En geometría diferencial , la noción de tensor métrico puede extenderse a un fibrado vectorial arbitrario y a algunos fibrados principales . Esta métrica se suele denominar métrica de fibrado o métrica de fibra .
Si M es una variedad topológica y π : E → M un fibrado vectorial en M , entonces una métrica en E es una función de fibrado k : E × M E → M × R del producto de fibras de E consigo mismo al fibrado trivial con fibra R tal que la restricción de k a cada fibra sobre M es una función bilineal no degenerada de espacios vectoriales . [1] En términos generales, k da una especie de producto escalar (no necesariamente simétrico o definido positivo) en el espacio vectorial por encima de cada punto de M , y estos productos varían suavemente sobre M .
Todo fibrado vectorial con espacio base paracompacto puede estar equipado con una métrica de fibrado. [1] Para un fibrado vectorial de rango n , esto se deduce de los gráficos de fibrado : la métrica de fibrado puede tomarse como el pullback del producto interno de una métrica en ; por ejemplo, los gráficos ortonormales del espacio euclidiano. El grupo de estructura de dicha métrica es el grupo ortogonal O ( n ).
Si M es una variedad riemanniana y E es su fibrado tangente T M , entonces la métrica riemanniana da una métrica de fibrado, y viceversa. [1]
Si el fibrado π : P → M es un fibrado principal de fibras con grupo G , y G es un grupo de Lie compacto , entonces existe un producto interno k invariante en Ad( G ) sobre las fibras, tomado del producto interno sobre el álgebra de Lie compacta correspondiente . Más precisamente, existe un tensor métrico k definido sobre el fibrado vertical E = V P tal que k es invariante bajo la multiplicación por la izquierda:
para los vectores verticales X , Y y L g es la multiplicación por la izquierda por g a lo largo de la fibra, y L g* es el empuje hacia delante . Es decir, E es el fibrado vectorial que consiste en el subespacio vertical de la tangente del fibrado principal.
De manera más general, siempre que uno tiene un grupo compacto con medida de Haar μ, y un producto interno arbitrario h(X,Y) definido en el espacio tangente de algún punto en G , uno puede definir una métrica invariante simplemente promediando sobre todo el grupo, es decir, definiendo
como el promedio.
La noción anterior puede extenderse al haz asociado donde V es un espacio vectorial que se transforma covariantemente bajo alguna representación de G.
Si el espacio base M es también un espacio métrico , con métrica g , y el fibrado principal está dotado de una forma de conexión ω, entonces π * g+kω es una métrica definida en todo el fibrado tangente E = T P. [2]
Más precisamente, se escribe π * g( X , Y ) = g ( π * X , π * Y ) donde π * es el empuje hacia delante de la proyección π , y g es el tensor métrico en el espacio base M . La expresión kω debe entenderse como ( kω )( X , Y ) = k ( ω ( X ), ω ( Y )), con k el tensor métrico en cada fibra. Aquí, X e Y son elementos del espacio tangente T P .
Obsérvese que la sustentación π * g se desvanece en el subespacio vertical T V (ya que π * se desvanece en los vectores verticales), mientras que kω se desvanece en el subespacio horizontal T H (ya que el subespacio horizontal se define como aquella parte del espacio tangente T P en la que se desvanece la conexión ω). Dado que el espacio tangente total del fibrado es una suma directa de los subespacios vertical y horizontal (es decir, T P = T V ⊕ T H ), esta métrica está bien definida en todo el fibrado.
Esta métrica de fibrado sustenta la forma generalizada de la teoría de Kaluza-Klein debido a varias propiedades interesantes que posee. La curvatura escalar derivada de esta métrica es constante en cada fibra, [2] esto se desprende de la invariancia Ad( G ) de la métrica de fibra k . La curvatura escalar en el fibrado se puede descomponer en tres partes distintas:
donde R E es la curvatura escalar en el fibrado como un todo (obtenida de la métrica π * g+kω anterior), y R M ( g ) es la curvatura escalar en la variedad base M (la densidad lagrangiana de la acción de Einstein–Hilbert ), y L ( g , ω) es la densidad lagrangiana para la acción de Yang–Mills , y R G ( k ) es la curvatura escalar en cada fibra (obtenida de la métrica de fibra k , y constante, debido a la Ad( G )-invariancia de la métrica k ). Los argumentos denotan que R M ( g ) solo depende de la métrica g en la variedad base, pero no de ω o k , y asimismo, que R G ( k ) solo depende de k , y no de g o ω, y así sucesivamente.
