Paquete circular

Haz de fibras principal

En matemáticas , un haz circular es un haz de fibras donde la fibra es el círculo . ${\displaystyle S^{1}}$

Los fibrados circulares orientados también se conocen como fibrados U (1) principales o, equivalentemente, como fibrados SO (2) principales. En física , los fibrados circulares son el marco geométrico natural del electromagnetismo . Un fibrado circular es un caso especial de fibrado esférico .

Como 3-variedades

Los fibrados circulares sobre superficies son un ejemplo importante de 3-variedades . Una clase más general de 3-variedades son los espacios de fibras de Seifert , que pueden considerarse como una especie de fibrado circular "singular" o como una fibrado circular sobre un orbifold bidimensional .

Relación con la electrodinámica

Las ecuaciones de Maxwell corresponden a un campo electromagnético representado por una 2-forma F , siendo cohomóloga a cero, es decir exacta . En particular, siempre existe una 1-forma A , la tetrapotencial electromagnética , (equivalentemente, la conexión afín ) tal que ${\displaystyle \pi ^{\!*}F}$

${\displaystyle \pi ^{*}F=dA.}$

Dado un fibrado circular P sobre M y su proyección

${\displaystyle \pi :P\to M}$

uno tiene el homomorfismo

${\displaystyle \pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )}$

donde es el pullback . Cada homomorfismo corresponde a un monopolo de Dirac ; los grupos de cohomología entera corresponden a la cuantificación de la carga eléctrica . El efecto Aharonov-Bohm puede entenderse como la holonomía de la conexión en el fibrado de líneas asociado que describe la función de onda del electrón. En esencia, el efecto Aharonov-Bohm no es un efecto mecánico cuántico (contrariamente a la creencia popular), ya que no hay cuantificación involucrada o requerida en la construcción de los fibrados o conexiones. ${\displaystyle \pi ^{*}}$

Ejemplos

• La fibración de Hopf es un ejemplo de un haz circular no trivial.
• El fibrado tangente unitario de una superficie es otro ejemplo de fibrado circular.
• El fibrado tangente unitario de una superficie no orientable es un fibrado circular que no es un fibrado principal. Sólo las superficies orientables tienen fibrados tangentes unitarios principales. ${\displaystyle U(1)}$
• Otro método para construir fibrados circulares es utilizar un fibrado lineal complejo y tomar el fibrado esférico (círculo en este caso) asociado. Dado que este fibrado tiene una orientación inducida por tenemos que es un fibrado principal. ^[1] Además, las clases características de la teoría de Chern-Weil del fibrado coinciden con las clases características de . ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle L}$
• Por ejemplo, considere la analitificación de una curva plana compleja . Como y las clases características se retraen de manera no trivial, tenemos que el fibrado lineal asociado al haz tiene clase de Chern . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)}$ ${\displaystyle H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}=a\in H^{2}(X)}$

Clasificación

Las clases de isomorfismo de los fibrados principales sobre una variedad M están en correspondencia biunívoca con las clases de homotopía de las funciones , donde se denomina espacio de clasificación para U(1) . Nótese que es el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita , y que es un ejemplo del espacio de Eilenberg-Maclane Dichos fibrados se clasifican por un elemento del segundo grupo de cohomología integral de M , ya que ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle M\to BU(1)}$ ${\displaystyle BU(1)}$ ${\displaystyle BU(1)=\mathbb {C} P^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2).}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)}$.

Este isomorfismo se realiza mediante la clase de Euler ; equivalentemente, es la primera clase de Chern de un fibrado lineal complejo suave (esencialmente porque un círculo es homotópicamente equivalente a , el plano complejo con el origen eliminado; y por lo tanto un fibrado lineal complejo con la sección cero eliminada es homotópicamente equivalente a un fibrado circular). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Un fibrado circular es un fibrado principal si y solo si el mapeo asociado es nulo-homotópico, lo cual es cierto si y solo si el fibrado es orientable a lo largo de las fibras. Por lo tanto, para el caso más general, donde el fibrado circular sobre M podría no ser orientable, las clases de isomorfismo están en correspondencia biunívoca con las clases de homotopía de los mapeos . Esto se deduce de la extensión de los grupos, , donde . ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle M\to B\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle M\to BO_{2}}$ ${\displaystyle SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle SO_{2}\equiv U(1)}$

Complejos de Deligne

La clasificación anterior sólo se aplica a los fibrados circulares en general; la clasificación correspondiente para fibrados circulares lisos, o, por ejemplo, los fibrados circulares con una conexión afín , requiere una teoría de cohomología más compleja. Los resultados incluyen que los fibrados circulares lisos se clasifican por la segunda cohomología de Deligne ; los fibrados circulares con una conexión afín se clasifican por mientras que clasifica el fibrado lineal gerbes . ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))}$ ${\displaystyle H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )}$

Véase también

• Secuencia de Wang

Referencias

1. "¿Todo fibrado circular orientable es principal? - MathOverflow".

• Chern, Shiing-shen (1977), "Circle bundles", Lecture Notes in Mathematics , vol. 597/1977, Springer Berlin/Heidelberg, págs. 114–131, doi :10.1007/BFb0085351, ISBN 978-3-540-08345-0.