Grupo unitario especial

Grupo de matrices unitarias con determinante 1

En matemáticas, el grupo unitario especial de grado n , denotado SU( n ) , es el grupo de Lie de matrices unitarias n × n con determinante 1.

Las matrices del grupo unitario más general pueden tener determinantes complejos con valor absoluto 1, en lugar de real 1 en el caso especial.

La operación de grupo es la multiplicación de matrices . El grupo unitario especial es un subgrupo normal del grupo unitario U( n ) , que consiste en todas las matrices unitarias n × n . Como grupo clásico compacto , U( n ) es el grupo que preserva el producto interno estándar en . ^[a] Es en sí mismo un subgrupo del grupo lineal general , ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

Los grupos SU( n ) encuentran una amplia aplicación en el Modelo Estándar de física de partículas , especialmente SU(2) en la interacción electrodébil y SU(3) en cromodinámica cuántica . ^[1]

El caso más simple, SU(1) , es el grupo trivial , que tiene un solo elemento. El grupo SU(2) es isomorfo al grupo de cuaterniones de norma 1 y, por lo tanto, es difeomorfo a la 3-esfera . Dado que los cuaterniones unitarios se pueden usar para representar rotaciones en el espacio tridimensional (hasta el signo), existe un homomorfismo sobreyectivo de SU(2) al grupo de rotación SO(3) cuyo núcleo es {+ I , − I } . ^[b] Dado que los cuaterniones se pueden identificar como la subálgebra par del Álgebra de Clifford Cl(3) , SU(2) es de hecho idéntico a uno de los grupos de simetría de espinores , Spin (3), que permite una presentación de espinores de las rotaciones.

Propiedades

El grupo unitario especial SU( n ) es un grupo de Lie estrictamente real (en comparación con un grupo de Lie complejo más general ). Su dimensión como variedad real es n ² − 1 . Topológicamente, es compacto y simplemente conexo . ^[2] Algebraicamente, es un grupo de Lie simple (lo que significa que su álgebra de Lie es simple; ver más abajo). ^[3]

El centro de SU( n ) es isomorfo al grupo cíclico y está compuesto por las matrices diagonales ζ I para ζ una n- ésima raíz de la unidad e I la matriz identidad n × n . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Su grupo de automorfismo externo para n ≥ 3 es mientras que el grupo de automorfismo externo de SU(2) es el grupo trivial . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

Un toro máximo de rango n − 1 está dado por el conjunto de matrices diagonales con determinante 1. El grupo de Weyl de SU( n ) es el grupo simétrico S _n , que está representado por matrices de permutación con signo (los signos son necesarios para asegurar que el determinante sea 1 ).

El álgebra de Lie de SU( n ) , denotada por , se puede identificar con el conjunto de matrices complejas antihermíticas n × n sin traza , con el conmutador regular como corchete de Lie. Los físicos de partículas a menudo usan una representación diferente y equivalente: El conjunto de matrices complejas hermíticas n × n sin traza con corchete de Lie dado por − i por el conmutador. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Álgebra de Lie

El álgebra de Lie de consiste en matrices antihermíticas n × n con traza cero. ^[4] Esta álgebra de Lie (real) tiene dimensión n ² − 1 . Puede encontrar más información sobre la estructura de esta álgebra de Lie a continuación en § Estructura del álgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$

Representación fundamental

En la literatura de física, es común identificar el álgebra de Lie con el espacio de matrices hermíticas sin traza cero (en lugar de las antihermíticas). Es decir, el álgebra de Lie de los físicos difiere en un factor de de la de los matemáticos. Con esta convención, se pueden elegir generadores T _a que sean matrices complejas hermíticas n × n sin traza , donde: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$

donde f son las constantes de estructura y son antisimétricas en todos los índices, mientras que los coeficientes d son simétricos en todos los índices.

En consecuencia, el conmutador es:

${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$

y el anticonmutador correspondiente es:

${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$

El factor i en la relación de conmutación surge de la convención de la física y no está presente cuando se utiliza la convención de los matemáticos.

La condición de normalización convencional es

${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$

Los generadores satisfacen la identidad de Jacobi ^[5] :

${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}$

Por convención, en la literatura de física los generadores se definen como las matrices complejas hermíticas sin traza con un prefactor: para el grupo, los generadores se eligen como donde son las matrices de Pauli , mientras que para el caso de uno define donde son las matrices de Gell-Mann ^[6] . Con estas definiciones, los generadores satisfacen la siguiente condición de normalización: ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle SU(3)}$ ${\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}}$

${\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}$

Representación adjunta

En la representación adjunta de dimensión ( n ² − 1) , los generadores están representados por matrices ( n ² − 1) × ( n ² − 1) , cuyos elementos están definidos por las propias constantes de estructura:

${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$

El grupo SU(2)

Usando la multiplicación de matrices para la operación binaria, SU(2) forma un grupo, ^[7]

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$

donde la línea superior denota conjugación compleja .

Difeomorfismo con la 3-esferaS3

Si consideramos como un par en donde y , entonces la ecuación se convierte en ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =a+bi}$ ${\displaystyle \beta =c+di}$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$

Esta es la ecuación de la 3-esfera S ³ . Esto también se puede ver usando una incrustación: el mapa

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

donde denota el conjunto de matrices complejas de 2 por 2, es una función lineal real inyectiva (considerando difeomórfica a y difeomórfica a ). Por lo tanto, la restricción de φ a la 3-esfera (ya que el módulo es 1), denotada S ³ , es una incrustación de la 3-esfera en una subvariedad compacta de , a saber φ ( S ³ ) = SU(2) . ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$

Por lo tanto, como variedad, S ³ es difeomorfo a SU(2) , lo que demuestra que SU(2) es simplemente conexo y que S ³ puede estar dotado de la estructura de un grupo de Lie compacto y conexo .

Isomorfismo con grupo de versores

Los cuaterniones de norma 1 se denominan versores ya que generan el grupo de rotación SO(3) : La matriz SU(2) :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$

se puede asignar al cuaternión

${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$

Este mapa es, de hecho, un isomorfismo de grupo . Además, el determinante de la matriz es la norma al cuadrado del cuaternión correspondiente. Claramente, cualquier matriz en SU(2) es de esta forma y, dado que tiene determinante  1 , el cuaternión correspondiente tiene norma 1. Por lo tanto, SU(2) es isomorfo al grupo de versores. ^[8]

Relación con las rotaciones espaciales

Cada versor está naturalmente asociado a una rotación espacial en 3 dimensiones, y el producto de versores está asociado a la composición de las rotaciones asociadas. Además, cada rotación surge de exactamente dos versores de esta manera. En resumen: hay un homomorfismo sobreyectivo 2:1 de SU(2) a SO(3) ; en consecuencia, SO(3) es isomorfo al grupo cociente SU(2)/{±I} , la variedad subyacente a SO(3) se obtiene identificando puntos antípodas de la 3-esfera S ³ , y SU(2) es la cobertura universal de SO(3) .

Álgebra de Lie

El álgebra de Lie de SU(2) consta de matrices antihermíticas de 2 × 2 con traza cero. ^[9] Explícitamente, esto significa

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$

El álgebra de Lie se genera entonces mediante las siguientes matrices,

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$

que tienen la forma del elemento general especificado anteriormente.

Esto también se puede escribir utilizando las matrices de Pauli . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$

Estos satisfacen las relaciones de cuaterniones y, por lo tanto, el soporte del conmutador se especifica mediante ${\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,}$ ${\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,}$ ${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.}$

${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$

Los generadores anteriores están relacionados con las matrices de Pauli por y Esta representación se utiliza rutinariamente en mecánica cuántica para representar el espín de partículas fundamentales como los electrones . También sirven como vectores unitarios para la descripción de nuestras 3 dimensiones espaciales en la gravedad cuántica de bucles . También corresponden a las puertas X, Y y Z de Pauli , que son generadores estándar para las puertas de un solo cúbit, correspondientes a rotaciones 3d sobre los ejes de la esfera de Bloch . ${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$ ${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

El álgebra de Lie sirve para calcular las representaciones de SU(2) .

SU(3)

El grupo SU(3) es un grupo de Lie simple de 8 dimensiones que consta de todas las matrices unitarias de 3 × 3 con determinante 1.

Topología

El grupo SU(3) es un grupo de Lie compacto, simplemente conexo. ^[10] Su estructura topológica se puede entender al notar que SU(3) actúa transitivamente sobre la esfera unitaria en . El estabilizador de un punto arbitrario en la esfera es isomorfo a SU(2) , que topológicamente es una 3-esfera. De esto se deduce que SU(3) es un fibrado sobre la base S ⁵ con fibra S ³ . Dado que las fibras y la base están simplemente conexas, la simple conexidad de SU(3) se deduce entonces por medio de un resultado topológico estándar (la larga secuencia exacta de grupos de homotopía para fibrados). ^[11] ${\displaystyle S^{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$

Los fibrados SU(2) sobre S ⁵ se clasifican por ya que cualquier fibrado de este tipo se puede construir observando fibrados triviales en los dos hemisferios y observando la función de transición en su intersección, que es una copia de S ⁴ , por lo que ${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}$

${\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}$

Luego, todas estas funciones de transición se clasifican por clases de homotopía de mapas.

${\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$

y como en lugar de , SU(3) no puede ser el fibrado trivial SU(2) × S ⁵ ≅ S ³ × S ⁵ , y por lo tanto debe ser el único fibrado no trivial (torcido). Esto se puede demostrar observando la secuencia exacta larga inducida en los grupos de homotopía. ${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

Teoría de la representación

La teoría de representación de SU(3) es bien conocida. ^[12] Se pueden encontrar descripciones de estas representaciones, desde el punto de vista de su álgebra de Lie complejizada , en los artículos sobre representaciones del álgebra de Lie o los coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3) . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

Álgebra de Lie

Los generadores, T , del álgebra de Lie de SU(3) en la representación definitoria (física de partículas, hermítica), son ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$

donde λ _a , las matrices de Gell-Mann , son el análogo SU(3) de las matrices de Pauli para SU(2) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Estos λ _a abarcan todas las matrices hermíticas sin traza H del álgebra de Lie , como se requiere. Nótese que λ ₂ , λ ₅ , λ ₇ son antisimétricas.

Obedecen las relaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$

Las f son las constantes de estructura del álgebra de Lie, dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$

mientras que todos los demás f _abc no relacionados con estos por permutación son cero. En general, se anulan a menos que contengan un número impar de índices del conjunto {2, 5, 7} . ^[c]

Los coeficientes simétricos d toman los valores

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$

Se desvanecen si el número de índices del conjunto {2, 5, 7} es impar.

Un elemento de grupo SU(3) genérico generado por una matriz hermítica 3×3 sin traza H , normalizada como tr( H ² ) = 2 , se puede expresar como un polinomio matricial de segundo orden en H : ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$

Estructura del álgebra de Lie

Como se señaló anteriormente, el álgebra de Lie de SU( n ) consta de matrices antihermíticas n × n con traza cero. ^[14] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

La complejización del álgebra de Lie es , el espacio de todas las matrices complejas n × n con traza cero. ^[15] Una subálgebra de Cartan consiste entonces en las matrices diagonales con traza cero, ^[16] que identificamos con vectores cuyas entradas suman cero. Las raíces consisten entonces en todas las n ( n − 1) permutaciones de (1, −1, 0, ..., 0) . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Una elección de raíces simples es

${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$

Entonces, SU( n ) es de rango n − 1 y su diagrama de Dynkin está dado por A _{n −1} , una cadena de n − 1 nodos:.... ^[17] Su matriz de Cartan es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$

Su grupo de Weyl o grupo de Coxeter es el grupo simétrico S _n , el grupo de simetría del ( n − 1) - símplex .

Grupo unitario especial generalizado

Para un cuerpo F , el grupo unitario especial generalizado sobre F , SU( p , q ; F ) , es el grupo de todas las transformaciones lineales del determinante 1 de un espacio vectorial de rango n = p + q sobre F que dejan invariante una forma hermítica no degenerada de signatura ( p , q ) . Este grupo se denomina a menudo grupo unitario especial de signatura p q sobre F . El cuerpo F puede reemplazarse por un anillo conmutativo , en cuyo caso el espacio vectorial se reemplaza por un módulo libre .

Específicamente, fije una matriz hermítica A de firma p q en , entonces todos ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )}$

satisfacer

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}$

A menudo se verá la notación SU( p , q ) sin referencia a un anillo o campo; en este caso, el anillo o campo al que se hace referencia es y esto da uno de los grupos de Lie clásicos . La opción estándar para A cuando es ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {F} =\mathbb {C} }$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}$

Sin embargo, puede haber mejores opciones para A para ciertas dimensiones que exhiben mayor comportamiento bajo restricción a subanillos de . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Ejemplo

Un ejemplo importante de este tipo de grupo es el grupo modular de Picard , que actúa (proyectivamente) sobre el espacio hiperbólico complejo de grado dos, de la misma manera que actúa (proyectivamente) sobre el espacio hiperbólico real de dimensión dos. En 2005, Gábor Francsics y Peter Lax calcularon un dominio fundamental explícito para la acción de este grupo sobre HC ² . ^[18] ${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$

Otro ejemplo es , que es isomorfo a . ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$

Subgrupos importantes

En física, el grupo unitario especial se utiliza para representar simetrías fermiónicas . En las teorías de ruptura de simetría es importante poder encontrar los subgrupos del grupo unitario especial. Los subgrupos de SU( n ) que son importantes en la física GUT son, para p > 1, n − p > 1 ,

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),}$

donde × denota el producto directo y U(1) , conocido como el grupo del círculo , es el grupo multiplicativo de todos los números complejos con valor absoluto  1.

Para completar, también existen los subgrupos ortogonales y simplécticos ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}}$

Dado que el rango de SU( n ) es n − 1 y el de U(1) es 1, una comprobación útil es que la suma de los rangos de los subgrupos sea menor o igual que el rango del grupo original. SU( n ) es un subgrupo de varios otros grupos de Lie,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}}$

Consulte el grupo de Spin y el grupo de Lie simple para E ₆ , E ₇ y G ₂ .

También existen los isomorfismos accidentales : SU(4) = Spin(6) , SU(2) = Spin(3) = Sp(1) , ^[d] y U(1) = Spin(2) = SO(2) .

Finalmente, se puede mencionar que SU(2) es el grupo de doble recubrimiento de SO(3) , una relación que juega un papel importante en la teoría de rotaciones de espinores 2- en la mecánica cuántica no relativista .

SU(1, 1)

${\displaystyle \mathrm {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):uu^{*}-vv^{*}=1\right\},}$donde denota el conjugado complejo del número complejo u . ${\displaystyle ~u^{*}~}$

Este grupo es isomorfo a SL(2,ℝ) y Spin(2,1) ^[19] donde los números separados por una coma se refieren a la signatura de la forma cuadrática preservada por el grupo. La expresión en la definición de SU(1,1) es una forma hermítica que se convierte en una forma cuadrática isótropa cuando u y v se expanden con sus componentes reales. ${\displaystyle ~uu^{*}-vv^{*}~}$

Una aparición temprana de este grupo fue la "esfera unitaria" de cocuaterniones , introducida por James Cockle en 1852. Sea

${\displaystyle j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}$

Entonces, la matriz identidad 2×2, y y los elementos i, j y k son todos anticonmutativos , como en los cuaterniones . También sigue siendo una raíz cuadrada de − I ₂ (negativo de la matriz identidad), mientras que no lo son, a diferencia de los cuaterniones. Tanto para los cuaterniones como para los cocuaterniones , todas las cantidades escalares se tratan como múltiplos implícitos de I ₂ y se anotan como 1 . ${\displaystyle ~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~}$ ${\displaystyle ~i\,j\,k=I_{2}\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~}$ ${\displaystyle ~k\,i=j~,}$ ${\displaystyle \;i\,j=k\;,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~}$

El cocuaternión con escalar w tiene un conjugado similar a los cuaterniones de Hamilton. La forma cuadrática es ${\displaystyle ~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~}$ ${\displaystyle ~q=w-x\,i-y\,j-z\,k~}$ ${\displaystyle ~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Nótese que el hiperboloide de 2 hojas corresponde a las unidades imaginarias del álgebra, de modo que cualquier punto p en este hiperboloide puede usarse como polo de una onda sinusoidal según la fórmula de Euler . ${\displaystyle \left\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}}$

El hiperboloide es estable bajo SU(1, 1) , lo que ilustra el isomorfismo con Spin(2, 1) . La variabilidad del polo de una onda, como se observa en los estudios de polarización , podría ver la polarización elíptica como una exhibición de la forma elíptica de una onda con polo . ${\displaystyle ~p\neq \pm i~}$ El modelo de esfera de Poincaré utilizado desde 1892 se ha comparado con un modelo de hiperboloide de 2 láminas, ^[20] y se ha introducido la práctica de la interferometría SU(1, 1) .

Cuando un elemento de SU(1, 1) se interpreta como una transformación de Möbius , deja estable el disco unitario , por lo que este grupo representa los movimientos del modelo de disco de Poincaré de la geometría del plano hiperbólico. De hecho, para un punto [ z, 1 ] en la línea proyectiva compleja , la acción de SU(1,1) está dada por

${\displaystyle {\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}\,{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}=[\;u\,z+v^{*},\,v\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v^{*}}{vz+u^{*}}},\,1\;\right]}$

ya que en coordenadas proyectivas ${\displaystyle (\;u\,z+v^{*},\;v\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v^{*}\,}{v\,z+u^{*}}},\;1\;\right)~.}$

La escritura aritmética de números complejos muestra ${\displaystyle \;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,}$

${\displaystyle {\bigl |}u\,z+v^{*}{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,}$

donde Por lo tanto, de modo que su relación se encuentra en el disco abierto. ^[21] ${\displaystyle S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}.}$ ${\displaystyle z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v^{*}{\bigr |}<{\bigl |}\,v\,z+u^{*}\,{\bigr |}}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Grupo unitario
• Grupo unitario especial proyectivo , PSU( n )
• Grupo ortogonal
• Generalizaciones de matrices de Pauli
• Teoría de la representación de SU(2)

Notas al pie

1. Para una caracterización de U( n ) y por lo tanto de SU( n ) en términos de preservación del producto interno estándar en , véase Grupo clásico . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
2. Para una descripción explícita del homomorfismo SU(2) → SO(3) , véase Conexión entre SO(3) y SU(2) .
3. Por lo tanto, menos de 1 ⁄ 6 de todos los f _abc no desaparecen.
4. Sp( n ) es la forma real compacta de . A veces se denota USp( 2n ) . La dimensión de las matrices Sp( n ) es 2 n × 2 n . ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$

Citas

1. Halzen, Francis ; Martin, Alan (1984). Quarks y leptones: un curso introductorio a la física de partículas moderna . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.
2. Hall 2015, Proposición 13.11
3. Wybourne, BG (1974). Grupos clásicos para físicos . Wiley-Interscience. ISBN 0471965057.
4. Propuesta 3.24 del Salón 2015
5. Georgi, Howard (4 de mayo de 2018). Álgebras de Lie en física de partículas: del isospín a las teorías unificadas (1.ª ed.). Boca Raton: CRC Press. doi :10.1201/9780429499210. ISBN 978-0-429-49921-0.
6. Georgi, Howard (4 de mayo de 2018). Álgebras de Lie en física de partículas: del isospín a las teorías unificadas (1.ª ed.). Boca Raton: CRC Press. doi :10.1201/9780429499210. ISBN 978-0-429-49921-0.
7. Ejercicio 1.5 del Salón 2015
8. Savage, Alistair. "LieGroups" (PDF) . Apuntes de MATH 4144.
9. Propuesta 3.24 del Salón 2015
10. Propuesta 13.11 del Salón 2015
11. Hall 2015 Sección 13.2
12. Hall 2015 Capítulo 6
13. Rosen, SP (1971). "Transformaciones finitas en varias representaciones de SU(3)". Revista de Física Matemática . 12 (4): 673–681. Código Bibliográfico :1971JMP....12..673R. doi :10.1063/1.1665634.; Curtright, TL; Zachos, CK (2015). "Resultados elementales para la representación fundamental de SU(3)". Informes sobre física matemática . 76 (3): 401–404. arXiv : 1508.00868 . Código Bibliográfico :2015RpMP...76..401C. doi :10.1016/S0034-4877(15)30040-9. S2CID  119679825.
14. Propuesta 3.24 del Salón 2015
15. Sala 2015 Sección 3.6
16. Sección 7.7.1 del Salón 2015
17. Sección 8.10.1 del Salón 2015
18. Francsics, Gabor; Lax, Peter D. (septiembre de 2005). "Un dominio fundamental explícito para el grupo modular de Picard en dos dimensiones complejas". arXiv : math/0509708 .
19. Gilmore, Robert (1974). Grupos de Lie, álgebras de Lie y algunas de sus aplicaciones . John Wiley & Sons . págs. 52, 201−205. MR  1275599.
20. Mota, RD; Ojeda-Guillén, D.; Salazar-Ramírez, M.; Granados, VD (2016). "Enfoque SU(1,1) para los parámetros de Stokes y la teoría de la polarización de la luz". Journal of the Optical Society of America B . 33 (8): 1696–1701. arXiv : 1602.03223 . Código Bibliográfico :2016JOSAB..33.1696M. doi :10.1364/JOSAB.33.001696. S2CID  119146980.
21. Siegel, CL (1971). Temas de teoría de funciones complejas . Vol. 2. Traducido por Shenitzer, A.; Tretkoff, M. Wiley-Interscience. págs. 13-15. ISBN. 0-471-79080 X.

Referencias

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Iachello, Francesco (2006), Álgebras de Lie y aplicaciones , Apuntes de clases de física, vol. 708, Springer, ISBN 3540362363