\cdots +d\omega _{r}\wedge e_{r}-\omega _{1}\wedge \nabla e_{1}-\cdots -\omega _{r}\wedge \nabla e_{r}.\end{aligned}}}$

Para que esta sea una definición legítima de d ^∇ s , debe verificarse que la elección del marco local es irrelevante. Esto puede comprobarse considerando un segundo marco local obtenido por una matriz de cambio de base arbitraria; la matriz inversa proporciona la matriz de cambio de base para las 1-formas ω ₁ , ..., ω _r . Cuando se sustituye en la fórmula anterior, la regla de Leibniz tal como se aplica para la derivada exterior estándar y para la derivada covariante ∇ cancela la elección arbitraria.

• ^[6] Una 2-forma diferencial con valores vectoriales s puede considerarse como una cierta colección de funciones s ^α _ij asignadas a un marco local arbitrario de E sobre un gráfico de coordenadas local de M . La derivada covariante exterior se define entonces como dada por las funciones

${\displaystyle (d^{\nabla }s)^{\alpha }{}_{ijk}=\nabla _{i}s^{\alpha }{}_{jk}-\nabla _{j}s^{\alpha }{}_{ik}+\nabla _{k}s^{\alpha }{}_{ij}.}$

El hecho de que esto defina un campo tensorial valorado en E es una consecuencia directa del mismo hecho para la derivada covariante. El hecho adicional de que sea una 3-forma diferencial valorada en E afirma la antisimetría completa en i , j , k y se verifica directamente a partir de la fórmula anterior y la suposición contextual de que s es una 2-forma diferencial valorada en vector, de modo que s ^α _ij = − s ^α _ji . El patrón en esta definición de la derivada covariante exterior para k = 2 se puede extender directamente a valores mayores de k .
Esta definición se puede expresar alternativamente en términos de un marco local arbitrario de E pero sin considerar coordenadas en M . Entonces, una 2-forma diferencial con valores vectoriales se expresa mediante las 2-formas diferenciales s ¹ , ..., s ^r y la conexión se expresa mediante las 1-formas de conexión, una matriz r × r antisimétrica de 1-formas diferenciales θ _α ^β . La derivada covariante exterior de s , como una 3-forma diferencial con valores vectoriales, se expresa en relación con el marco local mediante r muchas 3-formas diferenciales, definidas por

${\displaystyle (d^{\nabla }s)^{\alpha }=d(s^{\alpha })+\theta _{\beta }{}^{\alpha }\wedge s^{\beta }.}$

En el caso del fibrado real trivial ℝ × M → M con su conexión estándar, las formas diferenciales con valores vectoriales y las formas diferenciales pueden identificarse naturalmente entre sí, y cada una de las definiciones anteriores coincide con la derivada exterior estándar .

Dado un fibrado principal, cualquier representación lineal del grupo de estructura define un fibrado asociado , y cualquier conexión en el fibrado principal induce una conexión en el fibrado vectorial asociado. Las formas diferenciales valoradas en el fibrado vectorial pueden identificarse naturalmente con formas tensoriales completamente antisimétricas en el espacio total del fibrado principal. Bajo esta identificación, las nociones de derivada covariante exterior para el fibrado principal y para el fibrado vectorial coinciden entre sí. ^[7]

La curvatura de una conexión en un fibrado vectorial puede definirse como la composición de las dos derivadas covariantes exteriores Ω ⁰ ( M , E ) → Ω ¹ ( M , E ) y Ω ¹ ( M , E ) → Ω ² ( M , E ) , de modo que se define como una función lineal real F : Ω ⁰ ( M , E ) → Ω ² ( M , E ) . Es un hecho fundamental pero no inmediatamente aparente que F ( s ) _p : T _p M × T _p M → E _p solo depende de s ( p ) , y lo hace linealmente. Como tal, la curvatura puede considerarse como un elemento de Ω ² ( M , End( E )) . Dependiendo de cómo se formule la derivada covariante exterior, se pueden obtener varias definiciones alternativas pero equivalentes de curvatura (algunas sin el lenguaje de la diferenciación exterior).

Es un hecho bien conocido que la composición de la derivada exterior estándar consigo misma es cero: d ( d ω) = 0 . En el presente contexto, esto puede considerarse como decir que la conexión estándar en el fibrado de líneas triviales ℝ × M → M tiene curvatura cero.

Ejemplo

• La segunda identidad de Bianchi , que dice que la derivada covariante exterior de Ω es cero (es decir, D Ω = 0 ), puede enunciarse como: . ${\displaystyle d\Omega +\operatorname {ad} (\omega )\cdot \Omega =d\Omega +[\omega \wedge \Omega ]=0}$

Notas

1. Si k = 0 , entonces, escribiendo para el campo vectorial fundamental (es decir, el campo vectorial vertical) generado por X en P , tenemos: ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

   ${\displaystyle d\phi (X_{u}^{\#})=\left.{d \over dt}\right\vert _{0}\phi (u\operatorname {exp} (tX))=-\rho (X)\phi (u)=-\rho (\omega (X_{u}^{\#}))\phi (u)}$,

   ya que ϕ ( gu ) = ρ ( g ⁻¹ ) ϕ ( u ) . Por otro lado, Dϕ ( X ^# ) = 0 . Si X es un vector tangente horizontal, entonces y . Para el caso general, sean X _i vectores tangentes a P en algún punto tales que algunos de X _i sean horizontales y el resto verticales. Si X _i es vertical, lo consideramos como un elemento del álgebra de Lie y luego lo identificamos con el campo vectorial fundamental generado por él. Si X _i es horizontal, lo reemplazamos con la elevación horizontal del campo vectorial que extiende el empuje hacia delante π X _i . De esta manera, hemos extendido X _i a campos vectoriales. Nótese que la extensión es tal que tenemos: [ X _i , X _j ] = 0 si X _i es horizontal y X _j es vertical. Finalmente, por la fórmula invariante para la derivada exterior , tenemos: ${\displaystyle D\phi (X)=d\phi (X)}$ ${\displaystyle \omega (X)=0}$

   ${\displaystyle D\phi (X_{0},\dots ,X_{k})-d\phi (X_{0},\dots ,X_{k})={1 \over k+1}\sum _{0}^{k}(-1)^{i}\rho (\omega (X_{i}))\phi (X_{0},\dots ,{\widehat {X_{i}}},\dots ,X_{k})}$,

   cual es . ${\displaystyle (\rho (\omega )\cdot \phi )(X_{0},\cdots ,X_{k})}$
2. Prueba: Dado que ρ actúa sobre la parte constante de ω , conmuta con d y, por lo tanto

   ${\displaystyle d(\rho (\omega )\cdot \phi )=d(\rho (\omega ))\cdot \phi -\rho (\omega )\cdot d\phi =\rho (d\omega )\cdot \phi -\rho (\omega )\cdot d\phi }$.

   Entonces, de acuerdo con el ejemplo de la forma diferencial valorada en álgebra de Lie § Operaciones ,

   ${\displaystyle D^{2}\phi =\rho (d\omega )\cdot \phi +\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \phi )=\rho (d\omega )\cdot \phi +{1 \over 2}\rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \phi ,}$

   que es por la ecuación de estructura de E. Cartan . ${\displaystyle \rho (\Omega )\cdot \phi }$
3. Besse 1987, sección 1.12; Kolář, Michor & Slovák 1993, sección 11.13.
4. Donaldson y Kronheimer 1990, pág. 35; Eguchi, Gilkey y Hanson 1980, pág. 281; Jost 2017, pág. 169; Taylor 2011, pág. 547.
5. Milnor y Stasheff 1974, págs. 292-293.
6. Eells y Sampson 1964, Sección 3.A.3; Penrose y Rindler 1987, pág. 263.
7. Kolář, Michor y Slovák 1993, págs. 112-114.

Referencias

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