Teoría de Kaluza-Klein

Teoría del campo unificado

En física , la teoría de Kaluza-Klein ( teoría KK ) es una teoría clásica del campo unificado de la gravitación y el electromagnetismo construida alrededor de la idea de una quinta dimensión más allá de la 4D común del espacio y el tiempo y considerada un precursor importante de la teoría de cuerdas . En su configuración, el vacío tiene las habituales tres dimensiones de espacio y una dimensión de tiempo, pero con otra dimensión microscópica extraespacial en forma de un pequeño círculo. Gunnar Nordström tuvo una idea similar anteriormente. Pero en ese caso, se añadió un quinto componente al potencial vectorial electromagnético, que representa el potencial gravitacional newtoniano y escribe las ecuaciones de Maxwell en cinco dimensiones. ^[1]

La teoría de cinco dimensiones (5D) se desarrolló en tres pasos. La hipótesis original provino de Theodor Kaluza , quien envió sus resultados a Einstein en 1919 ^[2] y los publicó en 1921. ^[3] Kaluza presentó una extensión puramente clásica de la relatividad general a 5D, con un tensor métrico de 15 componentes. Diez componentes se identifican con la métrica del espacio-tiempo 4D, cuatro componentes con el potencial del vector electromagnético y un componente con un campo escalar no identificado a veces llamado " radión " o "dilatón". En consecuencia, las ecuaciones de Einstein 5D producen las ecuaciones de campo de Einstein 4D , las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético y una ecuación para el campo escalar. Kaluza también introdujo la hipótesis de la "condición del cilindro", según la cual ningún componente de la métrica de cinco dimensiones depende de la quinta dimensión. Sin esta restricción, se introducen términos que involucran derivadas de los campos con respecto a la quinta coordenada, y este grado adicional de libertad hace que las matemáticas de la relatividad 5D totalmente variable sean enormemente complejas. La física 4D estándar parece manifestar esta "condición del cilindro" y, junto con ella, matemáticas más simples.

En 1926, Oskar Klein dio a la teoría clásica de cinco dimensiones de Kaluza una interpretación cuántica, ^{[4] [5]} para estar de acuerdo con los entonces recientes descubrimientos de Heisenberg y Schrödinger. Klein introdujo la hipótesis de que la quinta dimensión era acurrucada y microscópica, para explicar la condición del cilindro. Klein sugirió que la geometría de la quinta dimensión adicional podría tomar la forma de un círculo, con un radio de10-30  cm .^​ Más precisamente, el radio de la dimensión circular es 23 veces la longitud de Planck, que a su vez es del orden de10-33  cm .^{​ [5]} Klein también hizo una contribución a la teoría clásica al proporcionar una métrica 5D adecuadamente normalizada. ^[4] El trabajo sobre la teoría de campos de Kaluza continuó durante la década de 1930 por Einstein y sus colegas en Princeton.

En la década de 1940, se completó la teoría clásica y tres grupos de investigación independientes obtuvieron las ecuaciones de campo completas, incluido el campo escalar: ^[6] Thiry, ^{[7] [8] [9]} que trabajaba en Francia en su tesis bajo la dirección de Lichnerowicz; Jordan, Ludwig y Müller en Alemania, ^{[10] [11] [12] [13] [14]} con aportaciones críticas de Pauli y Fierz; y Scherrer ^{[15] [16] [17]} trabajando solo en Suiza. El trabajo de Jordan condujo a la teoría escalar-tensor de Brans-Dicke ; ^[18] Brans y Dicke aparentemente desconocían a Thiry o Scherrer. Las ecuaciones completas de Kaluza bajo la condición del cilindro son bastante complejas y la mayoría de las revisiones en inglés, así como las traducciones al inglés de Thiry, contienen algunos errores. Los tensores de curvatura para las ecuaciones completas de Kaluza se evaluaron utilizando un software de álgebra tensorial en 2015, ^[19] verificando los resultados de Ferrari ^[20] y Coquereaux & Esposito-Farese. ^[21] Williams trata la forma covariante 5D de los términos de fuente de energía-momento. ^[22]

Hipótesis de Kaluza

En su artículo de 1921, ^[3] Kaluza estableció todos los elementos de la teoría clásica de cinco dimensiones: la métrica, las ecuaciones de campo, las ecuaciones de movimiento, el tensor tensión-energía y la condición del cilindro. Sin parámetros libres , simplemente extiende la relatividad general a cinco dimensiones. Se comienza planteando la hipótesis de una forma de métrica de cinco dimensiones , donde los índices latinos abarcan cinco dimensiones. Introduzcamos también la métrica del espacio-tiempo de cuatro dimensiones , donde los índices griegos abarcan las cuatro dimensiones habituales de espacio y tiempo; un 4-vector identificado con el potencial del vector electromagnético; y un campo escalar . Luego, descomponga la métrica 5D de modo que la métrica 4D esté enmarcada por el potencial del vector electromagnético, con el campo escalar en la quinta diagonal. Esto se puede visualizar como ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ ${\displaystyle {g}_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^{2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}.}$

Se puede escribir con mayor precisión.

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{5\nu }\equiv {\widetilde {g}}_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{55}\equiv \phi ^{2},}$

donde el índice indica la quinta coordenada por convención, aunque las primeras cuatro coordenadas están indexadas con 0, 1, 2 y 3. La métrica inversa asociada es ${\displaystyle 5}$

${\displaystyle {\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{\frac {1}{\phi ^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

Esta descomposición es bastante general y todos los términos son adimensionales. Kaluza luego aplica la maquinaria de la relatividad general estándar a esta métrica. Las ecuaciones de campo se obtienen a partir de las ecuaciones de Einstein de cinco dimensiones , y las ecuaciones de movimiento de la hipótesis geodésica de cinco dimensiones. Las ecuaciones de campo resultantes proporcionan tanto las ecuaciones de la relatividad general como las de la electrodinámica; las ecuaciones de movimiento proporcionan la ecuación geodésica de cuatro dimensiones y la ley de fuerza de Lorentz , y se descubre que la carga eléctrica se identifica con el movimiento en la quinta dimensión.

La hipótesis de la métrica implica un elemento de longitud de cinco dimensiones invariante : ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle ds^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }+\phi ^{2}(A_{\nu }\,dx^{\nu }+dx^{5})^{2}.}$

Ecuaciones de campo de la hipótesis de Kaluza

Kaluza o Klein nunca proporcionaron adecuadamente las ecuaciones de campo de la teoría de cinco dimensiones porque ignoraron el campo escalar . Las ecuaciones de campo completas de Kaluza generalmente se atribuyen a Thiry, ^[8] quien obtuvo ecuaciones de campo de vacío, aunque Kaluza ^[3] originalmente proporcionó un tensor de tensión-energía para su teoría, y Thiry incluyó un tensor de tensión-energía en su tesis. Pero como lo describe Gonner, ^[6] varios grupos independientes trabajaron en las ecuaciones de campo en la década de 1940 y antes. Quizás Thiry sea más conocido sólo porque Applequist, Chodos y Freund proporcionaron una traducción al inglés en su libro de reseñas. ^[23] Applequist y otros. También proporcionó una traducción al inglés del artículo de Kaluza. Las traducciones de los tres artículos de Jordan (1946, 1947, 1948) se pueden encontrar en los archivos de ResearchGate y Academia.edu . ^{[10] [11] [13]} Williams proporcionó las primeras ecuaciones de campo de Kaluza correctas en inglés, incluido el campo escalar. ^[19]

Para obtener las ecuaciones de campo 5D, las conexiones 5D se calculan a partir de la métrica 5D y el tensor de Ricci 5D se calcula a partir de las conexiones 5D . ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}}$ ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}}$

Los resultados clásicos de Thiry y otros autores suponen la condición de cilindro:

${\displaystyle {\frac {\partial {\widetilde {g}}_{ab}}{\partial x^{5}}}=0.}$

Sin este supuesto, las ecuaciones de campo se vuelven mucho más complejas, proporcionando muchos más grados de libertad que pueden identificarse con varios campos nuevos. Paul Wesson y sus colegas han buscado la relajación de la condición del cilindro para obtener términos adicionales que puedan identificarse con los campos de materia, ^[24] para lo cual Kaluza ^[3] insertó un tensor de tensión-energía a mano.

Ha sido una objeción a la hipótesis original de Kaluza invocar la quinta dimensión sólo para negar su dinámica. Pero Thiry argumentó ^[6] que la interpretación de la ley de fuerza de Lorentz en términos de una geodésica de cinco dimensiones aboga fuertemente por una quinta dimensión, independientemente de la condición del cilindro. Por lo tanto, la mayoría de los autores han empleado la condición del cilindro para derivar las ecuaciones de campo. Además, normalmente se suponen ecuaciones de vacío para las cuales

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0,}$

dónde

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\Gamma }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}}$

y

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{ad}(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{bc}).}$

Las ecuaciones del campo de vacío obtenidas de esta manera por Thiry ^[8] y el grupo de Jordan ^{[10] [11] [13]} son ​​las siguientes.

La ecuación de campo para se obtiene de ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={\frac {1}{4}}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta },}$

donde y es una derivada covariante 4D estándar . Muestra que el campo electromagnético es una fuente del campo escalar . Tenga en cuenta que el campo escalar no se puede establecer como constante sin restringir el campo electromagnético. Los tratamientos anteriores de Kaluza y Klein no tenían una descripción adecuada del campo escalar y no se daban cuenta de la restricción implícita en el campo electromagnético al suponer que el campo escalar era constante. ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\equiv \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha },}$ ${\displaystyle \Box \equiv g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu },}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$

La ecuación de campo para se obtiene de ${\displaystyle A^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={\frac {1}{2}}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }(\phi ^{3}F_{\alpha \beta }).}$

Tiene la forma de las ecuaciones de Maxwell del vacío si el campo escalar es constante.

La ecuación de campo para el tensor de Ricci 4D se obtiene de ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R}}&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R&={\frac {1}{2}}\phi ^{2}\left(g^{\alpha \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right)+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi ),\end{aligned}}}$

¿Dónde está el escalar estándar de Ricci 4D? ${\displaystyle R}$

Esta ecuación muestra el notable resultado, llamado el "milagro de Kaluza", de que la forma precisa del tensor de tensión-energía electromagnética emerge de las ecuaciones de vacío 5D como fuente en las ecuaciones 4D: campo del vacío. Esta relación permite la identificación definitiva con el potencial vectorial electromagnético. Por lo tanto, es necesario volver a escalar el campo con una constante de conversión tal que . ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A^{\mu }\to kA^{\mu }}$

La relación anterior muestra que debemos tener

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}={\frac {2G}{c^{2}}}4\pi \epsilon _{0},}$

donde es la constante gravitacional y es la permeabilidad del espacio libre . En la teoría de Kaluza, la constante gravitacional puede entenderse como una constante de acoplamiento electromagnético en el sistema métrico. También existe un tensor tensión-energía para el campo escalar. El campo escalar se comporta como una constante gravitacional variable, en términos de modular el acoplamiento de tensión-energía electromagnética a la curvatura del espacio-tiempo. El signo de en la métrica se fija en correspondencia con la teoría 4D, de modo que las densidades de energía electromagnética son positivas. A menudo se supone que la quinta coordenada es espacial en su firma en la métrica. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \phi ^{2}}$

En presencia de materia, no se puede asumir la condición de vacío 5D. De hecho, Kaluza no lo asumió. Las ecuaciones de campo completo requieren la evaluación del tensor de Einstein 5D

${\displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R}},}$

como se ve en la recuperación del tensor de energía-estrés electromagnético anterior. Los tensores de curvatura 5D son complejos y la mayoría de las revisiones en inglés contienen errores en o , al igual que la traducción al inglés de Thiry. ^[8] Consulte Williams ^[19] para obtener un conjunto completo de tensores de curvatura 5D en la condición de cilindro, evaluados utilizando un software de álgebra tensorial. ${\displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}}$

Ecuaciones de movimiento de la hipótesis de Kaluza

Las ecuaciones de movimiento se obtienen a partir de la hipótesis geodésica de cinco dimensiones ^[3] en términos de 5 velocidades : ${\displaystyle {\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds}$

${\displaystyle {\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={\frac {d{\widetilde {U}}^{a}}{ds}}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0.}$

Esta ecuación se puede reformular de varias maneras y ha sido estudiada de diversas formas por autores como Kaluza, ^[3] Pauli, ^[25] Gross & Perry, ^[26] Gegenberg & Kunstatter, ^[27] y Wesson & Ponce de Leon. , ^[28] pero es instructivo volver a convertirlo al elemento de longitud de 4 dimensiones habitual , que está relacionado con el elemento de longitud de 5 dimensiones como se indicó anteriormente: ${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}$ ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}+\phi ^{2}(kA_{\nu }\,dx^{\nu }+dx^{5})^{2}.}$

Entonces la ecuación geodésica 5D se puede escribir ^[29] para los componentes espacio-temporales de la 4-velocidad:

${\displaystyle U^{\nu }\equiv {\frac {dx^{\nu }}{d\tau }},}$

${\displaystyle {\frac {dU^{\nu }}{d\tau }}+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }(U^{5})^{2}+U^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\ln {\frac {c\,d\tau }{ds}}=0.}$

El término cuadrática proporciona la ecuación geodésica 4D más algunos términos electromagnéticos: ${\displaystyle U^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{\beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).}$

El término lineal proporciona la ley de fuerza de Lorentz : ${\displaystyle U^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}(F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).}$

Ésta es otra expresión del "milagro de Kaluza". La misma hipótesis para la métrica 5D que proporciona tensión-energía electromagnética en las ecuaciones de Einstein, también proporciona la ley de fuerza de Lorentz en la ecuación de movimientos junto con la ecuación geodésica 4D. Sin embargo, la correspondencia con la ley de fuerza de Lorentz requiere que identifiquemos el componente de la velocidad 5 a lo largo de la quinta dimensión con carga eléctrica:

${\displaystyle kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\to {\frac {q}{mc}},}$

donde es la masa de la partícula y es la carga eléctrica de la partícula. Por tanto, se entiende por carga eléctrica el movimiento a lo largo de la quinta dimensión. El hecho de que la ley de fuerza de Lorentz pudiera entenderse como una geodésica en cinco dimensiones fue para Kaluza una motivación principal para considerar la hipótesis de cinco dimensiones, incluso en presencia de la condición del cilindro estéticamente desagradable. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

Sin embargo, hay un problema: el término cuadrático en , ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2}.}$

Si no hay gradiente en el campo escalar, el término cuadrático desaparece. Pero por lo demás la expresión anterior implica ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle U^{5}\sim c{\frac {q/m}{G^{1/2}}}.}$

Para partículas elementales, . El término cuadrática debería dominar la ecuación, quizás en contradicción con la experiencia. Este fue el principal defecto de la teoría de cinco dimensiones tal como la vio Kaluza, ^[3] y lo analiza en su artículo original. ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle U^{5}>10^{20}c}$ ${\displaystyle U^{5}}$

La ecuación de movimiento para es particularmente simple en la condición del cilindro. Comience con la forma alternativa de la ecuación geodésica, escrita para la covariante de 5 velocidades: ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle {\frac {d{\widetilde {U}}_{a}}{ds}}={\frac {1}{2}}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{\frac {\partial {\widetilde {g}}_{bc}}{\partial x^{a}}}.}$

Esto significa que, bajo la condición del cilindro, es una constante del movimiento de cinco dimensiones: ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{5}}$

${\displaystyle {\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{\frac {c\,d\tau }{ds}}(kA_{\nu }U^{\nu }+U^{5})={\text{constant}}.}$

Hipótesis de Kaluza para el tensor tensión-energía de la materia

Kaluza propuso ^{[3] un} tensor de tensión de materia de cinco dimensiones de la forma ${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{ab}}$

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {\frac {dx^{a}}{ds}}{\frac {dx^{b}}{ds}},}$

donde es una densidad y el elemento de longitud es como se definió anteriormente. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle ds}$

Entonces, el componente espacio-temporal da un típico tensor de energía-estrés de "polvo" :

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}.}$

El componente mixto proporciona una fuente de 4 corrientes para las ecuaciones de Maxwell:

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{5}}{ds}}=\rho U^{\mu }{\frac {q}{kmc}}.}$

Así como la métrica de cinco dimensiones comprende la métrica de cuatro dimensiones enmarcada por el potencial del vector electromagnético, el tensor de tensión-energía de cinco dimensiones comprende el tensor de tensión-energía de cuatro dimensiones enmarcado por el vector 4-corriente.

Interpretación cuántica de Klein

La hipótesis original de Kaluza eran descubrimientos puramente clásicos y ampliados de la relatividad general. En el momento de la contribución de Klein, los descubrimientos de Heisenberg, Schrödinger y de Broglie estaban recibiendo mucha atención. El artículo de Klein en Nature ^[5] sugirió que la quinta dimensión es cerrada y periódica, y que la identificación de la carga eléctrica con el movimiento en la quinta dimensión puede interpretarse como ondas estacionarias de longitud de onda , muy parecidas a los electrones alrededor de un núcleo en el modelo de Bohr. el átomo. La cuantificación de la carga eléctrica podría entonces entenderse claramente en términos de múltiplos enteros del momento de quinta dimensión. Combinando el resultado anterior de Kaluza en términos de carga eléctrica y una relación de De Broglie para el momento , Klein obtuvo ^[5] una expresión para el modo 0 de dichas ondas: ${\displaystyle \lambda ^{5}}$ ${\displaystyle U^{5}}$ ${\displaystyle p^{5}=h/\lambda ^{5}}$

${\displaystyle mU^{5}={\frac {cq}{G^{1/2}}}={\frac {h}{\lambda ^{5}}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5}\sim {\frac {hG^{1/2}}{cq}},}$

¿Dónde está la constante de Planck ? Klein encontró que  cm y, por lo tanto, una explicación para la condición del cilindro en este pequeño valor. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lambda ^{5}\sim 10^{-30}}$

El artículo de Klein Zeitschrift für Physik del mismo año ^[4] dio un tratamiento más detallado que invocaba explícitamente las técnicas de Schrödinger y de Broglie. Recapituló gran parte de la teoría clásica de Kaluza descrita anteriormente y luego partió hacia la interpretación cuántica de Klein. Klein resolvió una ecuación de onda similar a la de Schrödinger utilizando una expansión en términos de ondas de quinta dimensión que resuenan en la quinta dimensión cerrada y compacta.

Interpretación de la teoría cuántica de campos.

Interpretación de la teoría de grupos.

El espacio M × C se compacta sobre el conjunto compacto C , y después de la descomposición de Kaluza-Klein se tiene una teoría de campos efectiva sobre M.

En 1926, Oskar Klein propuso que la cuarta dimensión espacial está acurrucada en un círculo de un radio muy pequeño , de modo que una partícula que se moviera una distancia corta a lo largo de ese eje regresaría a donde comenzó. Se dice que la distancia que puede recorrer una partícula antes de alcanzar su posición inicial es el tamaño de la dimensión. Esta dimensión adicional es un conjunto compacto y la construcción de esta dimensión compacta se conoce como compactación .

En la geometría moderna, la quinta dimensión adicional puede entenderse como el grupo circular U(1) , ya que el electromagnetismo puede formularse esencialmente como una teoría de calibre en un haz de fibras , el haz circular , con el grupo de calibre U(1). En la teoría de Kaluza-Klein, este grupo sugiere que la simetría de calibre es la simetría de dimensiones circulares compactas. Una vez que se comprende esta interpretación geométrica, es relativamente sencillo reemplazar U (1) por un grupo de Lie general . Estas generalizaciones suelen denominarse teorías de Yang-Mills . Si se hace una distinción, entonces es que las teorías de Yang-Mills ocurren en un espacio-tiempo plano, mientras que Kaluza-Klein trata el caso más general del espacio-tiempo curvo. El espacio base de la teoría de Kaluza-Klein no tiene por qué ser un espacio-tiempo de cuatro dimensiones; puede ser cualquier variedad ( pseudo ) Riemanniana , o incluso una variedad supersimétrica u orbifold o incluso un espacio no conmutativo .

La construcción se puede resumir, a grandes rasgos, de la siguiente manera. ^[30] Se comienza considerando un haz de fibras principal P con un grupo de calibre G sobre un colector M. Dada una conexión en el haz, una métrica en el colector base y una métrica invariante de calibre en la tangente de cada fibra, se puede construir una métrica de paquete definida en todo el paquete. Al calcular la curvatura escalar de esta métrica del haz, se encuentra que es constante en cada fibra: este es el "milagro de Kaluza". No era necesario imponer explícitamente una condición de cilindro ni compactar: ​​se supone que el grupo de calibre ya está compacto. A continuación, se toma esta curvatura escalar como la densidad lagrangiana y, a partir de esto, se construye la acción de Einstein-Hilbert para el paquete, en su conjunto. Las ecuaciones de movimiento, las ecuaciones de Euler-Lagrange , se pueden obtener considerando dónde la acción es estacionaria con respecto a las variaciones de la métrica en el colector base o de la conexión del calibre. Las variaciones con respecto a la métrica base dan las ecuaciones de campo de Einstein en la variedad base, con el tensor de energía-momento dado por la curvatura ( intensidad de campo ) de la conexión del medidor. Por otro lado, la acción es estacionaria frente a las variaciones de la conexión de calibre precisamente cuando la conexión de calibre resuelve las ecuaciones de Yang-Mills . Así, aplicando una sola idea: el principio de mínima acción , a una sola cantidad: la curvatura escalar en el haz (como un todo), se obtienen simultáneamente todas las ecuaciones de campo necesarias, tanto para el espacio-tiempo como para el campo de calibre.

Como aproximación a la unificación de las fuerzas, es sencillo aplicar la teoría de Kaluza-Klein en un intento de unificar la gravedad con las fuerzas fuerte y electrodébil utilizando el grupo de simetría del modelo estándar , SU(3) × SU(2 ) × U(1) . Sin embargo, un intento de convertir esta interesante construcción geométrica en un modelo auténtico de la realidad fracasa en una serie de cuestiones, incluido el hecho de que los fermiones deben introducirse de forma artificial (en modelos no supersimétricos). No obstante, KK sigue siendo una piedra de toque importante en la física teórica y, a menudo, forma parte de teorías más sofisticadas. Se estudia por derecho propio como un objeto de interés geométrico en la teoría K.

Incluso en ausencia de un marco de física teórica completamente satisfactorio, la idea de explorar dimensiones adicionales y compactadas es de considerable interés en las comunidades de física experimental y astrofísica . Se pueden hacer una variedad de predicciones, con consecuencias experimentales reales (en el caso de grandes dimensiones adicionales y modelos deformados ). Por ejemplo, según el principio más simple, se podría esperar tener ondas estacionarias en las dimensiones más compactadas. Si una dimensión espacial adicional es de radio R , la masa invariante de tales ondas estacionarias sería M _n = nh / Rc con n un número entero , siendo h la constante de Planck yc la velocidad de la luz . Este conjunto de posibles valores de masa suele denominarse torre Kaluza-Klein . De manera similar, en la teoría de campos cuánticos térmicos, una compactación de la dimensión del tiempo euclidiano conduce a las frecuencias de Matsubara y, por tanto, a un espectro de energía térmica discretizado.

Sin embargo, el enfoque de Klein sobre una teoría cuántica es defectuoso ^{[ cita necesaria ]} y, por ejemplo, conduce a una masa de electrones calculada en el orden de magnitud de la masa de Planck . ^[31]

Ejemplos de actividades experimentales incluyen el trabajo de la colaboración CDF , que ha vuelto a analizar los datos del colisionador de partículas para detectar efectos asociados con grandes dimensiones adicionales/ modelos deformados .

Brandenberger y Vafa han especulado que en el universo primitivo, la inflación cósmica hace que tres de las dimensiones espaciales se expandan hasta alcanzar un tamaño cosmológico, mientras que las dimensiones restantes del espacio permanecían microscópicas.

Teoría del espacio-tiempo-materia

Una variante particular de la teoría de Kaluza-Klein es la teoría del espacio-tiempo-materia o teoría de la materia inducida , promulgada principalmente por Paul Wesson y otros miembros del Consorcio Espacio-Tiempo-Materia. ^[32] En esta versión de la teoría, se observa que las soluciones a la ecuación

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

puede reexpresarse de modo que en cuatro dimensiones, estas soluciones satisfagan las ecuaciones de Einstein

${\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,}$

con la forma precisa de T _μν que se deriva de la condición plana de Ricci en el espacio de cinco dimensiones. En otras palabras, la condición del cilindro del desarrollo anterior se elimina y la energía-tensión ahora proviene de las derivadas de la métrica 5D con respecto a la quinta coordenada. Debido a que normalmente se entiende que el tensor de energía-momento se debe a concentraciones de materia en un espacio de cuatro dimensiones, el resultado anterior se interpreta como que la materia de cuatro dimensiones se induce a partir de la geometría en un espacio de cinco dimensiones.

En particular, se puede demostrar que las soluciones de solitones contienen la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker tanto en formas dominadas por la radiación (universo temprano) como dominadas por la materia (universo posterior). Se puede demostrar que las ecuaciones generales son lo suficientemente consistentes con las pruebas clásicas de la relatividad general como para ser aceptables según los principios físicos, al tiempo que dejan una libertad considerable para proporcionar también modelos cosmológicos interesantes . ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

Interpretación geométrica

La teoría de Kaluza-Klein tiene una presentación particularmente elegante en términos de geometría. En cierto sentido, se parece a la gravedad ordinaria en el espacio libre , excepto que está expresada en cinco dimensiones en lugar de cuatro.

ecuaciones de einstein

Las ecuaciones que gobiernan la gravedad ordinaria en el espacio libre se pueden obtener a partir de una acción , aplicando el principio variacional a una determinada acción . Sea M una variedad ( pseudo ) Riemanniana , que puede tomarse como el espaciotiempo de la relatividad general . Si g es la métrica en esta variedad, se define la acción S ( g ) como

${\displaystyle S(g)=\int _{M}R(g)\operatorname {vol} (g),}$

donde R ( g ) es la curvatura escalar y vol( g ) es el elemento de volumen . Aplicando el principio variacional a la acción.

${\displaystyle {\frac {\delta S(g)}{\delta g}}=0,}$

se obtienen precisamente las ecuaciones de Einstein para el espacio libre:

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0,}$

donde Rij es el tensor de _Ricci .

ecuaciones de maxwell

Por el contrario, las ecuaciones de Maxwell que describen el electromagnetismo pueden entenderse como las ecuaciones de Hodge de un haz U(1) principal o de un haz circular con fibra U(1) . Es decir, el campo electromagnético es una forma 2 armónica en el espacio de formas 2 diferenciables en la variedad . En ausencia de cargas y corrientes, las ecuaciones de Maxwell en campo libre son ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {d} F=0\quad {\text{and}}\quad \mathrm {d} {\star }F=0.}$

¿Dónde está el operador estrella de Hodge ? ${\displaystyle \star }$

Geometría de Kaluza-Klein

Para construir la teoría de Kaluza-Klein, se elige una métrica invariante en el círculo que es la fibra del haz U(1) de electromagnetismo. En esta discusión, una métrica invariante es simplemente aquella que es invariante bajo rotaciones del círculo. Supongamos que esta métrica le da al círculo una longitud total . Luego se consideran las métricas del paquete que son consistentes tanto con la métrica de la fibra como con la métrica del colector subyacente . Las condiciones de consistencia son: ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$

• La proyección del subespacio vertical debe coincidir con la métrica de la fibra sobre un punto del colector . ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Vert} _{p}P\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle M}$
• La proyección de al subespacio horizontal del espacio tangente en el punto debe ser isomorfa a la métrica en en . ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hor} _{p}P\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi (P)}$

La acción de Kaluza-Klein para dicha métrica viene dada por

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\int _{P}R({\widehat {g}})\operatorname {vol} ({\widehat {g}}).}$

La curvatura escalar, escrita en componentes, luego se expande a

${\displaystyle R({\widehat {g}})=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}|F|^{2}\right),}$

¿Dónde está el retroceso de la proyección del haz de fibras ? La conexión en el haz de fibras está relacionada con la intensidad del campo electromagnético como ${\displaystyle \pi ^{*}}$ ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \pi ^{*}F=dA.}$

El hecho de que siempre exista tal conexión, incluso para haces de fibras de topología arbitrariamente compleja, es el resultado de la homología y, específicamente, de la teoría K. Aplicando el teorema de Fubini e integrando en la fibra, se obtiene

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}|F|^{2}\right)\operatorname {vol} (g).}$

Variando la acción con respecto al componente , se recuperan las ecuaciones de Maxwell. Aplicando el principio variacional a la métrica base , se obtienen las ecuaciones de Einstein. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}}$

con el tensor tensión-energía dado por

${\displaystyle T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}|F|^{2},}$

a veces llamado tensor de tensión de Maxwell .

La teoría original se identifica con la métrica de la fibra y permite variar de una fibra a otra. En este caso, el acoplamiento entre la gravedad y el campo electromagnético no es constante, sino que tiene su propio campo dinámico, el radión . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle g_{55}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Generalizaciones

En lo anterior, el tamaño del bucle actúa como una constante de acoplamiento entre el campo gravitacional y el campo electromagnético. Si la variedad base es de cuatro dimensiones, la variedad P de Kaluza-Klein es de cinco dimensiones. La quinta dimensión es un espacio compacto y se llama dimensión compacta . La técnica de introducir dimensiones compactas para obtener una variedad de dimensiones superiores se denomina compactificación . La compactación no produce acciones grupales sobre fermiones quirales excepto en casos muy específicos: la dimensión del espacio total debe ser 2 mod 8 y el índice G del operador de Dirac del espacio compacto debe ser distinto de cero. ^[33] ${\displaystyle \Lambda }$

El desarrollo anterior se generaliza de una manera más o menos directa a los paquetes G principales generales para algún grupo de Lie arbitrario G que reemplaza a U(1) . En tal caso, la teoría a menudo se denomina teoría de Yang-Mills y, a veces, se considera sinónima. Si la variedad subyacente es supersimétrica , la teoría resultante es una teoría de Yang-Mills supersimétrica.

Pruebas empíricas

No se han informado oficialmente signos experimentales u observacionales de dimensiones adicionales. Se han propuesto muchas técnicas de búsqueda teórica para detectar resonancias de Kaluza-Klein utilizando los acoplamientos de masa de dichas resonancias con el quark top . Un análisis de los resultados del LHC en diciembre de 2010 limita severamente las teorías con grandes dimensiones adicionales . ^[34]

La observación de un bosón tipo Higgs en el LHC establece una nueva prueba empírica que puede aplicarse a la búsqueda de resonancias de Kaluza-Klein y partículas supersimétricas. Los diagramas de bucle de Feynman que existen en las interacciones de Higgs permiten que cualquier partícula con carga eléctrica y masa corra en dicho bucle. Las partículas del Modelo Estándar, además del quark top y el bosón W, no hacen grandes contribuciones a la sección transversal observada en la desintegración H → γγ , pero si hay nuevas partículas más allá del Modelo Estándar, podrían cambiar potencialmente la proporción del Modelo Estándar predicho. Sección transversal H → γγ a la sección transversal observada experimentalmente. Por lo tanto, una medición de cualquier cambio dramático en la sección transversal H → γγ predicha por el modelo estándar es crucial para sondear la física más allá de él.

Un artículo de julio de 2018 ^[35] da cierta esperanza a esta teoría; en el artículo cuestionan que la gravedad se esté filtrando hacia dimensiones superiores como en la teoría de las branas . Sin embargo, el artículo demuestra que el electromagnetismo y la gravedad comparten el mismo número de dimensiones, y este hecho respalda la teoría de Kaluza-Klein; Si el número de dimensiones es realmente 3 + 1 o de hecho 4 + 1 es tema de mayor debate.

Ver también

• Teorías clásicas de la gravitación.
• Espacio-tiempo complejo
• modelo DGP
• Gravedad cuántica
• Compactificación (física)
• Modelo Randall-Sundrum
• Matej Pavšič
• Teoria de las cuerdas
• supergravedad
• Teoría de supercuerdas
• Campos gravitacionales no relativistas
• Teleparalelismo

Notas

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Referencias

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Otras lecturas

• The CDF Collaboration, Search for Extra Dimensions usando Missing Energy at CDF , (2004) (Una presentación simplificada de la búsqueda realizada de dimensiones adicionales en el Collider Detector en las instalaciones de física de partículas de Fermilab (CDF).)
• John M. Pierre, ¡SUPERCUERDAS! Dimensiones Extra , (2003).
• Chris Pope, Conferencias sobre la teoría de Kaluza-Klein .
• Edward Witten (2014). "Una nota sobre Einstein, Bergmann y la quinta dimensión", arXiv :1401.8048