Conexión (paquete de vectores)

Define una noción de transporte paralelo en un paquete.

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y teoría de calibre , una conexión en un haz de fibras es un dispositivo que define una noción de transporte paralelo en el haz; es decir, una forma de "conectar" o identificar fibras sobre puntos cercanos. El caso más común es el de una conexión lineal sobre un haz de vectores , para lo cual la noción de transporte paralelo debe ser lineal . Una conexión lineal se especifica de manera equivalente mediante una derivada covariante , un operador que diferencia secciones del paquete a lo largo de direcciones tangentes en la variedad base, de tal manera que las secciones paralelas tienen derivada cero. Las conexiones lineales generalizan, a haces de vectores arbitrarios, la conexión de Levi-Civita en el haz tangente de una variedad pseudo-riemanniana , lo que proporciona una forma estándar de diferenciar campos vectoriales. Las conexiones no lineales generalizan este concepto a haces cuyas fibras no son necesariamente lineales.

Las conexiones lineales también se denominan conexiones de Koszul en honor a Jean-Louis Koszul , quien dio un marco algebraico para describirlas (Koszul 1950).

Este artículo define la conexión en un paquete de vectores utilizando una notación matemática común que resta importancia a las coordenadas. Sin embargo, también se utilizan habitualmente otras notaciones: en la relatividad general , los cálculos de haces de vectores suelen escribirse utilizando tensores indexados; En la teoría de calibre , se enfatizan los endomorfismos de las fibras del espacio vectorial. Las diferentes notaciones son equivalentes, como se analiza en el artículo sobre conexiones métricas (los comentarios allí realizados se aplican a todos los paquetes de vectores).

Motivación

Sea M una variedad diferenciable , como el espacio euclidiano . Una función con valores vectoriales puede verse como una sección de un paquete de vectores trivial. Se puede considerar una sección de un paquete de vectores diferenciable general y, por lo tanto, es natural preguntarse si es posible diferenciar una sección, como una generalización de cómo se puede diferenciar una sección. diferencia una función en M . ${\displaystyle M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}\to M.}$

Una sección de un haz puede verse como una función generalizada desde la base hasta las fibras del haz de vectores. Esto se puede visualizar mediante el gráfico de la sección, como en la figura anterior.

El caso modelo es diferenciar una función en el espacio euclidiano . En esta configuración, la derivada en un punto en la dirección puede definirse mediante la fórmula estándar ${\displaystyle X:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dX}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(x+tv)-X(x)}{t}}.}$

Para cada , esto define un nuevo vector. ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dX(v)(x)\in \mathbb {R} ^{m}.}$

Al pasar a una sección de un paquete de vectores sobre una variedad , uno encuentra dos problemas clave con esta definición. En primer lugar, dado que la variedad no tiene estructura lineal, el término no tiene sentido en . En lugar de eso, uno toma un camino tal que y calcula ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x+tv}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,\gamma '(0)=v}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$

Sin embargo, esto todavía no tiene sentido, porque y son elementos de espacios vectoriales distintos y. Esto significa que la resta de estos dos términos no está definida naturalmente. ${\displaystyle X(\gamma (t))}$ ${\displaystyle X(\gamma (0))}$ ${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle E_{x}.}$

El problema se resuelve introduciendo la estructura adicional de una conexión al paquete de vectores. Hay al menos tres perspectivas desde las cuales se pueden entender las conexiones. Cuando se formulan con precisión, las tres perspectivas son equivalentes.

1. ( Transporte paralelo ) Se puede considerar que una conexión asigna a cada camino diferenciable un isomorfismo lineal para todos. Usando este isomorfismo uno puede transportar a la fibra y luego tomar la diferencia; explícitamente, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle P_{t}^{\gamma }:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle X(\gamma (t))}$ ${\displaystyle E_{x}}$
   $${\displaystyle \nabla _{v}X=\lim _{t\to 0}{\frac {P_{t}^{\gamma }X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$$
   Para que esto dependa sólo del camino que se extiende y no de él , es necesario imponer restricciones (en la definición) a la dependencia de Esto no es sencillo de formular, por lo que esta noción de "transporte paralelo" generalmente se deriva como un subproducto de otras formas de definir conexiones. De hecho, la siguiente noción de "conexión de Ehresmann" no es más que una formulación infinitesimal de transporte paralelo. ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle P_{t}^{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma .}$
2. ( Conexión de Ehresmann ) La sección puede verse como un mapa suave desde la variedad suave a la variedad suave. Como tal, uno puede considerar el empuje hacia adelante , que es un elemento del espacio tangente . En la formulación de una conexión de Ehresmann, uno elige una forma de asignar , a todos y cada uno de ellos una descomposición de suma directa de en dos subespacios lineales, uno de los cuales es la incrustación natural de Con estos datos adicionales, se define proyectando para ser valorado en Para respetar la estructura lineal de un paquete vectorial, se impone restricciones adicionales sobre cómo varía la descomposición de la suma directa de movimientos como e a lo largo de una fibra. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle dX(v),}$ ${\displaystyle T_{X(x)}E.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e\in E_{x},}$ ${\displaystyle T_{X(x)}E}$ ${\displaystyle E_{x}.}$ ${\displaystyle \nabla _{v}X}$ ${\displaystyle dX(v)}$ ${\displaystyle E_{x}.}$ ${\displaystyle T_{e}E}$
3. ( Derivada covariante ) La derivada estándar en contextos euclidianos satisface ciertas dependencias y la más fundamental es la linealidad. Una derivada covariante se define como cualquier operación que imite estas propiedades, junto con una forma de la regla del producto . ${\displaystyle dX(v)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle (v,X)\mapsto \nabla _{v}X}$

A menos que la base sea de dimensión cero, siempre existen infinitas conexiones en un conjunto de vectores diferenciables dado, por lo que siempre existe la correspondiente elección de cómo diferenciar las secciones. Dependiendo del contexto, se pueden distinguir opciones, por ejemplo aquellas que se determinan resolviendo ciertas ecuaciones diferenciales parciales . En el caso del paquete tangente , cualquier métrica pseudoriemanniana (y en particular cualquier métrica riemanniana ) determina una conexión canónica, llamada conexión Levi-Civita .

Definicion formal

Sea un paquete de vectores reales suave sobre una variedad suave . Denota el espacio de secciones suaves de por . Una derivada covariante es cualquiera de las siguientes estructuras equivalentes: ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle E\to M}$

1. an - aplicación lineal tal que la regla del producto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)}$
   $${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$$
   Se mantiene para todas las funciones suaves y todas las secciones suaves de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E.}$
2. una asignación, a cualquier sección suave s y cada , de un mapa lineal que depende suavemente de x y tal que ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\nabla s)_{x}:T_{x}M\to E_{x}}$
   $${\displaystyle \nabla (a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2})=a_{1}\nabla s_{1}+a_{2}\nabla s_{2}}$$
   para dos secciones suaves cualesquiera y números reales cualesquiera y tales que para cada función suave , esté relacionada con por ${\displaystyle s_{1},s_{2}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla (fs)}$ ${\displaystyle \nabla s}$
   $${\displaystyle {\big (}\nabla (fs){\big )}_{x}(v)=df(v)s(x)+f(x)(\nabla s)_{x}(v)}$$
   para cualquier y ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle v\in T_{x}M.}$

Más allá de utilizar la identificación canónica entre el espacio vectorial y el espacio vectorial de aplicaciones lineales, estas dos definiciones son idénticas y sólo difieren en el lenguaje utilizado. ${\displaystyle T_{x}^{\ast }M\otimes E_{x}}$ ${\displaystyle T_{x}M\to E_{x},}$

Es típico denotar por con estando implícito en Con esta notación, la regla del producto en la segunda versión de la definición dada anteriormente se escribe ${\displaystyle (\nabla s)_{x}(v)}$ ${\displaystyle \nabla _{v}s,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v.}$

${\displaystyle \nabla _{v}(fs)=df(v)s+f\nabla _{v}s.}$

Observación. En el caso de un paquete de vectores complejo, la definición anterior sigue siendo significativa, pero generalmente se modifica cambiando "real" y "ℝ" en todos los lugares donde aparecen por "complejo" y " ". Esto impone restricciones adicionales, ya que no todos El mapa lineal real entre espacios vectoriales complejos es lineal complejo. Existe cierta ambigüedad en esta distinción, ya que un paquete de vectores complejo también puede considerarse como un paquete de vectores real. ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Conexiones inducidas

Dado un paquete de vectores , hay muchos paquetes asociados con los que se pueden construir, por ejemplo el paquete de vectores dual , potencias tensoriales , potencias tensoriales simétricas y antisimétricas , y las sumas directas . Una conexión induce una conexión en cualquiera de estos paquetes asociados. La facilidad de paso entre conexiones en haces asociados se captura de manera más elegante en la teoría de las conexiones de haces principales , pero aquí presentamos algunas de las conexiones inducidas básicas. ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle E^{\otimes k}}$ ${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E}$ ${\displaystyle E^{\oplus k}}$ ${\displaystyle E}$

Conexión doble

Dada una conexión en , la conexión dual inducida en se define implícitamente por ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla ^{*}}$ ${\displaystyle E^{*}}$

${\displaystyle d(\langle \xi ,s\rangle )(X)=\langle \nabla _{X}^{*}\xi ,s\rangle +\langle \xi ,\nabla _{X}s\rangle .}$

Aquí hay un campo vectorial suave, es una sección de y una sección del haz dual, y el emparejamiento natural entre un espacio vectorial y su dual (que ocurre en cada fibra entre y ), es decir ,. Tenga en cuenta que esta definición esencialmente impone que la conexión se realice de manera que se cumpla una regla de producto natural para el emparejamiento . ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \xi \in \Gamma (E^{*})}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \langle \xi ,s\rangle :=\xi (s)}$ ${\displaystyle \nabla ^{*}}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Conexión del producto tensorial

Dadas las conexiones en dos paquetes de vectores , defina la conexión del producto tensorial mediante la fórmula ${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$ ${\displaystyle E,F\to M}$

${\displaystyle (\nabla ^{E}\otimes \nabla ^{F})_{X}(s\otimes t)=\nabla _{X}^{E}(s)\otimes t+s\otimes \nabla _{X}^{F}(t).}$

Aquí tenemos . Observe nuevamente que esta es la forma natural de combinar para hacer cumplir la regla del producto para la conexión del producto tensorial. Mediante la aplicación repetida de la construcción anterior aplicada al producto tensorial , también se obtiene la conexión de potencia del tensor para cualquier paquete vectorial . ${\displaystyle s\in \Gamma (E),t\in \Gamma (F),X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$ ${\displaystyle E^{\otimes k}=(E^{\otimes (k-1)})\otimes E}$ ${\displaystyle E^{\otimes k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle E}$

Conexión de suma directa

La conexión de suma directa está definida por

${\displaystyle (\nabla ^{E}\oplus \nabla ^{F})_{X}(s\oplus t)=\nabla _{X}^{E}(s)\oplus \nabla _{X}^{F}(t),}$

dónde . ${\displaystyle s\oplus t\in \Gamma (E\oplus F)}$

Conexiones de alimentación simétricas y exteriores.

Dado que la potencia simétrica y la potencia exterior de un haz de vectores pueden verse naturalmente como subespacios de la potencia del tensor, la definición de la conexión del producto tensorial se aplica de manera sencilla a esta configuración. De hecho, dado que las álgebras simétrica y exterior se encuentran dentro del álgebra tensorial como sumandos directos, y la conexión respeta esta división natural, uno puede simplemente restringirse a estos sumandos. Explícitamente, defina la conexión simétrica del producto mediante ${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E\subset E^{\otimes k}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{X}^{\odot 2}(s\cdot t)=\nabla _{X}s\odot t+s\odot \nabla _{X}t}$

y la conexión exterior del producto mediante

${\displaystyle \nabla _{X}^{\wedge 2}(s\wedge t)=\nabla _{X}s\wedge t+s\wedge \nabla _{X}t}$

para todos . Las aplicaciones repetidas de estos productos proporcionan potencia simétrica inducida y conexiones de alimentación exterior en y respectivamente. ${\displaystyle s,t\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle S^{k}E}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}E}$

Conexión de endomorfismo

Finalmente, se puede definir la conexión inducida en el paquete de vectores de endomorfismos , la conexión de endomorfismo . Esta es simplemente la conexión del producto tensorial de la conexión dual una y otra vez . Si y , de modo que la composición también, entonces la siguiente regla del producto se cumple para la conexión de endomorfismo: ${\displaystyle \nabla ^{\operatorname {End} {E}}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$ ${\displaystyle \nabla ^{*}}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle u(s)\in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \nabla _{X}(u(s))=\nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)+u(\nabla _{X}(s)).}$

Al invertir esta ecuación, es posible definir la conexión de endomorfismo como la conexión única que satisface

${\displaystyle \nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)=\nabla _{X}(u(s))-u(\nabla _{X}(s))}$

para any , evitando así la necesidad de definir primero la conexión dual y la conexión del producto tensorial. ${\displaystyle u,s,X}$

Cualquier paquete asociado

Dado un conjunto de vectores de rango y cualquier representación en un grupo lineal , existe una conexión inducida en el conjunto de vectores asociado . Esta teoría se captura de manera más sucinta pasando a la conexión de haz principal en el marco de fibrados y utilizando la teoría de los fibrados principales. Cada uno de los ejemplos anteriores puede verse como casos especiales de esta construcción: el paquete dual corresponde a la representación de transpuesta inversa (o adjunta inversa), el producto tensorial a la representación del producto tensorial, la suma directa a la representación de suma directa, y así en. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (r,\mathbb {K} )\to G}$ ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle F=E\times _{\rho }V}$ ${\displaystyle E}$

Formas derivadas covariantes exteriores y con valores vectoriales

Sea un paquete de vectores. Una forma diferencial de grado valorada es una sección del paquete de productos tensoriales : ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E.}$

El espacio de tales formas se denota por

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M;E)=\Gamma \left(\bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E\right)=\Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E),}$

donde el último producto tensorial denota el producto tensorial de módulos sobre el anillo de funciones suaves en . ${\displaystyle M}$

Una forma 0 con valor es solo una sección del paquete . Eso es, ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).}$

En esta notación, una conexión es un mapa lineal. ${\displaystyle E\to M}$

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).}$

Entonces, una conexión puede verse como una generalización de la derivada exterior a formas valoradas en paquetes de vectores. De hecho, dada una conexión, existe una forma única de extenderla a una derivada covariante exterior. ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

Esta derivada covariante exterior se define mediante la siguiente regla de Leibniz, que se especifica en tensores simples de la forma y se extiende linealmente: ${\displaystyle \omega \otimes s}$

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \otimes s)=d\omega \otimes s+(-1)^{\deg \omega }\omega \wedge \nabla s}$

donde para que , es una sección y denota la forma con valores definidos acuñándose con la parte de una forma de . Observe que para formas con valor 0, esto recupera la regla normal de Leibniz para la conexión . ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{r}(M)}$ ${\displaystyle \deg \omega =r}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \omega \wedge \nabla s}$ ${\displaystyle (r+1)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \nabla s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$

A diferencia del derivado exterior ordinario, uno generalmente tiene . De hecho, está directamente relacionado con la curvatura de la conexión (ver más abajo). ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$ ${\displaystyle \nabla }$

Propiedades afines del conjunto de conexiones.

Todo paquete de vectores sobre una variedad admite una conexión, que se puede demostrar utilizando particiones de la unidad . Sin embargo, las conexiones no son únicas. Si y son dos conexiones, entonces su diferencia es un operador lineal. Eso es, ${\displaystyle \nabla _{1}}$ ${\displaystyle \nabla _{2}}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}s-\nabla _{2}s)}$

para todas las funciones suaves y todas las secciones suaves de . De ello se deduce que la diferencia se puede identificar de forma única con una forma única con valores en el paquete de endomorfismo : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}\in \Omega ^{1}(M;\mathrm {End} \,E).}$

Por el contrario, si hay una conexión activada y es de forma única con valores en , entonces es una conexión activada . ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle \nabla +A}$ ${\displaystyle E}$

En otras palabras, el espacio de conexiones en es un espacio afín para . Este espacio afín se denota comúnmente . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Relación con las conexiones principales y de Ehresmann

Sea un paquete de vectores de rango y sea el paquete de marcos de . Entonces una conexión (principal) induce una conexión en . Primero, tenga en cuenta que las secciones de están en correspondencia uno a uno con mapas equivalentes a la derecha . (Esto se puede ver al considerar el retroceso de over , que es isomorfo al paquete trivial ). Dada una sección de, sea el correspondiente mapa equivariante . La derivada covariante de viene dada por ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\times \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi (s)}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \psi (\nabla _{X}s)=X^{H}(\psi (s))}$

¿ Dónde está la elevación horizontal de desde a ? (Recuerde que la elevación horizontal está determinada por la conexión en .) ${\displaystyle X^{H}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

Por el contrario, una conexión determina una conexión y estas dos construcciones son mutuamente inversas. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

Una conexión en también está determinada de manera equivalente por una conexión lineal de Ehresmann en . Esto proporciona un método para construir la conexión principal asociada. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Las conexiones inducidas analizadas en #Conexiones inducidas se pueden construir como conexiones en otros paquetes asociados al paquete de marcos de , utilizando representaciones distintas a la representación estándar utilizada anteriormente. Por ejemplo, si denota la representación estándar de on , entonces el paquete asociado a la representación de on es el paquete de suma directa , y la conexión inducida es precisamente la que se describió anteriormente. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \rho \oplus \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\oplus \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle E\oplus E}$

expresión local

Sea un paquete de vectores de rango y sea un subconjunto abierto de sobre el cual se trivializa. Por tanto sobre el conjunto , admite una trama local lisa de tramos. ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\dots ,e_{k});\quad e_{i}:U\to \left.E\right|_{U}.}$

Dado que el marco define una base de la fibra para cualquiera , se puede expandir cualquier sección local en el marco como ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}s^{i}e_{i}}$

para una colección de funciones fluidas . ${\displaystyle s^{1},\dots ,s^{k}:U\to \mathbb {R} }$

Dada una conexión en , es posible expresar over en términos del marco local de secciones, utilizando la regla del producto característico para la conexión. Para cualquier sección básica , la cantidad puede ampliarse en el marco local como ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \nabla (e_{i})\in \Omega ^{1}(U)\otimes \Gamma (U,E)}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle \nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{k}A_{i}^{\ j}\otimes e_{j},}$

donde hay una colección de formas únicas locales. Estas formas se pueden poner en una matriz de formas unificadas definida por ${\displaystyle A_{i}^{\ j}\in \Omega ^{1}(U);\,j=1,\dots ,k}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ 1}&\cdots &A_{k}^{\ 1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1}^{\ k}&\cdots &A_{k}^{\ k}\end{pmatrix}}\in \Omega ^{1}(U,\operatorname {End} (\left.E\right|_{U}))}$

llamada forma de conexión local de over ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle U}$ . La acción de en cualquier sección se puede calcular en términos de usar la regla del producto como ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{j=1}^{k}\left(ds^{j}+\sum _{i=1}^{k}A_{i}^{\ j}s^{i}\right)\otimes e_{j}.}$

Si la sección local también se escribe en notación matricial como un vector columna utilizando el marco local como base, ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle s={\begin{pmatrix}s^{1}\\\vdots \\s^{k}\end{pmatrix}},}$

luego, usando la multiplicación de matrices regular, se puede escribir

${\displaystyle \nabla (s)=ds+As}$

donde es una abreviatura para aplicar la derivada exterior a cada componente de como un vector columna. En esta notación, a menudo se escribe localmente que . En este sentido, una conexión está completamente especificada localmente por su conexión uniforme en alguna trivialización. ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}=d+A}$

Como se explica en #Propiedades afines del conjunto de conexiones, cualquier conexión se diferencia de otra por una forma única valorada endomorfismo. Desde esta perspectiva, la conexión de forma única es precisamente la forma de valor de endomorfismo tal que la conexión en difiere de la conexión trivial en , que existe porque es un conjunto trivializante para . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}}$ ${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E}$

Relación con los símbolos de Christoffel

En geometría pseudo-riemanniana , la conexión Levi-Civita a menudo se escribe en términos de los símbolos de Christoffel en lugar de la conexión uniforme . Es posible definir símbolos de Christoffel para una conexión en cualquier paquete de vectores, y no solo el paquete tangente de una variedad pseudo-riemanniana. Para hacer esto, supongamos que además de ser un subconjunto abierto trivializador para el paquete de vectores , también es un gráfico local para la variedad , que admite coordenadas locales . ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{\ \ k}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n});\quad x^{i}:U\to \mathbb {R} }$

En dicho gráfico local, hay un marco local distinguido para las formas uni diferenciales dadas por , y las formas uni de conexión local se pueden expandir sobre esta base como ${\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})}$ ${\displaystyle A_{i}^{j}}$

${\displaystyle A_{i}^{\ j}=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}dx^{\ell }}$

para una colección de funciones suaves locales , llamadas símbolos de Christoffel de más . En el caso de que y sea la conexión Levi-Civita, estos símbolos concuerdan precisamente con los símbolos de Christoffel de la geometría pseudo-riemanniana. ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E=TM}$ ${\displaystyle \nabla }$

La expresión de cómo actúa en coordenadas locales se puede ampliar aún más en términos de la carta local y los símbolos de Christoffel, que vendrá dada por ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{\ell =1}^{n}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)dx^{\ell }\otimes e_{j}.}$

Al contraer esta expresión con el vector tangente de coordenadas locales se obtiene ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}}$

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j}.}$

Esto define una colección de operadores definidos localmente. ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nabla _{\ell }:\Gamma (U,E)\to \Gamma (U,E);\quad \nabla _{\ell }(s):=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j},}$

con la propiedad que

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{\ell =1}^{n}dx^{\ell }\otimes \nabla _{\ell }(s).}$

Cambio de trivialización local

Supongamos que hay otra elección de marco local sobre el mismo conjunto de trivialización , de modo que hay una matriz de funciones suaves que relacionan y , definida por ${\displaystyle \mathbf {e'} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g=(g_{i}^{\ j})}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j=1}^{k}g_{i}^{\ j}e'_{j}.}$

Siguiendo la construcción de la forma de conexión local para el marco , se encuentra que la conexión de forma única para está dada por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle {A'}_{i}^{\ j}=\sum _{p,q=1}^{k}g_{p}^{\ j}A_{q}^{\ p}{(g^{-1})}_{i}^{\ q}-\sum _{p=1}^{k}(dg)_{p}^{\ j}{(g^{-1})}_{i}^{\ p}}$

donde denota la matriz inversa a . En notación matricial esto puede escribirse ${\displaystyle g^{-1}=\left({(g^{-1})}_{i}^{\ j}\right)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle A'=gAg^{-1}-(dg)g^{-1}}$

donde es la matriz de formas unicas obtenida al tomar la derivada exterior de la matriz componente por componente. ${\displaystyle dg}$ ${\displaystyle g}$

En el caso de que sea el paquete tangente y sea el jacobiano de una transformación de coordenadas de , las fórmulas extensas para la transformación de los símbolos de Christoffel de la conexión Levi-Civita se pueden recuperar de las leyes de transformación más sucintas de la forma de conexión anterior. ${\displaystyle E=TM}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

Transporte paralelo y holonomía.

Una conexión en un paquete de vectores define una noción de transporte paralelo a lo largo de una curva en . Sea un camino suave en . Se dice que una sección de a lo largo es paralela si ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s=0}$

para todos . De manera equivalente, se puede considerar el paquete de retroceso de by . Este es un paquete de vectores con fibra encima . La conexión activada regresa a una conexión activada . Una sección de es paralela si y sólo si . ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}\nabla (s)=0}$

Supongamos que es un camino desde hacia adentro . La ecuación anterior que define secciones paralelas es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (consulte la expresión local anterior) y, por lo tanto, tiene una solución única para cada posible condición inicial. Es decir, para cada vector existe una sección paralela única de con . Definir un mapa de transporte paralelo ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ ${\displaystyle s(0)=v}$

${\displaystyle \tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,}$

por . Se puede demostrar que es un isomorfismo lineal , con inversa dada siguiendo el mismo procedimiento con el camino inverso de a . ${\displaystyle \tau _{\gamma }(v)=s(1)}$ ${\displaystyle \tau _{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma ^{-}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Cómo recuperar la derivada covariante de una conexión a partir de su transporte paralelo. Los valores de una sección se transportan en paralelo a lo largo del camino de regreso a , y luego se toma la derivada covariante en el espacio vectorial fijo, la fibra sobre . ${\displaystyle s(\gamma (t))}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x}$

El transporte paralelo se puede utilizar para definir el grupo de holonomía de la conexión basada en un punto en . Este es el subgrupo que consta de todos los mapas de transporte paralelo provenientes de bucles basados ​​en : ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (E_{x})}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.\,}$

El grupo de holonomía de una conexión está íntimamente relacionado con la curvatura de la conexión (AmbroseSinger 1953).

La conexión se podrá recuperar de sus operadores de transporte paralelo de la siguiente manera. Si es un campo vectorial y una sección, en un punto elija una curva integral para en . Para cada uno escribiremos el mapa de transporte paralelo que viaja desde hasta . En particular para cada uno , tenemos . Luego define una curva en el espacio vectorial , que puede diferenciarse. La derivada covariante se recupera como ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \gamma :(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \tau _{t}:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \tau _{t}s(\gamma (t))\in E_{x}}$ ${\displaystyle t\mapsto \tau _{t}s(\gamma (t))}$ ${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle \nabla _{X}s(x)={\frac {d}{dt}}\left(\tau _{t}s(\gamma (t))\right)_{t=0}.}$

Esto demuestra que se da una definición equivalente de conexión especificando todos los isomorfismos de transporte paralelo entre fibras de y tomando la expresión anterior como la definición de . ${\displaystyle \tau _{\gamma }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$

Curvatura

La curvatura de una conexión es una forma bipartita con valores en el paquete de endomorfismo . Eso es, ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle F_{\nabla }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} (E))=\Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathrm {End} (E)).}$

Se define por la expresión

${\displaystyle F_{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}$

donde y son campos vectoriales tangentes a y es una sección de . Hay que comprobar que es -lineal en ambos y y que, de hecho, define un endomorfismo de paquete de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{\nabla }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E}$

Como se mencionó anteriormente, la derivada exterior covariante no necesita elevarse a cero cuando actúa sobre formas valoradas. Sin embargo, el operador es estrictamente tensorial (es decir , -lineal). Esto implica que se induce a partir de una forma 2 con valores en . Esta forma 2 es precisamente la forma de curvatura dada anteriormente. Para una forma valorada tenemos ${\displaystyle d_{\nabla }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (d_{\nabla })^{2}\sigma =F_{\nabla }\wedge \sigma .}$

Una conexión plana es aquella cuya forma de curvatura desaparece de forma idéntica.

Forma local y ecuación de estructura de Cartan.

La forma de curvatura tiene una descripción local llamada ecuación de estructura de Cartan . Si tiene forma local en algún subconjunto abierto trivializante para , entonces ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+A\wedge A}$

en . Para aclarar esta notación, observe que es una forma univalorada por endomorfismo y, por lo tanto, en coordenadas locales toma la forma de una matriz de formas uniformes. La operación aplica la derivada exterior en componentes a esta matriz y denota multiplicación de matrices, donde los componentes se acuñan en lugar de multiplicarse. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A\wedge A}$

En las coordenadas locales anteriores , si la forma de conexión está escrita para una colección de endomorfismos locales , entonces se tiene ${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A=A_{\ell }dx^{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})dx^{\ell }}$ ${\displaystyle A_{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})}$

${\displaystyle F_{\nabla }=\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{q}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial A_{p}}{\partial x^{q}}}+[A_{p},A_{q}]\right)dx^{p}\wedge dx^{q}.}$

Ampliando aún más esto en términos de los símbolos de Christoffel se produce la expresión familiar de la geometría de Riemann. Es decir, si es una sección de over , entonces ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}}$ ${\displaystyle s=s^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle F_{\nabla }(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma _{qi}^{\ \ j}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial \Gamma _{pi}^{\ \ j}}{\partial x^{q}}}+\Gamma _{pr}^{\ \ j}\Gamma _{qi}^{\ \ r}-\Gamma _{qr}^{\ \ j}\Gamma _{pi}^{\ \ r}\right)s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}R_{pqi}^{\ \ \ j}s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}.}$

Aquí está el tensor de curvatura completo de , y en geometría de Riemann se identificaría con el tensor de curvatura de Riemann . ${\displaystyle R=(R_{pqi}^{\ \ \ j})}$ ${\displaystyle F_{\nabla }}$

Se puede comprobar que si definimos como cuña producto de formas pero conmutador de endomorfismos en contraposición a composición, entonces , y con esta notación alternativa la ecuación de estructura de Cartan toma la forma ${\displaystyle [A,A]}$ ${\displaystyle A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+{\frac {1}{2}}[A,A].}$

Esta notación alternativa se usa comúnmente en la teoría de conexiones de haces principales, donde en su lugar usamos una forma de conexión , una forma univaluada del álgebra de Lie , para la cual no existe noción de composición (a diferencia del caso de los endomorfismos), pero sí es una noción de corchete de Lie. ${\displaystyle \omega }$

En algunas referencias (ver por ejemplo (MadsenTornehave1997)) la ecuación de la estructura de Cartan puede escribirse con un signo menos:

${\displaystyle F_{\nabla }=dA-A\wedge A.}$

Esta convención diferente utiliza un orden de multiplicación de matrices que es diferente de la notación estándar de Einstein en el producto de cuña de formas unitarias con valores matriciales.

identidad bianchi

Una versión de la segunda identidad (diferencial) de Bianchi de la geometría de Riemann es válida para una conexión en cualquier paquete de vectores. Recuerde que una conexión en un paquete de vectores induce una conexión de endomorfismo en . Esta conexión de endomorfismo tiene en sí misma una derivada covariante exterior, que llamamos ambiguamente . Dado que la curvatura es una forma de dos valores definida globalmente , podemos aplicarle la derivada covariante exterior. La identidad Bianchi dice que ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle d_{\nabla }}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$

${\displaystyle d_{\nabla }F_{\nabla }=0}$.

Esto captura sucintamente las complicadas fórmulas tensoriales de la identidad de Bianchi en el caso de las variedades de Riemann, y se puede traducir de esta ecuación a las identidades de Bianchi estándar expandiendo la conexión y la curvatura en coordenadas locales.

No existe un análogo en general de la primera identidad (algebraica) de Bianchi para una conexión general, ya que explota las simetrías especiales de la conexión Levi-Civita. Es decir, se aprovecha que los índices de haces de vectores en el tensor de curvatura se pueden intercambiar con los índices de haces cotangentes que provienen de después de usar la métrica para bajar o subir índices. Por ejemplo, esto permite definir la condición de libertad de torsión para la conexión Levi-Civita, pero para un paquete de vectores general, el índice se refiere a la base de coordenadas local de , y los índices al marco de coordenadas local de y procedente de dividiéndose . Sin embargo, en circunstancias especiales, por ejemplo cuando el rango de es igual a la dimensión de y se ha elegido una forma de soldadura , se puede usar la soldadura para intercambiar los índices y definir una noción de torsión para conexiones afines que no son la conexión Levi-Civita. ${\displaystyle E=TM}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}=\Gamma _{i\ell }^{\ \ j}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (E)=E^{*}\otimes E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

Transformaciones de calibre

Dadas dos conexiones en un paquete de vectores , es natural preguntarse cuándo podrían considerarse equivalentes. Existe una noción bien definida de automorfismo de un paquete de vectores . Una sección es un automorfismo si es invertible en todos los puntos . Tal automorfismo se llama transformación de calibre de , y el grupo de todos los automorfismos se llama grupo de calibre , a menudo denotado o . El grupo de transformaciones de calibre se puede caracterizar claramente como el espacio de secciones del paquete adjunto A capital del paquete de marcos del paquete de vectores . Esto no debe confundirse con el paquete adjunto en minúscula , que naturalmente se identifica consigo mismo. El paquete es el paquete asociado al paquete de marco principal por la representación de conjugación de sobre sí mismo, y tiene fibra del mismo grupo lineal general donde . Obsérvese que a pesar de tener la misma fibra que el haz de marco y estar asociada a él, no es igual al haz de marco, ni siquiera a un haz principal en sí. El grupo de calibre puede caracterizarse de manera equivalente como ${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle u(x)\in \operatorname {End} (E_{x})}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathcal {F}}(E))}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r)}$ ${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)).}$

Una transformación de calibre de actúa sobre secciones y, por tanto, actúa sobre conexiones por conjugación. Explícitamente, si hay una conexión en , entonces se define por ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle u\cdot \nabla }$

${\displaystyle (u\cdot \nabla )_{X}(s)=u(\nabla _{X}(u^{-1}(s))}$

para . Para comprobar que hay una conexión, se verifica la regla del producto. ${\displaystyle s\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle u\cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\cdot \nabla (fs)&=u(\nabla (u^{-1}(fs)))\\&=u(\nabla (fu^{-1}(s)))\\&=u(df\otimes u^{-1}(s))+u(f\nabla (u^{-1}(s)))\\&=df\otimes s+fu\cdot \nabla (s).\end{aligned}}}$

Se puede comprobar que esto define una acción de grupo izquierdo en el espacio afín de todas las conexiones . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Dado que es un espacio afín modelado sobre , debería existir alguna forma única valorada por endomorfismo tal que . Usando la definición de la conexión de endomorfismo inducida por , se puede ver que ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(M,\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle A_{u}\in \Omega ^{1}(M,\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle u\cdot \nabla =\nabla +A_{u}}$ ${\displaystyle \nabla ^{\operatorname {End} (E)}}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle u\cdot \nabla =\nabla -d^{\nabla }(u)u^{-1}}$

es decir eso . ${\displaystyle A_{u}=-d^{\nabla }(u)u^{-1}}$

Se dice que dos conexiones son equivalentes de calibre si difieren por la acción del grupo de calibre, y el espacio cociente es el espacio de módulos de todas las conexiones en . En general, este espacio topológico no es una variedad suave ni siquiera un espacio de Hausdorff , pero contiene en su interior el espacio de módulos de las conexiones de Yang-Mills , que es de gran interés en la teoría de calibres y la física . ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Ejemplos

• Una derivada covariante clásica o conexión afín define una conexión en el paquete tangente de M , o más generalmente en cualquier paquete tensorial formado tomando productos tensoriales del paquete tangente consigo mismo y su dual.
• Una conexión puede describirse explícitamente como el operador ${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla =d+{\begin{bmatrix}f_{11}(x)&f_{12}(x)\\f_{21}(x)&f_{22}(x)\end{bmatrix}}dx}$

donde se evalúa la derivada exterior en funciones suaves valoradas por vectores y son suaves. Una sección podrá identificarse con un mapa. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f_{ij}(x)}$ ${\displaystyle a\in \Gamma (\pi )}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}\\x\mapsto (a_{1}(x),a_{2}(x))\end{cases}}}$

y luego

${\displaystyle \nabla (a)=\nabla {\begin{bmatrix}a_{1}(x)\\a_{2}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {da_{1}(x)}{dx}}+f_{11}(x)a_{1}(x)+f_{12}(x)a_{2}(x)\\{\frac {da_{2}(x)}{dx}}+f_{21}(x)a_{1}(x)+f_{22}(x)a_{2}(x)\end{bmatrix}}dx}$

• Si el paquete está dotado de una métrica de paquete , un producto interno en sus fibras del espacio vectorial, una conexión métrica se define como una conexión que es compatible con la métrica del paquete.
• Una conexión de Yang-Mills es una conexión métrica especial que satisface las ecuaciones de movimiento de Yang-Mills .
• Una conexión de Riemann es una conexión métrica en el haz tangente de una variedad de Riemann .
• Una conexión Levi-Civita es una conexión riemanniana especial: la conexión compatible con el sistema métrico en el haz tangente y que además está libre de torsión . Es único, en el sentido de que dada cualquier conexión riemanniana, siempre se puede encontrar una y sólo una conexión equivalente que esté libre de torsión. "Equivalente" significa que es compatible con la misma métrica, aunque los tensores de curvatura puedan ser diferentes; ver teleparalelismo . La diferencia entre una conexión de Riemann y la correspondiente conexión de Levi-Civita viene dada por el tensor de contorsión .
• La derivada exterior es una conexión plana en (el haz de líneas trivial sobre M ). ${\displaystyle E=M\times \mathbb {R} }$
• De manera más general, existe una conexión plana canónica en cualquier paquete de vectores planos (es decir, un paquete de vectores cuyas funciones de transición son todas constantes) que viene dada por la derivada exterior en cualquier trivialización.

Ver también

• módulo D
• Conexión (matemáticas)

Referencias

• Chern, Shiing-Shen (1951), Temas de geometría diferencial , Instituto de estudios avanzados, notas de conferencias mimeografiadas
• Darling, RWR (1994), Formas y conexiones diferenciales , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, Bibcode :1994dfc..libro.....D, ISBN 0-521-46800-0
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996) [1963], Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 1 , Biblioteca de clásicos de Wiley, Nueva York: Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
• Koszul, JL (1950), "Homologie et cohomologie des algebres de Lie", Bulletin de la Société Mathématique , 78 : 65–127, doi : 10.24033/bsmf.1410
• Wells, RO (1973), Análisis diferencial de variedades complejas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0
• Ambrosio, W.; Singer, IM (1953), "Un teorema sobre la holonomía", Transactions of the American Mathematical Society , 75 (3): 428–443, doi : 10.2307/1990721 , JSTOR  1990721

• Donaldson, SK y Kronheimer, PB, 1997. La geometría de cuatro variedades. Prensa de la Universidad de Oxford.

• Tu, LW, 2017. Geometría diferencial: conexiones, curvatura y clases características (Vol. 275). Saltador.

• Taubes, CH, 2011. Geometría diferencial: Haces, conexiones, métricas y curvatura (Vol. 23). OUP Oxford.

• Lee, JM, 2018. Introducción a las variedades de Riemann. Publicaciones internacionales Springer.
• Madsen, HI; Tornehave, J. (1997), Del cálculo a la cohomología: cohomología de De Rham y clases características , Cambridge University Press