Tensor estrés-energía

Tensor describing energy momentum density in spacetime

Componentes contravariantes del tensor estrés-energía.

El tensor de tensión-energía , a veces llamado tensor de tensión-energía-momento o tensor de energía-momento , es una cantidad física tensor que describe la densidad y el flujo de energía y momento en el espacio-tiempo , generalizando el tensor de tensión de la física newtoniana . Es un atributo de la materia , la radiación y los campos de fuerza no gravitacionales . Esta densidad y el flujo de energía y momento son las fuentes del campo gravitacional en las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein , del mismo modo que la densidad de masa es la fuente de dicho campo en la gravedad newtoniana .

Definición

El tensor tensión-energía implica el uso de variables en superíndice ( no exponentes; consulte notación de índice tensor y notación de suma de Einstein ). Si se utilizan coordenadas cartesianas en unidades SI , entonces los componentes de los cuatro vectores de posición x vienen dados por: ( x ⁰ , x ¹ , x ² , x ³ ) = ( t , x , y , z ) , donde t es tiempo en segundos, y x , y y z son distancias en metros .

El tensor tensión-energía se define como el tensor T ^αβ de orden dos que da el flujo de la componente α -ésima del vector momento a través de una superficie con coordenada x ^β constante . En la teoría de la relatividad , este vector de impulso se toma como el impulso de cuatro . En la relatividad general, el tensor tensión-energía es simétrico, ^[1]

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.}$

En algunas teorías alternativas como la teoría de Einstein-Cartan , el tensor tensión-energía puede no ser perfectamente simétrico debido a un tensor de espín distinto de cero , que corresponde geométricamente a un tensor de torsión distinto de cero .

Componentes

Debido a que el tensor tensión-energía es de orden 2, sus componentes se pueden representar en forma de matriz de 4 × 4:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}\,,}$

donde los índices μ y ν toman los valores 0, 1, 2, 3.

A continuación, k y ℓ varían de 1 a 3:

1. El componente tiempo-tiempo es la densidad de masa relativista, es decir, la densidad de energía dividida por la velocidad de la luz al cuadrado, mientras se encuentra en el marco de referencia en movimiento conjunto . ^[2] Tiene una interpretación física directa. En el caso de un fluido perfecto este componente es

   ${\displaystyle T^{00}=\rho ~,}$

   ¿Dónde está la masa relativista por unidad de volumen, y para un campo electromagnético en un espacio vacío, este componente es? ${\displaystyle \rho }$

   ${\displaystyle T^{00}={1 \over c^{2}}\left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),}$

   donde E y B son los campos eléctrico y magnético, respectivamente. ^[3]
2. El flujo de masa relativista a través de la superficie x ^k es equivalente a la densidad del k ésimo componente del momento lineal,

   ${\displaystyle T^{0k}=T^{k0}~.}$

3. Los componentes
   ${\displaystyle T^{k\ell }}$
   representan el flujo de k -ésima componente del momento lineal a través de la superficie x ^ℓ . En particular,

   ${\displaystyle T^{kk}}$

   (no sumado) representa la tensión normal en la k -ésima dirección de coordenadas ( k = 1, 2, 3), que se llama " presión " cuando es la misma en todas las direcciones, k . Los componentes restantes

   ${\displaystyle T^{k\ell }\quad k\neq \ell }$

   representan la tensión de corte (compárese con el tensor de tensión ).

En física del estado sólido y mecánica de fluidos , el tensor de tensión se define como los componentes espaciales del tensor de tensión-energía en el marco de referencia adecuado . En otras palabras, el tensor tensión-energía en ingeniería difiere del tensor relativista tensión-energía por un término convectivo de momento.

Formas covariantes y mixtas.

La mayor parte de este artículo trabaja con la forma contravariante, T ^μν del tensor tensión-energía. Sin embargo, a menudo es necesario trabajar con la forma covariante,

${\displaystyle T_{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu },}$

o la forma mixta,

${\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu },}$

o como una densidad tensor mixta

${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu }{}_{\nu }{\sqrt {-g}}\,.}$

Este artículo utiliza la convención de signos espaciales (−+++) para la firma métrica.

ley de conservacion

En relatividad especial

El tensor tensión-energía es la corriente de Noether conservada asociada con las traslaciones espacio-temporales .

La divergencia de la energía-estrés no gravitacional es cero. En otras palabras, la energía y el impulso no gravitacionales se conservan,

${\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }{}.\!}$

Cuando la gravedad es insignificante y se utiliza un sistema de coordenadas cartesiano para el espacio-tiempo, esto se puede expresar en términos de derivadas parciales como

${\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }.\!}$

La forma integral de la formulación no covariante es

${\displaystyle 0=\int _{\partial N}T^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }\!}$

donde N es cualquier región compacta de cuatro dimensiones del espacio-tiempo; es su límite, una hipersuperficie tridimensional; y es un elemento del límite considerado como la normal que apunta hacia afuera. ${\displaystyle \partial N}$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$

En el espacio-tiempo plano y usando coordenadas cartesianas, si se combina esto con la simetría del tensor tensión-energía, se puede demostrar que el momento angular también se conserva:

${\displaystyle 0=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }.\!}$

En relatividad general

Cuando la gravedad no es despreciable o cuando se utilizan sistemas de coordenadas arbitrarios, la divergencia de la tensión-energía aún desaparece. Pero en este caso, se utiliza una definición de divergencia sin coordenadas que incorpora la derivada covariante

${\displaystyle 0=\operatorname {div} T=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$

¿Dónde está el símbolo de Christoffel que es el campo de fuerza gravitacional ? ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

En consecuencia, si hay cualquier campo vectorial Killing , entonces la ley de conservación asociada con la simetría generada por el campo vectorial Killing se puede expresar como ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }\left(\xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\nu }\left({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)}$

La forma integral de esto es

${\displaystyle 0=\int _{\partial N}{\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }=\int _{\partial N}\xi ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$

En relatividad especial

En la relatividad especial , el tensor tensión-energía contiene información sobre las densidades de energía y de momento de un sistema determinado, además de las densidades de momento y de flujo de energía. ^[4]

Dada una densidad lagrangiana que es función de un conjunto de campos y sus derivadas, pero explícitamente no de ninguna de las coordenadas espacio-temporales, podemos construir el tensor canónico tensión-energía observando la derivada total con respecto a una de las coordenadas generalizadas. del sistema. Entonces, con nuestra condición ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x^{\nu }}}=0}$

Usando la regla de la cadena, entonces tenemos

${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dx^{\nu }}}=d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}{\frac {\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}{\frac {\partial \phi _{\alpha }}{\partial x^{\nu }}}}$

Escrito con taquigrafía útil,

${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }\phi _{\alpha }+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$

Entonces, podemos usar la ecuación de Euler-Lagrange:

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}}$

Y luego use el hecho de que las derivadas parciales conmutan de modo que ahora tenemos

${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi _{\alpha }+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$

Podemos reconocer el lado derecho como una regla de producto. Escribirlo como la derivada de un producto de funciones nos dice que

${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]}$

Ahora, en un espacio plano, se puede escribir . Hacer esto y moverlo al otro lado de la ecuación nos dice que ${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }[\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}]}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]-\partial _{\mu }\left(\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

Y al reagrupar términos,

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right]=0}$

Es decir que la divergencia del tensor entre paréntesis es 0. De hecho, con esto definimos el tensor tensión-energía:

${\displaystyle T_{\nu }^{\mu }\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}}$

Por construcción tiene la propiedad de que

${\displaystyle \partial _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=0}$

Tenga en cuenta que esta propiedad sin divergencia de este tensor es equivalente a cuatro ecuaciones de continuidad . Es decir, los campos tienen al menos cuatro conjuntos de cantidades que obedecen a la ecuación de continuidad. Como ejemplo, se puede ver que es la densidad de energía del sistema y que por tanto es posible obtener la densidad hamiltoniana a partir del tensor tensión-energía. ${\displaystyle T_{0}^{0}}$

De hecho, dado que este es el caso, observando que , entonces tenemos ${\displaystyle \partial _{\mu }T_{0}^{\mu }=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }\right)=0}$

Entonces podemos concluir que los términos de representan la densidad de flujo de energía del sistema. ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }}$

Rastro

Tenga en cuenta que la traza del tensor tensión-energía se define como , por lo que ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}$

${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\mathcal {L}}.}$

Desde , ${\displaystyle \delta _{\mu }^{\mu }=4}$

${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-4{\mathcal {L}}.}$

En relatividad general

En la relatividad general , el tensor simétrico tensión-energía actúa como fuente de la curvatura del espacio-tiempo y es la densidad de corriente asociada con las transformaciones de calibre de la gravedad, que son transformaciones generales de coordenadas curvilíneas . (Si hay torsión , entonces el tensor ya no es simétrico. Esto corresponde al caso de un tensor de espín distinto de cero en la teoría de la gravedad de Einstein-Cartan ).

En la relatividad general, las derivadas parciales utilizadas en la relatividad especial se reemplazan por derivadas covariantes . Lo que esto significa es que la ecuación de continuidad ya no implica que la energía no gravitacional y el momento expresados ​​por el tensor se conserven absolutamente, es decir, que el campo gravitacional pueda realizar trabajo sobre la materia y viceversa. En el límite clásico de la gravedad newtoniana , esto tiene una interpretación simple: la energía cinética se intercambia con la energía potencial gravitacional , que no está incluida en el tensor, y el impulso se transfiere a través del campo a otros cuerpos. En relatividad general, el pseudotensor de Landau-Lifshitz es una forma única de definir la energía del campo gravitacional y las densidades de momento. Se puede hacer que cualquier pseudotensor de tensión-energía desaparezca localmente mediante una transformación de coordenadas.

En el espacio-tiempo curvo, la integral espacial ahora depende de la porción espacial, en general. De hecho, no hay forma de definir un vector energía-momento global en un espacio-tiempo curvo general.

Ecuaciones de campo de Einstein

En la relatividad general, el tensor tensión-energía se estudia en el contexto de las ecuaciones de campo de Einstein, que a menudo se escriben como

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },}$

donde está el tensor de Ricci , es el escalar de Ricci (la contracción tensor del tensor de Ricci), es el tensor métrico , Λ es la constante cosmológica (despreciable a la escala de una galaxia o más pequeña) y es la constante newtoniana de gravitación . ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle G}$

Estrés-energía en situaciones especiales

Partícula aislada

En relatividad especial, la tensión-energía de una partícula que no interactúa con masa en reposo m y trayectoria es: ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{p}}(t)}$

${\displaystyle T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)\right)={\frac {E}{c^{2}}}\;v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))}$

¿Dónde está el vector de velocidad (que no debe confundirse con cuatro velocidades , ya que le falta a )? ${\displaystyle v^{\alpha }}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle v^{\alpha }=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right)\,,}$

${\displaystyle \delta }$es la función delta de Dirac y es la energía de la partícula. ${\textstyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

Escrito en el lenguaje de la física clásica, el tensor tensión-energía sería (masa relativista, momento, producto diádico del momento y la velocidad)

${\displaystyle \left({\frac {E}{c^{2}}},\,\mathbf {p} ,\,\mathbf {p} \,\mathbf {v} \right)}$.

Estrés-energía de un fluido en equilibrio

Para un fluido perfecto en equilibrio termodinámico , el tensor tensión-energía adopta una forma particularmente simple

${\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }}$

donde es la densidad de masa-energía ( kilogramos por metro cúbico), es la presión hidrostática ( pascales ), es la velocidad de cuatro del fluido y es la matriz inversa del tensor métrico . Por lo tanto, la traza está dada por ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u^{\alpha }}$ ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle T_{\,\alpha }^{\alpha }=g_{\alpha \beta }T^{\beta \alpha }=3p-\rho c^{2}\,.}$

Las cuatro velocidades satisfacen

${\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.}$

En un sistema de referencia inercial que se mueve con el fluido, mejor conocido como el marco de referencia propio del fluido , las cuatro velocidades son

${\displaystyle u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,}$

la matriz inversa del tensor métrico es simplemente

${\displaystyle g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-{\frac {1}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,}$

y el tensor tensión-energía es una matriz diagonal

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}$

Tensor de energía-estrés electromagnético

El tensor tensión-energía de Hilbert de un campo electromagnético sin fuente es

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}$

¿Dónde está el tensor del campo electromagnético ? ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

campo escalar

El tensor tensión-energía para un campo escalar complejo que satisface la ecuación de Klein-Gordon es ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi ,}$

y cuando la métrica es plana (Minkowski en coordenadas cartesianas) sus componentes resultan ser:

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{00}&={\frac {\hbar ^{2}}{mc^{4}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi +c^{2}\partial _{k}{\bar {\phi }}\partial _{k}\phi \right)+m{\bar {\phi }}\phi ,\\T^{0i}=T^{i0}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{mc^{2}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi +\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi \right),\ \mathrm {and} \\T^{ij}&={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{j}\phi +\partial _{j}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi \right)-\delta _{ij}\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi +mc^{2}{\bar {\phi }}\phi \right).\end{aligned}}}$

Definiciones variantes de estrés-energía

Hay una serie de definiciones no equivalentes ^[5] de energía-estrés no gravitacional:

Tensor de tensión-energía de Hilbert

El tensor tensión-energía de Hilbert se define como la derivada funcional

${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\right)}{\partial g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\partial g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} },}$

donde es la parte no gravitacional de la acción , es la parte no gravitacional de la densidad lagrangiana y se ha utilizado la ecuación de Euler-Lagrange . Esto es simétrico e invariante de calibre. Consulte Acción de Einstein-Hilbert para obtener más información. ${\displaystyle S_{\mathrm {matter} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}$

Tensor canónico de tensión-energía

El teorema de Noether implica que existe una corriente conservada asociada con las traslaciones a través del espacio y el tiempo; para obtener más detalles, consulte la sección anterior sobre el tensor tensión-energía en la relatividad especial. Esto se llama tensor canónico tensión-energía. Generalmente, esto no es simétrico y si tenemos alguna teoría de calibre, puede que no sea invariante de calibre porque las transformaciones de calibre dependientes del espacio no conmutan con las traslaciones espaciales.

En la relatividad general , las traslaciones son con respecto al sistema de coordenadas y, como tal, no se transforman covariantemente. Consulte la sección siguiente sobre el pseudotensor de energía-estrés gravitacional.

Tensor de tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld

En presencia de espín u otro momento angular intrínseco, el tensor tensión-energía canónico de Noether no logra ser simétrico. El tensor tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld se construye a partir del tensor canónico tensión-energía y la corriente de espín de tal manera que sea simétrico y aún se conserve. En la relatividad general, este tensor modificado concuerda con el tensor tensión-energía de Hilbert.

Estrés gravitacional – energía

Según el principio de equivalencia, la energía-tensión gravitacional siempre desaparecerá localmente en cualquier punto elegido en algún marco elegido, por lo tanto, la energía-tensión gravitacional no puede expresarse como un tensor distinto de cero; en su lugar tenemos que usar un pseudotensor .

En la relatividad general, existen muchas definiciones distintas posibles del pseudotensor de tensión-energía-momento gravitacional. Estos incluyen el pseudotensor de Einstein y el pseudotensor de Landau-Lifshitz . El pseudotensor de Landau-Lifshitz se puede reducir a cero en cualquier evento del espacio-tiempo eligiendo un sistema de coordenadas apropiado.

Ver también

• Tensor de energía-estrés electromagnético
• Condición energética
• Densidad de energía de los campos eléctricos y magnéticos.
• Tensor de tensión de Maxwell
• Vector de puntería
• cálculo de ricci
• Clasificación Segre

notas y referencias

1. En las páginas 141-142 de Misner, Thorne y Wheeler , la sección 5.7 "Simetría del tensor tensión-energía" comienza con "Todos los tensores tensión-energía explorados anteriormente eran simétricos. Se ve que no podrían haber sido de otra manera". sigue."
2. Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John A. (1973). Gravitación . San Francisco, CA: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0334-3.
3. d'Inverno, RA (1992). Presentando la Relatividad de Einstein . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859686-8.
4. Landau, LD; Lifshitz, EM (2010). La teoría clásica de los campos (4ª ed.). Butterworth-Heinemann. págs. 84–85. ISBN 978-0-7506-2768-9.
5. Panadero, señor; Kiriushcheva, N.; Kuzmín, S. (2021). "Los tensores de energía-momento (métricos) de Noether y Hilbert no son, en general, equivalentes". Física Nuclear B. 962 (1): 115240. arXiv : 2011.10611 . Código Bib : 2021NuPhB.96215240B. doi : 10.1016/j.nuclphysb.2020.115240. S2CID  227127490.

• W. Wyss (2005). "El tensor energía-momento en la teoría de campos clásica" (PDF) . Colorado, Estados Unidos.

enlaces externos

• Conferencia, Stephan Waner
• Tutorial de Caltech sobre relatividad: una discusión simple sobre la relación entre el tensor tensión-energía de la relatividad general y la métrica