Paquetes verticales y horizontales

Concepto de matemáticas

Aquí tenemos un haz de fibras sobre un espacio base . Cada punto base corresponde a una fibra de puntos. En cada punto de la fibra , la fibra vertical es única. Es el espacio tangente a la fibra. La fibra horizontal no es única. Solo tiene que ser transversal a la fibra vertical. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle p\in p_{x}}$

En matemáticas , el fibrado vertical y el fibrado horizontal son fibrados vectoriales asociados a un fibrado liso . Más precisamente, dado un fibrado liso , el fibrado vertical y el fibrado horizontal son subfibrados del fibrado tangente cuya suma de Whitney satisface . Esto significa que, sobre cada punto , las fibras y forman subespacios complementarios del espacio tangente . El fibrado vertical consta de todos los vectores que son tangentes a las fibras, mientras que el fibrado horizontal requiere alguna elección de subfibrado complementario. ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle VE}$ ${\displaystyle HE}$ ${\displaystyle TE}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle VE\oplus HE\cong TE}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle V_{e}E}$ ${\displaystyle H_{e}E}$ ${\displaystyle T_{e}E}$

Para hacer esto preciso, definamos el espacio vertical en como . Es decir, la diferencial (donde ) es una sobreyección lineal cuyo núcleo tiene la misma dimensión que las fibras de . Si escribimos , entonces consiste exactamente en los vectores en los que también son tangentes a . El nombre está motivado por ejemplos de baja dimensión como el fibrado lineal trivial sobre un círculo, que a veces se representa como un cilindro vertical que se proyecta a un círculo horizontal. Un subespacio de se llama espacio horizontal si es la suma directa de y . ${\displaystyle V_{e}E}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle \ker(d\pi _{e})}$ ${\displaystyle d\pi _{e}\colon T_{e}E\to T_{b}B}$ ${\displaystyle b=\pi (e)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F=\pi ^{-1}(b)}$ ${\displaystyle V_{e}E}$ ${\displaystyle T_{e}E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H_{e}E}$ ${\displaystyle T_{e}E}$ ${\displaystyle T_{e}E}$ ${\displaystyle V_{e}E}$ ${\displaystyle H_{e}E}$

La unión disjunta de los espacios verticales V _e E para cada e en E es el subfibrado V E de T E; este es el fibrado vertical de E . Del mismo modo, siempre que los espacios horizontales varíen suavemente con e , su unión disjunta es un fibrado horizontal. El uso de las palabras "el" y "un" aquí es intencional: cada subespacio vertical es único, definido explícitamente por . Excluyendo casos triviales, hay un número infinito de subespacios horizontales en cada punto. También tenga en cuenta que las elecciones arbitrarias de espacio horizontal en cada punto no formarán, en general, un fibrado vectorial suave; también deben variar de una manera apropiadamente suave. ${\displaystyle H_{e}E}$ ${\displaystyle \ker(d\pi _{e})}$

El fibrado horizontal es una forma de formular la noción de una conexión de Ehresmann en un fibrado de fibras . Así, por ejemplo, si E es un fibrado G principal , entonces se requiere que el fibrado horizontal sea G -invariante: tal elección es equivalente a una conexión en el fibrado principal . ^[1] Esto ocurre notablemente cuando E es el fibrado de trama asociado a algún fibrado vectorial, que es un fibrado principal. ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$

Definición formal

Sea π : E → B un fibrado liso sobre una variedad lisa B . El fibrado vertical es el núcleo V E  := ker(d π ) de la función tangente d π  : T E  → T B . ^[2]

Como dπ _e es sobreyectivo en cada punto e , se obtiene un subfibrado regular de T E . Además, el fibrado vertical V E también es integrable .

Una conexión de Ehresmann en E es una elección de un subfibrado complementario H E a V E en T E , llamado fibrado horizontal de la conexión. En cada punto e en E , los dos subespacios forman una suma directa , tal que T _e E = V _e E ⊕ H _e E .

Ejemplo

Subespacios verticales y horizontales para la banda de Möbius.

La banda de Möbius es un haz de líneas sobre el círculo, y el círculo puede representarse como el anillo central de la banda. En cada punto de la banda, el mapa de proyección la proyecta hacia el anillo central, y la fibra es perpendicular a este último. El haz vertical en este punto es el espacio tangente a la fibra. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle V_{e}E}$

Un ejemplo simple de un fibrado liso es un producto cartesiano de dos variedades . Considérese el fibrado B ₁  := ( M  ×  N , pr ₁ ) con proyección de fibrado pr ₁  : M × N → M  : ( x ,  y ) →  x . Aplicando la definición del párrafo anterior para encontrar el fibrado vertical, consideramos primero un punto (m,n) en M × N . Entonces la imagen de este punto bajo pr ₁ es m. La preimagen de m bajo este mismo pr ₁ es {m} × N , de modo que T _(m,n) ({m} × N ) = {m} × T N . El fibrado vertical es entonces V B ₁ = M × T N , que es un subfibrado de T( M × N ). Si tomamos la otra proyección pr ₂  : M  ×  N  →  N  : ( x ,  y ) →  y para definir el haz de fibras B ₂  := ( M × N , pr ₂ ) entonces el haz vertical será V B ₂ = T M  ×  N .

En ambos casos, la estructura del producto proporciona una elección natural del haz horizontal y, por lo tanto, una conexión de Ehresmann: el haz horizontal de B ₁ es el haz vertical de B ₂ y viceversa.

Propiedades

Diversos tensores y formas diferenciales importantes de la geometría diferencial adoptan propiedades específicas en los fibrados verticales y horizontales, o incluso pueden definirse en función de ellos. Algunos de ellos son:

• Un campo vectorial vertical es un campo vectorial que se encuentra en el fibrado vertical. Es decir, para cada punto e de E , se elige un vector donde es el espacio vectorial vertical en e . ^[2] ${\displaystyle v_{e}\in V_{e}E}$ ${\displaystyle V_{e}E\subset T_{e}E=T_{e}(E_{\pi (e)})}$
• Se dice que una forma r diferenciable en E es una forma horizontal si al menos uno de los vectores es vertical. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha (v_{1},...,v_{r})=0}$ ${\displaystyle v_{1},...,v_{r}}$
• La forma de conexión se anula en el fibrado horizontal y es distinta de cero únicamente en el fibrado vertical. De esta manera, la forma de conexión se puede utilizar para definir el fibrado horizontal: El fibrado horizontal es el núcleo de la forma de conexión.
• La forma de soldadura o forma unitaria tautológica se anula en el fibrado vertical y es distinta de cero únicamente en el fibrado horizontal. Por definición, la forma de soldadura toma sus valores completamente en el fibrado horizontal.
• Para el caso de un fibrado de marcos , la forma de torsión se desvanece en el fibrado vertical y se puede usar para definir exactamente la parte que se necesita agregar a una conexión arbitraria para convertirla en una conexión de Levi-Civita , es decir, para hacer que una conexión no tenga torsión. De hecho, si uno escribe θ para la forma de soldadura, entonces el tensor de torsión Θ está dado por Θ = D θ (con D la derivada covariante exterior ). Para cualquier conexión dada ω, hay una única forma única σ en T E , llamada tensor de contorsión , que se desvanece en el fibrado vertical, y es tal que ω+σ es otra forma única de conexión que no tiene torsión. La forma única resultante ω+σ no es otra cosa que la conexión de Levi-Civita. Se puede tomar esto como una definición: dado que la torsión está dada por , la desaparición de la torsión es equivalente a tener , y no es difícil demostrar que σ debe desaparecer en el fibrado vertical, y que σ debe ser G -invariante en cada fibra (más precisamente, que σ se transforma en la representación adjunta de G ). Nótese que esto define la conexión de Levi-Civita sin hacer ninguna referencia explícita a ningún tensor métrico (aunque el tensor métrico puede entenderse como un caso especial de una forma de soldadura, ya que establece una aplicación entre los fibrados tangente y cotangente del espacio base, es decir, entre los subespacios horizontales y verticales del fibrado del marco). ${\displaystyle \Theta =D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta }$ ${\displaystyle d\theta =-(\omega +\sigma )\wedge \theta }$
• En el caso en que E sea un fibrado principal, entonces el campo vectorial fundamental debe necesariamente vivir en el fibrado vertical y desaparecer en cualquier fibrado horizontal.

Notas

1. David Bleecker, Teoría de calibre y principios variacionales (1981) Addison-Wesely Publishing Company ISBN  0-201-10096-7 (Ver teorema 1.2.4)
2. Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag(pagina 77)

Referencias

• Choquet-Bruhat, Yvonne ; DeWitt-Morette, Cécile (1977), Análisis, variedades y física , Ámsterdam: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de geometría diferencial, vol. 1 (nueva edición). Wiley Interscience . ISBN 0-471-15733-3.
• Kolář, Ivan; Micor, Pedro; Slovák, Jan (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag
• Krupka, Deméter; Janyška, Josef (1990), Conferencias sobre invariantes diferenciales , Univerzita JE Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
• Saunders, DJ (1989), La geometría de los haces jet , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7