Propiedad anticonmutativa

Propiedad de las operaciones matemáticas que producen un resultado inverso cuando se invierte el orden de los argumentos

En matemáticas , la anticonmutatividad es una propiedad específica de algunas operaciones matemáticas no conmutativas . Intercambiar la posición de dos argumentos de una operación antisimétrica produce un resultado que es el inverso del resultado con argumentos no intercambiados. La noción de inverso se refiere a una estructura de grupo en el codominio de la operación , posiblemente con otra operación. La resta es una operación anticonmutativa porque conmutar los operandos de a − b da b − a = −( a − b ); por ejemplo, 2 − 10 = −(10 − 2) = −8. Otro ejemplo destacado de una operación anticonmutativa es el corchete de Lie .

En física matemática , donde la simetría es de importancia central, estas operaciones se denominan en su mayoría operaciones antisimétricas y se extienden en un entorno asociativo para cubrir más de dos argumentos .

Definición

Si son dos grupos abelianos , una función bilineal es anticonmutativa si para todo tenemos ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$ ${\displaystyle x,y\in A}$

${\displaystyle f(x,y)=-f(y,x).}$

De manera más general, un mapa multilineal es anticonmutativo si, por todo lo que tenemos, ${\displaystyle g:A^{n}\to B}$ ${\displaystyle x_{1},\dots x_{n}\in A}$

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})={\text{sgn}}(\sigma )g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots x_{\sigma (n)})}$

¿Dónde está el signo de la permutación ? ${\displaystyle {\text{sgn}}(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$

Propiedades

Si el grupo abeliano no tiene torsión 2 , lo que implica que si entonces , entonces cualquier mapa bilineal anticomutativo satisface ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x=-x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$

${\displaystyle f(x,x)=0.}$

De manera más general, al transponer dos elementos, cualquier mapa multilineal anticonmutativo satisface ${\displaystyle g\colon A^{n}\to B}$

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=0}$

si cualquiera de las son iguales; se dice que dicha función es alternada . A la inversa, utilizando la multilinealidad, cualquier función alternada es anticonmutativa. En el caso binario, esto funciona de la siguiente manera: si es alternada, entonces por bilinealidad tenemos ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$

${\displaystyle f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0}$

y la prueba en el caso multilineal es la misma pero sólo en dos de las entradas.

Ejemplos

Algunos ejemplos de operaciones binarias anticonmutativas incluyen:

• Producto vectorial
• Corchete de Lie de un álgebra de Lie
• Soporte de Lie de un anillo de Lie
• Sustracción

Véase también

• Conmutatividad
• Conmutador
• Álgebra exterior
• Anillo conmutativo graduado
• Operación (matemáticas)
• Simetría en matemáticas
• Estadística de partículas (para anticomutatividad en física).

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1989), "Capítulo III. Álgebras tensoriales , álgebras exteriores , álgebras simétricas ", Álgebra. Capítulos 1–3 , Elementos de matemáticas (2.ª edición), Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 3-540-64243-9, MR  0979982, Zbl  0904.00001.

Enlaces externos

• Gainov, AT (2001) [1994], "Álgebra anticonmutativa", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press. Que hace referencia a la obra original rusa
• Weisstein, Eric W. "Anticonmutativo". MathWorld .