Conexión métrica

Construir en geometría diferencial.

En matemáticas , una conexión métrica es una conexión en un paquete de vectores E equipado con una métrica de paquete ; es decir, una métrica para la cual el producto interno de dos vectores cualesquiera seguirá siendo el mismo cuando esos vectores se transporten en paralelo a lo largo de cualquier curva. ^[1] Esto equivale a:

• Una conexión para la cual las derivadas covariantes de la métrica en E desaparecen.
• Una conexión principal en el haz de marcos ortonormales de E .

Un caso especial de conexión métrica es una conexión de Riemann; Existe una conexión única que no sufre torsión : la conexión Levi-Civita . En este caso , el paquete E es el paquete tangente TM de una variedad, y la métrica de E es inducida por una métrica de Riemann en M.

Otro caso especial de conexión métrica es la conexión de Yang-Mills, que satisface las ecuaciones de movimiento de Yang-Mills . La mayor parte de la maquinaria para definir una conexión y su curvatura se puede realizar sin requerir ninguna compatibilidad con la métrica del paquete. Sin embargo, una vez que se requiere compatibilidad, esta conexión métrica define un producto interno, la estrella de Hodge (que además necesita una elección de orientación) y el laplaciano , que son necesarios para formular las ecuaciones de Yang-Mills.

Definición

Sean cualesquiera secciones locales del paquete de vectores E y sea X un campo vectorial en el espacio base M del paquete. Definamos una métrica de paquete , es decir, una métrica en las fibras vectoriales de E. Entonces, una conexión D sobre E es una conexión métrica si: ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle d\langle \sigma ,\tau \rangle =\langle D\sigma ,\tau \rangle +\langle \sigma ,D\tau \rangle .}$

Aquí d es el diferencial ordinario de una función escalar. La derivada covariante se puede ampliar para que actúe como un mapa en formas diferenciales con valores E en el espacio base:

${\displaystyle D:\Gamma (E)\otimes \Omega ^{p}(M)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{p+1}(M).}$

Se define para una función , y ${\displaystyle D_{X}f=d_{X}f\equiv Xf}$ ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

${\displaystyle D(\sigma \otimes \omega )=D\sigma \wedge \omega +\sigma \otimes d\omega }$

donde es una sección suave local para el paquete de vectores y es una forma p (con valor escalar) . Las definiciones anteriores también se aplican a marcos lisos locales así como a secciones locales. ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M)}$

Emparejamiento métrico versus dual

La métrica del paquete impuesta a E no debe confundirse con el emparejamiento natural de un espacio vectorial y su dual, que es intrínseco a cualquier paquete vectorial. Esta última es una función del conjunto de endomorfismos de modo que ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*},}$

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):E\otimes E^{*}\to M\times \mathbb {R} }$

empareja vectores con vectores duales (funcionales) encima de cada punto de M . Es decir, si hay algún sistema de coordenadas local en E , entonces uno naturalmente obtiene un sistema de coordenadas dual en E * que satisface . ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \{e_{i}^{*}\}}$ ${\displaystyle (e_{i},e_{j}^{*})=\delta _{ij}}$

Por el contrario, la métrica del paquete es una función de ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle E\otimes E,}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E\otimes E\to M\times \mathbb {R} }$

dando un producto interno en cada fibra del espacio vectorial de E . La métrica del paquete permite definir un marco de coordenadas ortonormal mediante la ecuación ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Dado un paquete de vectores, siempre es posible definir una métrica de paquete en él.

Siguiendo la práctica estándar, ^[1] se puede definir una forma de conexión , los símbolos de Christoffel y la curvatura de Riemann sin referencia a la métrica del haz, utilizando únicamente el emparejamiento. Obedecerán a las propiedades de simetría habituales; por ejemplo, el tensor de curvatura será antisimétrico en los dos últimos índices y satisfará la segunda identidad de Bianchi . Sin embargo, para definir la estrella de Hodge , la laplaciana , la primera identidad de Bianchi y el funcional de Yang-Mills, se necesita la métrica del paquete. La estrella de Hodge también necesita una opción de orientación y produce el dual de Hodge de su argumento. ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

Formulario de conexión

Dado un gráfico de paquetes locales , la derivada covariante se puede escribir en la forma

${\displaystyle D=d+A}$

donde A es la conexión uniforme .

Es necesario un poco de maquinaria de notación. Denotemos el espacio de secciones diferenciables en E , denotemos el espacio de p -formas en M y sean los endomorfismos en E . La derivada covariante, como se define aquí, es un mapa ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$ ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*}}$

${\displaystyle D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}(M)}$

Se puede expresar la forma de conexión en términos de los coeficientes de conexión como

${\displaystyle A_{j}{}^{k}\ =\ \Gamma ^{k}{}_{ij}\,dx^{i}.}$

El objetivo de la notación es distinguir los índices j , k , que recorren las n dimensiones de la fibra, del índice i , que recorre el espacio base de m dimensiones. Para el caso de una conexión de Riemann a continuación, el espacio vectorial E se toma como el paquete tangente TM , y n = m .

La notación de A para la forma de conexión proviene de la física , en referencia histórica al campo potencial vectorial del electromagnetismo y la teoría de calibre . En matemáticas, la notación se utiliza a menudo en lugar de A , como en el artículo sobre la forma de conexión ; desafortunadamente, el uso de para la forma de conexión choca con el uso de para denotar una forma alterna genérica en el paquete de vectores. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

simetría sesgada

La conexión es asimétrica en los índices del espacio vectorial (fibra); es decir, para un campo vectorial dado , la matriz es asimétrica; de manera equivalente, es un elemento del álgebra de Lie . ${\displaystyle X\in TM}$ ${\displaystyle A(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}$

Esto se puede ver de la siguiente manera. Sea la fibra n -dimensional, de modo que al paquete E se le pueda dar un marco local ortonormal con i = 1, 2, ..., n . Entonces se tiene, por definición, que , de modo que: ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle de_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle De_{i}=Ae_{i}=A_{i}{}^{j}e_{j}.}$

Además, para cada punto del gráfico de paquetes, el marco local es ortonormal: ${\displaystyle x\in U\subset M}$

${\displaystyle \langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle =\delta _{ij}.}$

De ello se deduce que, para cada vector , que ${\displaystyle X\in T_{x}M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=X\langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle \\&=\langle A(X)e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle +\langle e_{i}(x),A(X)e_{j}(x)\rangle \\&=A_{i}{}^{j}(X)+A_{j}{}^{i}(X)\\\end{aligned}}}$

Es decir, es sesgado-simétrico. ${\displaystyle A=-A^{\text{T}}}$

A esto se llega utilizando explícitamente la métrica del paquete; sin hacer uso de esto, y usando solo el emparejamiento , uno solo puede relacionar la forma de conexión A en E con su dual A ^∗ en E ^∗ , como Esto se deduce de la definición de la conexión dual como ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle A^{*}=-A^{\text{T}}.}$ ${\displaystyle d(\sigma ,\tau ^{*})=(D\sigma ,\tau ^{*})+(\sigma ,D^{*}\tau ^{*}).}$

Curvatura

Hay varias notaciones en uso para la curvatura de una conexión, incluida una moderna que usa F para denotar el tensor de intensidad de campo , una clásica que usa R como tensor de curvatura y la notación clásica para el tensor de curvatura de Riemann , la mayoría de las cuales pueden extenderse naturalmente al caso de haces de vectores. Ninguna de estas definiciones requiere un tensor métrico o una métrica de paquete, y pueden definirse de manera bastante concreta sin hacer referencia a estos. Sin embargo, las definiciones requieren una idea clara de los endomorfismos de E , como se describió anteriormente.

Estilo compacto

La definición más compacta de la curvatura F es definirla como la forma 2 tomando valores en , dados por la cantidad en la que la conexión no es exacta; es decir, como ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)}$

${\displaystyle F=D\circ D}$

que es un elemento de

${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M)\otimes {\mbox{End}}(E),}$

o equivalente,

${\displaystyle F:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{2}(M)}$

Para relacionar esto con otras definiciones y notaciones comunes, veamos una sección sobre E. Insertando en lo anterior y expandiendo, se encuentra ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

${\displaystyle F\sigma =(D\circ D)\sigma =(d+A)\circ (d+A)\sigma =(dA+A\wedge A)\sigma }$

o equivalente, descartando la sección

${\displaystyle F=dA+A\wedge A}$

como una definición concisa.

Estilo de componente

En términos de componentes, sea donde están las bases de coordenadas estándar de una forma en el paquete cotangente T ^* M. Insertando en lo anterior y expandiendo, se obtiene (usando la convención de suma ): ${\displaystyle A=A_{i}dx^{i},}$ ${\displaystyle dx^{i}}$

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{j}}}+[A_{i},A_{j}]\right)dx^{i}\wedge dx^{j}.}$

Tenga en cuenta que para un espacio vectorial de n dimensiones, cada una es una matriz de n × n , cuyos índices se han suprimido, mientras que los índices i y j pasan por 1,..., m , siendo m la dimensión de la variedad subyacente. Ambos índices pueden manifestarse simultáneamente, como se muestra en la siguiente sección. ${\displaystyle A_{i}}$

La notación presentada aquí es la que se usa comúnmente en física; por ejemplo, puede reconocerse inmediatamente como el tensor de intensidad de campo de gluones . Para el caso abeliano, n =1, y el paquete de vectores es unidimensional; el conmutador desaparece y lo anterior puede reconocerse como el tensor electromagnético en notación física más o menos estándar.

estilo de relatividad

Todos los índices pueden hacerse explícitos proporcionando un marco suave , i = 1, ..., n en . Una sección determinada entonces puede escribirse como ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \sigma =\sigma ^{i}e_{i}}$

En este marco local , la forma de conexión se vuelve

${\displaystyle (A_{i}dx^{i})_{j}{}^{k}=\Gamma ^{k}{}_{ij}dx^{i}}$

con ser el símbolo de Christoffel ; nuevamente, el índice i pasa por 1, ..., m (la dimensión de la variedad subyacente M ), mientras que j y k pasan por 1, ..., n , la dimensión de la fibra. Introduciendo y girando la manivela se obtiene ${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F\sigma &={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{jr}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{ir}}{\partial x^{j}}}+\Gamma ^{k}{}_{is}\Gamma ^{s}{}_{jr}-\Gamma ^{k}{}_{js}\Gamma ^{s}{}_{ir}\right)\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\&=R^{k}{}_{rij}\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\\end{aligned}}}$

donde ahora es identificable como el tensor de curvatura de Riemann . Esto está escrito en el estilo comúnmente empleado en muchos libros de texto sobre relatividad general de mediados del siglo XX (con varias excepciones notables, como MTW , que desde el principio impulsaron una notación sin índice). Nuevamente, los índices i y j corren sobre las dimensiones del colector M , mientras que r y k corren sobre la dimensión de las fibras. ${\displaystyle R^{k}{}_{rij}}$

Estilo de paquete tangente

Lo anterior se puede trasladar al estilo de campo vectorial, escribiendo como elementos básicos estándar para el paquete tangente TM . Entonces se define el tensor de curvatura como ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle R\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\sigma =\sigma ^{r}R_{\;rij}^{k}e_{k}}$

de modo que las direcciones espaciales se reabsorben, dando como resultado la notación

${\displaystyle F\sigma =R(\cdot ,\cdot )\sigma }$

Alternativamente, las direcciones espaciales se pueden manifestar, mientras se ocultan los índices, escribiendo las expresiones en términos de campos vectoriales X e Y en TM . En la base estándar, X es

${\displaystyle X=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

y lo mismo para Y . Después de un poco de plug and resoplido , se obtiene

${\displaystyle R(X,Y)\sigma =D_{X}D_{Y}\sigma -D_{Y}D_{X}\sigma -D_{[X,Y]}\sigma }$

dónde

${\displaystyle [X,Y]={\mathcal {L}}_{Y}X}$

es la derivada de Lie del campo vectorial Y con respecto a X .

En resumen, el tensor de curvatura asigna fibras a fibras:

${\displaystyle R(X,Y):\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

de modo que

${\displaystyle R(\cdot ,\cdot ):\Omega ^{2}(M)\otimes \Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

Para ser muy claro, son notaciones alternativas para la misma cosa. Observe que ninguna de las manipulaciones anteriores requirió que se ejecutara la métrica del paquete. También se puede demostrar la segunda identidad de Bianchi. ${\displaystyle F=R(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle DF=0}$

sin tener que hacer ningún uso de la métrica del paquete.

Conexión Yang-Mills

El desarrollo anterior del tensor de curvatura no apeló a la métrica del paquete. Es decir, no necesitaban asumir que D o A eran conexiones métricas: simplemente tener una conexión en un paquete de vectores es suficiente para obtener las formas anteriores. Todas las diferentes variantes de notación se derivan directamente sólo de la consideración de los endomorfismos de las fibras del haz.

La métrica del paquete es necesaria para definir la estrella de Hodge y el dual de Hodge ; Esto es necesario, a su vez, para definir al laplaciano y demostrar que

${\displaystyle D{\star }F=0}$

Cualquier conexión que satisfaga esta identidad se denomina conexión Yang-Mills . Se puede demostrar que esta conexión es un punto crítico de las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas a la acción de Yang-Mills.

${\displaystyle YM_{D}=\int _{M}(F,F){\star }(1)}$

donde está el elemento de volumen , el dual de Hodge de la constante 1. Tenga en cuenta que se requieren tres productos internos diferentes para construir esta acción: la conexión métrica en E , un producto interno en End( E ), equivalente al operador cuadrático de Casimir (el rastro de un par de matrices), y el dual de Hodge. ${\displaystyle {\star }(1)}$

conexión riemanniana

Un caso especial importante de conexión métrica es la conexión de Riemann . Esta es una conexión en el paquete tangente de una variedad pseudo-riemanniana ( M , g ) tal que para todos los campos vectoriales X en M . De manera equivalente, es riemanniano si el transporte paralelo que define conserva la métrica g . ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla _{X}g=0}$ ${\displaystyle \nabla }$

Una conexión dada es riemanniana si y sólo si ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$

para todos los campos vectoriales X , Y y Z en M , donde denota la derivada de la función a lo largo de este campo vectorial . ${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))}$ ${\displaystyle g(Y,Z)}$ ${\displaystyle X}$

La conexión Levi-Civita es la conexión Riemanniana sin torsión en un colector. Es único por el teorema fundamental de la geometría de Riemann . Para cada conexión riemanniana, se puede escribir una conexión Levi-Civita correspondiente (única). La diferencia entre ambos viene dada por el tensor de contorsión .

En notación de componentes, la derivada covariante es compatible con el tensor métrico si ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

${\displaystyle \nabla _{\!c}\,g_{ab}=0.}$

Aunque se pueden definir otras derivadas covariantes, normalmente sólo se considera la compatible con la métrica. Esto se debe a que dadas dos derivadas covariantes, y , existe un tensor para transformar de una a la otra: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla '}$

${\displaystyle \nabla _{a}x_{b}=\nabla _{a}'x_{b}-{C_{ab}}^{c}x_{c}.}$

Si el espacio tampoco está libre de torsión , entonces el tensor es simétrico en sus dos primeros índices. ${\displaystyle {C_{ab}}^{c}}$

Unas palabras sobre notación

Es convencional cambiar la notación y usar el símbolo nabla ∇ en lugar de D en este entorno; en otros aspectos, estos dos son lo mismo. Es decir, ∇ = D de las secciones anteriores.

Asimismo, el producto interno de E se reemplaza por el tensor métrico g de TM . Esto es consistente con el uso histórico, pero también evita confusión: para el caso general de un paquete de vectores E , no se supone que la variedad subyacente M esté dotada de una métrica. El caso especial de variedades con una métrica g en TM además de una métrica de paquete en E conduce a la teoría de Kaluza-Klein . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Ver también

• Paquetes verticales y horizontales.

Referencias

1. Jost, Jürgen (2011), Geometría riemanniana y análisis geométrico (PDF) , Universitext (Sexta ed.), Springer, Heidelberg, doi :10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN 978-3-642-21297-0, señor  2829653.( Tercera edición: ver capítulo 3; Sexta edición: ver capítulo 4. )

• Rodríguez, WA; Fernández, VV; Moya, AM (2005). "Derivadas covariantes compatibles con métricas". arXiv : matemáticas/0501561 .
• Wald, Robert M. (1984), Relatividad General , University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2
• Schmidt, BG (1973). "Condiciones para que una conexión sea una conexión métrica". Comunitario. Matemáticas. Física . 29 (1): 55–59. Código bibliográfico : 1973CMaPh..29...55S. doi :10.1007/bf01661152. hdl : 10338.dmlcz/127117 . S2CID  121543450.