En matemáticas y física , un solitón es un paquete de ondas localizado, no lineal y autorreforzado que es fuertemente estable , en el sentido de que conserva su forma mientras se propaga libremente, a velocidad constante, y la recupera incluso después de colisiones con otros paquetes de ondas localizados similares. Su notable estabilidad se puede rastrear hasta una cancelación equilibrada de los efectos no lineales y dispersivos en el medio. (Los efectos dispersivos son una propiedad de ciertos sistemas donde la velocidad de una onda depende de su frecuencia). Posteriormente se descubrió que los solitones proporcionaban soluciones estables de una amplia clase de ecuaciones diferenciales parciales dispersivas débilmente no lineales que describen sistemas físicos.
El fenómeno del solitón fue descrito por primera vez en 1834 por John Scott Russell (1808-1882), quien observó una onda solitaria en el Canal de la Unión en Escocia. Reprodujo el fenómeno en un tanque de olas y lo llamó " onda de traslación ". El término solitón fue acuñado por Zabusky y Kruskal para describir soluciones localizadas y fuertemente estables de propagación a la ecuación de Korteweg-de Vries , que modela ondas del tipo visto por Russell. El nombre pretendía caracterizar la naturaleza solitaria de las ondas, con el sufijo "on" recordando el uso para partículas como electrones , bariones o hadrones , reflejando su comportamiento observado similar al de las partículas . [1]
Es difícil encontrar una definición única y consensuada de solitón. Drazin y Johnson (1989, pág. 15) atribuyen tres propiedades a los solitones:
Existen definiciones más formales, pero requieren un gran esfuerzo matemático. Además, algunos científicos utilizan el término solitón para fenómenos que no tienen exactamente estas tres propiedades (por ejemplo, las " balas de luz " de la óptica no lineal suelen llamarse solitones a pesar de que pierden energía durante la interacción). [2]
La dispersión y la no linealidad pueden interactuar para producir formas de onda permanentes y localizadas . Consideremos un pulso de luz que viaja a través de un vidrio. Este pulso puede considerarse como si estuviera formado por luz de varias frecuencias diferentes. Como el vidrio muestra dispersión, estas diferentes frecuencias viajan a diferentes velocidades y, por lo tanto, la forma del pulso cambia con el tiempo. Sin embargo, también se produce el efecto Kerr no lineal : el índice de refracción de un material a una frecuencia determinada depende de la amplitud o la fuerza de la luz. Si el pulso tiene la forma correcta, el efecto Kerr cancela exactamente el efecto de dispersión y la forma del pulso no cambia con el tiempo. Por lo tanto, el pulso es un solitón. Consulte solitón (óptica) para obtener una descripción más detallada.
Muchos modelos que se pueden resolver con exactitud tienen soluciones solitón, entre ellas la ecuación de Korteweg-de Vries , la ecuación no lineal de Schrödinger , la ecuación no lineal acoplada de Schrödinger y la ecuación de seno-Gordon . Las soluciones solitón se obtienen normalmente mediante la transformada de dispersión inversa y deben su estabilidad a la integrabilidad de las ecuaciones de campo. La teoría matemática de estas ecuaciones es un campo amplio y muy activo de investigación matemática.
Algunos tipos de mareas , un fenómeno ondulatorio de unos pocos ríos, incluido el río Severn , son "undulares": un frente de onda seguido de un tren de solitones. Otros solitones se producen como ondas internas submarinas , iniciadas por la topografía del fondo marino , que se propagan en la picnoclina oceánica . También existen solitones atmosféricos, como la nube de gloria de la mañana del Golfo de Carpentaria , donde los solitones de presión que viajan en una capa de inversión de temperatura producen vastas nubes de rollo lineal. El modelo de solitones reciente y no ampliamente aceptado en neurociencia propone explicar la conducción de señales dentro de las neuronas como solitones de presión.
Un solitón topológico , también llamado defecto topológico, es cualquier solución de un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que es estable frente a la descomposición en la "solución trivial". La estabilidad del solitón se debe a restricciones topológicas, en lugar de a la integrabilidad de las ecuaciones de campo. Las restricciones surgen casi siempre porque las ecuaciones diferenciales deben obedecer a un conjunto de condiciones de contorno , y el contorno tiene un grupo de homotopía no trivial , preservado por las ecuaciones diferenciales. Por lo tanto, las soluciones de las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar en clases de homotopía .
Ninguna transformación continua asigna una solución de una clase de homotopía a otra. Las soluciones son verdaderamente distintas y mantienen su integridad, incluso frente a fuerzas extremadamente poderosas. Entre los ejemplos de solitones topológicos se incluyen la dislocación helicoidal en una red cristalina , la cuerda de Dirac y el monopolo magnético en el electromagnetismo , el Skyrmion y el modelo de Wess-Zumino-Witten en la teoría cuántica de campos , el skyrmion magnético en la física de la materia condensada y las cuerdas cósmicas y los muros de dominio en la cosmología .
En 1834, John Scott Russell describe su ola de traducción . [nb 1] El descubrimiento se describe aquí en las propias palabras de Scott Russell: [nb 2]
Observaba yo el movimiento de un bote que avanzaba rápidamente por un estrecho canal tirado por un par de caballos, cuando el bote se detuvo de repente; no así la masa de agua que había puesto en movimiento en el canal; se acumuló alrededor de la proa del barco en un estado de violenta agitación, y de repente, dejándolo atrás, se desplazó hacia adelante con gran velocidad, adoptando la forma de una gran elevación solitaria, un montón de agua redondeado, liso y bien definido, que continuó su curso a lo largo del canal aparentemente sin cambiar de forma ni disminuir su velocidad. Lo seguí a caballo y lo alcancé mientras seguía avanzando a una velocidad de unas ocho o nueve millas por hora, conservando su forma original de unos treinta pies de largo y un pie o un pie y medio de altura. Su altura disminuyó gradualmente y, después de perseguirlo una o dos millas, lo perdí en los recodos del canal. Tal fue, en el mes de agosto de 1834, mi primer encuentro casual con ese fenómeno singular y hermoso que he llamado la Ola de Traslación. [3]
Scott Russell dedicó algún tiempo a realizar investigaciones prácticas y teóricas sobre estas ondas. Construyó tanques de olas en su casa y observó algunas propiedades clave:
El trabajo experimental de Scott Russell parecía estar en desacuerdo con las teorías de la hidrodinámica de Isaac Newton y Daniel Bernoulli . George Biddell Airy y George Gabriel Stokes tuvieron dificultades para aceptar las observaciones experimentales de Scott Russell porque no podían explicarse con las teorías existentes sobre las ondas de agua. Henry Bazin informó observaciones adicionales en 1862 después de los experimentos realizados en el canal de Bourgogne en Francia. [4] Sus contemporáneos pasaron algún tiempo intentando extender la teoría, pero no fue hasta la década de 1870 que Joseph Boussinesq [5] y Lord Rayleigh publicaron un tratamiento teórico y soluciones. [nb 3] En 1895, Diederik Korteweg y Gustav de Vries proporcionaron lo que ahora se conoce como la ecuación de Korteweg-de Vries , que incluye soluciones de onda solitaria y onda cnoidal periódica. [6] [nb 4]
En 1965, Norman Zabusky , de Bell Labs, y Martin Kruskal, de la Universidad de Princeton, demostraron por primera vez el comportamiento de los solitones en un medio sujeto a la ecuación de Korteweg-de Vries (ecuación KdV) en una investigación computacional utilizando un enfoque de diferencias finitas . También demostraron cómo este comportamiento explicaba el desconcertante trabajo anterior de Fermi, Pasta, Ulam y Tsingou . [1]
En 1967, Gardner, Greene, Kruskal y Miura descubrieron una transformada de dispersión inversa que permitió la solución analítica de la ecuación KdV. [8] El trabajo de Peter Lax sobre pares Lax y la ecuación Lax ha extendido desde entonces esto a la solución de muchos sistemas generadores de solitones relacionados.
Los solitones, por definición, no se alteran en forma ni en velocidad al colisionar con otros solitones. [9] Por lo tanto, las ondas solitarias en una superficie de agua son casi solitones, pero no exactamente: después de la interacción de dos ondas solitarias (que chocan o se superan), han cambiado un poco en amplitud y queda un residuo oscilatorio. [10]
Los solitones también son estudiados en mecánica cuántica, gracias a que pudieron aportar un nuevo fundamento a la misma a través del programa inacabado de De Broglie , conocido como “Teoría de la doble solución” o “Mecánica ondulatoria no lineal”. Esta teoría, desarrollada por De Broglie en 1927 y recuperada en la década de 1950, es la continuación natural de sus ideas desarrolladas entre 1923 y 1926, que extendieron la dualidad onda-partícula introducida por Albert Einstein para los cuantos de luz , a todas las partículas de la materia. La observación de la aceleración de un solitón de onda de agua gravitacional superficial utilizando un potencial lineal hidrodinámico externo se demostró en 2019. Este experimento también demostró la capacidad de excitar y medir las fases de los solitones balísticos. [11]
Se han realizado muchos experimentos con solitones en aplicaciones de fibra óptica. Los solitones en un sistema de fibra óptica se describen mediante las ecuaciones de Manakov . La estabilidad inherente de los solitones hace posible la transmisión a larga distancia sin el uso de repetidores y, potencialmente, también podría duplicar la capacidad de transmisión. [12]
Los solitones pueden estar presentes en proteínas [16] y en el ADN. [17] Los solitones están relacionados con el movimiento colectivo de baja frecuencia en proteínas y ADN. [18]
Un modelo desarrollado recientemente en neurociencia propone que las señales, en forma de ondas de densidad, se conducen dentro de las neuronas en forma de solitones. [19] [20] [21] Los solitones pueden describirse como una transferencia de energía casi sin pérdidas en cadenas o redes biomoleculares como propagaciones en forma de ondas de perturbaciones conformacionales y electrónicas acopladas. [22]
Los solitones pueden presentarse en materiales, como los ferroeléctricos , en forma de paredes de dominio. Los materiales ferroeléctricos exhiben polarización espontánea, o dipolos eléctricos, que están acoplados a configuraciones de la estructura del material. Los dominios de polarizaciones de polos opuestos pueden estar presentes dentro de un solo material ya que las configuraciones estructurales correspondientes a polarizaciones opuestas son igualmente favorables sin presencia de fuerzas externas. Los límites de dominio, o "paredes", que separan estas configuraciones estructurales locales son regiones de dislocaciones reticulares . [23] Las paredes de dominio pueden propagarse como las polarizaciones y, por lo tanto, las configuraciones estructurales locales pueden cambiar dentro de un dominio con fuerzas aplicadas como polarización eléctrica o estrés mecánico. En consecuencia, las paredes de dominio pueden describirse como solitones, regiones discretas de dislocaciones que pueden deslizarse o propagarse y mantener su forma en ancho y largo. [24] [25] [26]
En la literatura reciente, se ha observado ferroelectricidad en bicapas retorcidas de materiales de van der Waal como el disulfuro de molibdeno y el grafeno . [23] [27] [28] La superred muaré que surge del ángulo de torsión relativo entre las monocapas de van der Waal genera regiones de diferentes órdenes de apilamiento de los átomos dentro de las capas. Estas regiones exhiben configuraciones estructurales que rompen la simetría de inversión que permiten la ferroelectricidad en la interfaz de estas monocapas. Las paredes de dominio que separan estas regiones están compuestas por dislocaciones parciales donde la red experimenta diferentes tipos de tensiones y, por lo tanto, deformaciones. Se ha observado que la propagación de solitones o paredes de dominio a lo largo de una longitud moderada de la muestra (orden de nanómetros a micrómetros) se puede iniciar con la tensión aplicada desde una punta de AFM en una región fija. La propagación de solitones transporta la perturbación mecánica con poca pérdida de energía a través del material, lo que permite el cambio de dominio en forma de dominó. [25]
También se ha observado que el tipo de dislocaciones que se encuentran en las paredes puede afectar los parámetros de propagación, como la dirección. Por ejemplo, las mediciones de STM mostraron cuatro tipos de deformaciones de distintos grados de cizallamiento, compresión y tensión en las paredes del dominio, según el tipo de orden de apilamiento localizado en el grafeno bicapa retorcido. Se logran diferentes direcciones de deslizamiento de las paredes con diferentes tipos de deformaciones que se encuentran en los dominios, lo que influye en la dirección de propagación de la red de solitones. [25]
Las no idealidades, como las disrupciones en la red de solitones y las impurezas superficiales, también pueden influir en la propagación de solitones. Las paredes de dominio pueden encontrarse en nodos y quedar efectivamente fijadas, formando dominios triangulares, que se han observado fácilmente en varios sistemas de bicapas retorcidas ferroeléctricas. [23] Además, los bucles cerrados de paredes de dominio que encierran múltiples dominios de polarización pueden inhibir la propagación de solitones y, por lo tanto, el cambio de polarizaciones a través de ellos. [25] Además, las paredes de dominio pueden propagarse y encontrarse en arrugas e inhomogeneidades superficiales dentro de las capas de van der Waals, que pueden actuar como obstáculos que obstruyan la propagación. [25]
En los imanes también existen diferentes tipos de solitones y otras ondas no lineales. [29] Estos solitones magnéticos son una solución exacta de ecuaciones diferenciales no lineales clásicas: ecuaciones magnéticas, por ejemplo, la ecuación de Landau-Lifshitz , el modelo continuo de Heisenberg , la ecuación de Ishimori , la ecuación no lineal de Schrödinger y otras.
Los núcleos atómicos pueden presentar un comportamiento solitónico. [30] En este caso, se predice que toda la función de onda nuclear existiría como un solitón en ciertas condiciones de temperatura y energía. Se sugiere que tales condiciones existen en los núcleos de algunas estrellas en las que los núcleos no reaccionarían, sino que pasarían a través de cada uno de ellos sin cambios, reteniendo sus ondas de solitón a través de una colisión entre núcleos.
El modelo Skyrme es un modelo de núcleos en el que cada núcleo se considera una solución solitón topológicamente estable de una teoría de campo con número bariónico conservado.
El estado ligado de dos solitones se conoce como bión , [31] [32] [33] [34] o en sistemas donde el estado ligado oscila periódicamente, un respirador . Las fuerzas de tipo interferencia entre solitones podrían usarse para hacer biones. [35] Sin embargo, estas fuerzas son muy sensibles a sus fases relativas. Alternativamente, el estado ligado de los solitones podría formarse revistiendo átomos con niveles de Rydberg altamente excitados. [34] El perfil de potencial autogenerado resultante [34] presenta un núcleo blando atractivo interno que soporta el solitón autoatrapado 3D, una capa repulsiva intermedia (barrera) que evita la fusión de solitones y una capa atractiva externa (pozo) utilizada para completar el estado ligado que da como resultado moléculas de solitón estables gigantes. En este esquema, la distancia y el tamaño de los solitones individuales en la molécula se pueden controlar dinámicamente con el ajuste del láser.
En teoría de campos, el término bión suele hacer referencia a la solución del modelo de Born-Infeld . El nombre parece haber sido acuñado por G. W. Gibbons para distinguir esta solución del solitón convencional, entendido como una solución regular , de energía finita (y normalmente estable) de una ecuación diferencial que describe algún sistema físico. [36] La palabra regular significa una solución uniforme que no lleva ninguna fuente. Sin embargo, la solución del modelo de Born-Infeld todavía lleva una fuente en forma de una función delta de Dirac en el origen. Como consecuencia, muestra una singularidad en este punto (aunque el campo eléctrico es regular en todas partes). En algunos contextos físicos (por ejemplo, la teoría de cuerdas), esta característica puede ser importante, lo que motivó la introducción de un nombre especial para esta clase de solitones.
Por otro lado, cuando se añade la gravedad (es decir, cuando se considera el acoplamiento del modelo de Born-Infeld a la relatividad general), la solución correspondiente se llama EBIon , donde "E" representa a Einstein.
Erik Lentz, físico de la Universidad de Göttingen, ha teorizado que los solitones podrían permitir la generación de burbujas de deformación de Alcubierre en el espacio-tiempo sin necesidad de materia exótica, es decir, materia con masa negativa. [37]
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