Solitón disipativo

Los solitones disipativos ( DS ) son estructuras localizadas solitarias estables que surgen en sistemas disipativos no lineales y espacialmente extendidos debido a mecanismos de autoorganización . Pueden considerarse como una extensión del concepto clásico de solitón en sistemas conservativos. Una terminología alternativa incluye autosolitones, puntos y pulsos.

Aparte de aspectos similares al comportamiento de las partículas clásicas, como la formación de estados ligados, los DS muestran un comportamiento interesante (por ejemplo, dispersión, creación y aniquilación), todo ello sin las limitaciones de la conservación de la energía o del momento. La excitación de los grados de libertad internos puede dar como resultado una velocidad intrínseca estabilizada dinámicamente u oscilaciones periódicas de la forma.

Desarrollo histórico

Origen del concepto de solitón

Los solitones se han observado experimentalmente durante mucho tiempo. Helmholtz ^[1] midió la velocidad de propagación de los pulsos nerviosos en 1850. En 1902, Lehmann ^[2] descubrió la formación de puntos anódicos localizados en tubos de descarga de gas largos. Sin embargo, el término "solitón" se desarrolló originalmente en un contexto diferente. El punto de partida fue la detección experimental de "ondas de agua solitarias" por Russell en 1834. ^[3] Estas observaciones iniciaron el trabajo teórico de Rayleigh ^[4] y Boussinesq ^[5] alrededor de 1870, que finalmente condujo a la descripción aproximada de tales ondas por Korteweg y de Vries en 1895; esa descripción se conoce hoy como la ecuación (conservativa) KdV . ^[6]

En este contexto, el término " solitón " fue acuñado por Zabusky y Kruskal ^[7] en 1965. Estos autores investigaron ciertas soluciones solitarias bien localizadas de la ecuación KdV y denominaron a estos objetos solitones. Entre otras cosas, demostraron que en el espacio unidimensional existen solitones, por ejemplo, en forma de dos pulsos que se propagan unidireccionalmente con diferente tamaño y velocidad y que exhiben la notable propiedad de que el número, la forma y el tamaño son los mismos antes y después de la colisión.

Gardner et al. ^[8] introdujeron la técnica de dispersión inversa para resolver la ecuación KdV y demostraron que esta ecuación es completamente integrable . En 1972, Zakharov y Shabat ^[9] encontraron otra ecuación integrable y finalmente resultó que la técnica de dispersión inversa se puede aplicar con éxito a toda una clase de ecuaciones (por ejemplo, las ecuaciones no lineales de Schrödinger y seno-Gordon ). Desde 1965 hasta aproximadamente 1975, se llegó a un acuerdo común: reservar el término solitón para soluciones solitarias de tipo pulso de ecuaciones diferenciales parciales no lineales conservativas que se pueden resolver utilizando la técnica de dispersión inversa.

Sistemas débil y fuertemente disipativos

Con el aumento del conocimiento de los solitones clásicos, se hizo evidente su posible aplicación técnica, siendo la más prometedora en la actualidad la transmisión de solitones ópticos a través de fibras de vidrio con el fin de transmitir datos . A diferencia de los sistemas conservativos, los solitones en fibras disipan energía y esto no se puede despreciar en una escala de tiempo intermedia y larga. Sin embargo, el concepto de solitón clásico todavía se puede utilizar en el sentido de que en una escala de tiempo corta se puede despreciar la disipación de energía. En una escala de tiempo intermedia hay que tener en cuenta las pequeñas pérdidas de energía como una perturbación, y en una escala larga la amplitud del solitón decaerá y finalmente desaparecerá. ^[10]

Sin embargo, existen varios tipos de sistemas que son capaces de producir estructuras solitarias y en los que la disipación juega un papel esencial para su formación y estabilización. Aunque la investigación sobre ciertos tipos de estos DS se ha llevado a cabo durante mucho tiempo (por ejemplo, véase la investigación sobre pulsos nerviosos que culminó en el trabajo de Hodgkin y Huxley ^[11] en 1952), desde 1990 la cantidad de investigación ha aumentado significativamente (véase p. ej. ^{[12] [13] [14] [15]} ). Las posibles razones son la mejora de los dispositivos experimentales y las técnicas analíticas, así como la disponibilidad de ordenadores más potentes para los cálculos numéricos. Hoy en día, es común utilizar el término solitones disipativos para las estructuras solitarias en sistemas fuertemente disipativos.

Observaciones experimentales

Hoy en día, los DS se pueden encontrar en muchas configuraciones experimentales diferentes. Algunos ejemplos incluyen:

• Sistemas de descarga de gas : plasmas confinados en un espacio de descarga que a menudo tiene una extensión lateral grande en comparación con la longitud de descarga principal. Los DS surgen como filamentos de corriente entre los electrodos y se encontraron en sistemas de CC con una barrera de alta resistencia óhmica, ^[16] sistemas de CA con una barrera dieléctrica, ^[17] y como puntos de ánodo, ^[18] así como en una descarga obstruida con electrodos metálicos. ^[19]

• DSs observados experimentalmente en sistemas de descarga de gas de CC planares con barrera de alta resistencia óhmica
• Distribución de densidad de corriente promedio sin colas oscilatorias.
• Distribución de densidad de corriente promedio con colas oscilatorias.

• Sistemas semiconductores : son similares a las descargas de gas; sin embargo, en lugar de un gas, el material semiconductor se coloca entre dos electrodos planos o esféricos. Las configuraciones incluyen diodos pin de Si y GaAs , ^[20] n-GaAs, ^[21] y Si p ⁺ −n ⁺ −p−n ⁻ , ^[22] y estructuras de ZnS:Mn. ^[23]
• Sistemas ópticos no lineales : un haz de luz de alta intensidad interactúa con un medio no lineal. Normalmente, el medio reacciona en escalas de tiempo bastante lentas en comparación con el tiempo de propagación del haz. A menudo, la salida se retroalimenta al sistema de entrada a través de una retroalimentación de espejo único o un bucle de retroalimentación. Los DS pueden surgir como puntos brillantes en un plano bidimensional ortogonal a la dirección de propagación del haz; sin embargo, también se pueden explotar otros efectos como la polarización . Se han observado DS para absorbedores saturables , ^[24] osciladores paramétricos ópticos degenerados (DOPO), ^[25] válvulas de luz de cristal líquido (LCLV), ^[26] sistemas de vapor alcalino, ^[27] medios fotorrefractivos , ^[28] y microrresonadores semiconductores. ^[29]
• Si se consideran las propiedades vectoriales de los DS, también se podría observar un solitón disipativo vectorial en un láser de fibra bloqueado pasivamente a través de un absorbedor saturable, ^[30]
• Además, se ha obtenido un solitón disipativo de múltiples longitudes de onda en un láser de fibra de dispersión totalmente normal bloqueado de modo pasivo con un SESAM. Se confirma que, dependiendo de la birrefringencia de la cavidad, se puede formar un solitón disipativo estable de longitud de onda simple, doble y triple en el láser. Su mecanismo de generación se puede rastrear hasta la naturaleza del solitón disipativo. ^[31]
• Sistemas químicos: realizados como reactores unidimensionales y bidimensionales o mediante superficies catalíticas, los DS aparecen como pulsos (a menudo como pulsos de propagación) de mayor concentración o temperatura. Las reacciones típicas son la reacción de Belousov-Zhabotinsky , ^[32] la reacción de ferrocianuro-yodato-sulfito, así como la oxidación de hidrógeno, ^[33] CO, ^[34] o hierro. ^[35] Los pulsos nerviosos ^[11] o las ondas del aura de migraña ^[36] también pertenecen a esta clase de sistemas.
• Medios vibrados: medios granulares agitados verticalmente, ^[37] suspensiones coloidales , ^[38] y fluidos newtonianos ^[39] producen montones de material que oscilan armónica o subarmónicamente, que usualmente se denominan oscilones .
• Sistemas hidrodinámicos : la realización más destacada de los sistemas hidrodinámicos son los dominios de rodillos de convección sobre un estado de fondo conductor en líquidos binarios. ^[40] Otro ejemplo es una película que se arrastra en un tubo cilíndrico giratorio lleno de aceite. ^[41]
• Redes eléctricas: grandes conjuntos unidimensionales o bidimensionales de celdas acopladas con una característica de corriente-voltaje no lineal . ^[42] Las redes eléctricas se caracterizan por una corriente localmente aumentada a través de las celdas.

Sorprendentemente, la dinámica fenomenológica de los DS en muchos de los sistemas anteriores es similar a pesar de las diferencias microscópicas. Las observaciones típicas son la propagación (intrínseca), la dispersión , la formación de estados ligados y cúmulos, la deriva en gradientes, la interpenetración, la generación y la aniquilación, así como inestabilidades más elevadas.

Descripción teórica

La mayoría de los sistemas que presentan DS se describen mediante ecuaciones diferenciales parciales no lineales . También se utilizan ecuaciones diferenciales discretas y autómatas celulares . Hasta ahora, el modelado a partir de los primeros principios seguido de una comparación cuantitativa del experimento y la teoría se ha realizado solo en raras ocasiones y, a veces, también plantea graves problemas debido a las grandes discrepancias entre las escalas de tiempo y espacio microscópicas y macroscópicas. A menudo se investigan modelos prototipo simplificados que reflejan los procesos físicos esenciales en una clase más amplia de sistemas experimentales. Entre ellos se encuentran

• Sistemas de reacción-difusión , utilizados para sistemas químicos, descargas de gas y semiconductores. ^[43] La evolución del vector de estado q ( x ,  t ) que describe la concentración de los diferentes reactivos está determinada por la difusión, así como por las reacciones locales:

${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\boldsymbol {D}}}\,\Delta {\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}).}$

Un ejemplo que se encuentra con frecuencia es el sistema activador-inhibidor de tipo Fitzhugh-Nagumo de dos componentes.

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}\tau _{u}\,\partial _{t}u\\\tau _{v}\,\partial _{t}v\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}d_{u}^{2}&0\\0&d_{v}^{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\Delta u\\\Delta v\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}\lambda u-u^{3}-\kappa _{3}v+\kappa _{1}\\u-v\end{array}}\right).}$

Los DS estacionarios se generan por la producción de material en el centro de los DS, el transporte difusivo hacia las colas y el agotamiento de material en las colas. Un pulso de propagación surge de la producción en el extremo delantero y el agotamiento en el extremo trasero. ^[44] Entre otros efectos, se encuentran oscilaciones periódicas de los DS ("respiración"), ^{[45] [46]} estados ligados, ^[47] y colisiones, fusión, generación y aniquilación. ^[48]

• Sistemas de tipo Ginzburg-Landau para un escalar complejo q ( x ,  t ) utilizados para describir sistemas ópticos no lineales, plasmas, condensación de Bose-Einstein, cristales líquidos y medios granulares. ^[49] Un ejemplo que se encuentra con frecuencia es la ecuación subcrítica cúbico-quíntica de Ginzburg-Landau

${\displaystyle \partial _{t}q=(d_{r}+id_{i})\,\Delta q+\ell _{r}q+(c_{r}+ic_{i})|q|^{2}q+(q_{r}+iq_{i})|q|^{4}q.}$

Para comprender los mecanismos que conducen a la formación de DS, se puede considerar la energía ρ = | q | ² para la cual se puede derivar la ecuación de continuidad

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}\rho +\nabla \cdot {\boldsymbol {m}}=S=d_{r}(q\,\Delta q^{\ast }+q^{\ast }\,\Delta q)+2\ell _{r}\rho +2c_{r}\rho ^{2}+2q_{r}\rho ^{3}\\&{\text{with }}{\boldsymbol {m}}=2d_{i}\operatorname {Im} (q^{\ast }\nabla q).\end{aligned}}}$

De este modo, se puede demostrar que la energía se produce generalmente en los flancos de los DS y se transporta al centro y, potencialmente, a las colas, donde se agota. Los fenómenos dinámicos incluyen la propagación de DS en 1d, ^[50] la propagación de cúmulos en 2d, ^[51] los estados ligados y los solitones de vórtice, ^[52] así como los "DS explosivos". ^[53]

• La ecuación de Swift-Hohenberg se utiliza en óptica no lineal y en la dinámica de medios granulares de llamas o electroconvección. Swift-Hohenberg puede considerarse como una extensión de la ecuación de Ginzburg-Landau. Puede escribirse como

${\displaystyle \partial _{t}q=(s_{r}+is_{i})\,\Delta ^{2}q+(d_{r}+id_{i})\,\Delta q+\ell _{r}q+(c_{r}+ic_{i})|q|^{2}q+(q_{r}+iq_{i})|q|^{4}q.}$

Para d _r > 0, se tienen esencialmente los mismos mecanismos que en la ecuación de Ginzburg–Landau. ^[54] Para d _r  < 0, en la ecuación real de Swift–Hohenberg se encuentra biestabilidad entre estados homogéneos y patrones de Turing. Los DS son dominios de Turing localizados estacionarios en el fondo homogéneo. ^[55] Esto también es válido para las complejas ecuaciones de Swift–Hohenberg; sin embargo, también son posibles los DS propagantes, así como los fenómenos de interacción, y las observaciones incluyen la fusión y la interpenetración. ^[56]

• Gráficos espacio-temporales que muestran la dinámica y la interacción de los DS como soluciones numéricas de las ecuaciones del modelo anterior en una dimensión espacial
• DS de "respiración" simple como solución del sistema de reacción-difusión de dos componentes con activador u (mitad izquierda) e inhibidor v (mitad derecha).

Propiedades de las partículas y universalidad

Los DSs en muchos sistemas diferentes muestran propiedades universales similares a las de las partículas. Para comprender y describir esto último, se puede intentar derivar "ecuaciones de partículas" para parámetros de orden que varían lentamente, como la posición, la velocidad o la amplitud de los DSs, eliminando adiabáticamente todas las variables rápidas en la descripción del campo. Esta técnica es conocida en sistemas lineales, sin embargo, surgen problemas matemáticos a partir de los modelos no lineales debido a un acoplamiento de modos rápidos y lentos. ^[57]

De manera similar a los sistemas dinámicos de baja dimensión, para las bifurcaciones supercríticas de sistemas dinámicos estacionarios se encuentran formas normales características que dependen esencialmente de las simetrías del sistema. Por ejemplo, para una transición de un sistema dinámico estacionario simétrico a uno que se propaga intrínsecamente se encuentra la forma normal de Pitchfork.

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {v}}}=(\sigma -\sigma _{0}){\boldsymbol {v}}-|{\boldsymbol {v}}|^{2}{\boldsymbol {v}}}$

Para la velocidad v del DS, ^[58] aquí σ representa el parámetro de bifurcación y σ ₀ el punto de bifurcación. Para una bifurcación hacia un DS "respirante", se encuentra la forma normal de Hopf

${\displaystyle {\dot {A}}=(\sigma -\sigma _{0})A-|A|^{2}A}$

para la amplitud A de la oscilación. ^[46] También es posible tratar la "interacción débil" siempre que la superposición de los DS no sea demasiado grande. ^[59] De esta manera, se facilita una comparación entre el experimento y la teoría. ^{[60] [61]} Nótese que los problemas anteriores no surgen para los solitones clásicos ya que la teoría de dispersión inversa produce soluciones analíticas completas.

Véase también

• Clapotis
• Compacton , un solitón con soporte compacto
• Láser de fibra
• Las olas gigantes pueden ser un fenómeno relacionado
• Grafeno
• Ecuación no lineal de Schrödinger
• Sistema no lineal
• Oscilón
• Peakon , un solitón con un pico no diferenciable
• Q-ball , un solitón no topológico
• Ecuación de seno-Gordon
• Ondas solitarias en medios discretos ^[62]
• Solitón (óptica)
• Solitón (topológico)
• Modelo solitón de propagación del impulso nervioso
• Número cuántico topológico
• Solitón vectorial

Referencias

En línea

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Libros y artículos de revisión general

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• N. Akhmediev y A. Ankiewicz, Solitones disipativos: de la óptica a la biología y la medicina , Lecture Notes in Physics, Springer, Berlín (2008)
• H.-G. Purwins y otros, Avances en Física 59 (2010): 485 doi :10.1080/00018732.2010.498228
• AW Liehr: Solitones disipativos en sistemas de reacción-difusión. Mecanismo, dinámica, interacción. Volumen 70 de la serie Springer sobre sinergética, Springer, Berlín-Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2