Teorema fundamental de la geometría de Riemann

Existencia única de la conexión Levi-Civita

En el campo matemático de la geometría de Riemann , el teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que en cualquier variedad de Riemann (o variedad pseudo-riemanniana ) existe una conexión afín única que está libre de torsión y es compatible con la métrica, llamada conexión de Levi-Civita o Conexión (pseudo-) Riemanniana de la métrica dada. Debido a que está definida canónicamente por tales propiedades, a menudo esta conexión se usa automáticamente cuando se le proporciona una métrica.

Declaración del teorema

Teorema fundamental de la geometría riemanniana. ^[1] Sea ( M , g ) una variedad de Riemann (o variedad pseudo-riemanniana ). Entonces existe una conexión única ∇ que satisface las siguientes condiciones:

• para cualquier campo vectorial X , Y y Z tenemos
  $${\displaystyle X{\big (}g(Y,Z){\big )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z),}$$
  donde X ( g ( Y , Z ) ) denota la derivada de la función g ( Y , Z ) a lo largo del campo vectorial X .
• para cualquier campo vectorial X , Y ,
  $${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}$$
  donde [ X , Y ] denota el corchete de Lie de X e Y .

La primera condición se llama compatibilidad métrica de ∇ . ^[2] Puede expresarse de manera equivalente diciendo que, dada cualquier curva en M , el producto interno de dos campos vectoriales ∇ paralelos cualesquiera a lo largo de la curva es constante. ^[3] También se puede expresar de manera equivalente diciendo que el tensor métrico se conserva mediante transporte paralelo , es decir, que la métrica es paralela cuando se considera la extensión natural de ∇ para actuar sobre campos tensoriales (0,2): ∇ gramo = 0 . ^[4] Es además equivalente a requerir que la conexión sea inducida por una conexión de haz principal en el haz de marco ortonormal . ^[5]

La segunda condición a veces se llama simetría de ∇ . ^[6] Expresa la condición de que la torsión de ∇ sea cero y, como tal, también se denomina libertad de torsión . ^[7] Existen caracterizaciones alternativas. ^[8]

Una extensión del teorema fundamental establece que dada una variedad pseudo-riemanniana hay una conexión única que preserva el tensor métrico , con cualquier forma 2 con valor vectorial dada como su torsión. La diferencia entre una conexión arbitraria (con torsión) y la correspondiente conexión de Levi-Civita es el tensor de contorsión .

El teorema fundamental afirma tanto la existencia como la unicidad de una determinada conexión, que se denomina conexión Levi-Civita o conexión (pseudo) Riemann . Sin embargo, el resultado de la existencia es extremadamente directo, ya que la conexión en cuestión puede definirse explícitamente mediante la segunda identidad de Christoffel o la fórmula de Koszul como se obtiene en las pruebas siguientes. Esta definición explícita expresa la conexión Levi-Civita en términos de la métrica y sus primeras derivadas. Como tal, si la métrica es k -veces continuamente diferenciable, entonces la conexión Levi-Civita es ( k − 1) -veces continuamente diferenciable. ^[9]

La conexión Levi-Civita también se puede caracterizar de otras formas, por ejemplo mediante la variación Palatini de la acción de Einstein-Hilbert .

Prueba del teorema

La demostración del teorema se puede presentar de varias formas. ^[10] Aquí la prueba se da primero en el lenguaje de coordenadas y símbolos de Christoffel , y luego en el lenguaje libre de coordenadas de derivadas covariantes . Independientemente de la presentación, la idea es utilizar las condiciones de compatibilidad métrica y de libertad de torsión para obtener una fórmula directa para cualquier conexión que sea compatible con el sistema métrico y libre de torsión. Esto establece la afirmación de unicidad en el teorema fundamental. Para establecer la afirmación de existencia, se debe comprobar directamente que la fórmula obtenida define una conexión como se desea.

Coordenadas locales

Aquí se utilizará la convención de suma de Einstein , es decir, un índice repetido como subíndice y superíndice se suma para todos los valores. Sea m la dimensión de M . Recuerde que, en relación con un gráfico local, una conexión está dada por m ³ funciones suaves

$${\displaystyle \left\{\Gamma _{ij}^{l}\right\},}$$

$${\displaystyle (\nabla _{X}Y)^{i}=X^{j}\partial _{j}Y^{i}+X^{j}Y^{k}\Gamma _{jk}^{i}}$$

XY^[11]∇ _X Y − ∇ _Y X = [ X , Y ] para XY

$${\displaystyle 0=X^{j}Y^{k}(\Gamma _{jk}^{i}-\Gamma _{kj}^{i}),}$$

XYΓ^lo
_hago= Γ^yo
_kj^[12][13]

$${\displaystyle \partial _{k}g_{ij}=\Gamma _{ki}^{l}g_{lj}+\Gamma _{kj}^{l}g_{il}.}$$

^[14]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}&=\left(\Gamma _{ij}^{p}g_{pl}+\Gamma _{il}^{p}g_{jp}\right)+\left(\Gamma _{ji}^{p}g_{pl}+\Gamma _{jl}^{p}g_{ip}\right)-\left(\Gamma _{li}^{p}g_{pj}+\Gamma _{lj}^{p}g_{ip}\right)\\&=2\Gamma _{ij}^{p}g_{pl}\end{aligned}}}$$

primera identidad de Christoffel^[15]g ^klsegunda identidad de Christoffel^[16]

$${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right).}$$

Formulación invariante

La prueba anterior también se puede expresar en términos de campos vectoriales. ^[17] La ​​libertad de torsión se refiere a la condición de que

$${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}$$

$${\displaystyle X\left(g(Y,Z)\right)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z),}$$

XYZ

$${\displaystyle {\begin{aligned}X\left(g(Y,Z)\right)&+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)\\&={\Big (}g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z){\Big )}+{\Big (}g(\nabla _{Y}X,Z)+g(X,\nabla _{Y}Z){\Big )}-{\Big (}g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y){\Big )}\\&=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)\\&=g(2\nabla _{X}Y+[Y,X],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X).\end{aligned}}}$$

XYZfórmulaidentidad de Koszul.

$${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=X\left(g(Y,Z)\right)+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)-g([Y,X],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X).}$$

g ( W , Z )g ( U , Z ) para ZWU.no degeneracióng ^kl∇ _X YXY^[18]

Notas

1. do Carmo 1992, Teorema 2.3.6; Helgason 2001, Teorema I.9.1; Jost 2017, Teorema 4.3.1; Kobayashi y Nomizu 1963, Teorema IV.2.2; Milnor 1963, Lema 8.6; O'Neill 1983, Teorema 3.11; Petersen 2016, Teorema 2.2.2; Wald 1984, Teorema 3.1.1.
2. Jost 2017, Definición 4.2.1.
3. do Carmo 1992, págs.53-54; Milnor 1963, págs. 47-48.
4. Petersen 2016, Proposición 2.2.5; Wald 1984, pág.35.
5. Kobayashi y Nomizu 1963, Proposición IV.2.1.
6. do Carmo 1992, p.54; Milnor 1963, Definición 8.5.
7. Hawking y Ellis 1973, p.34; Helgason 2001, p.43; Jost 2017, Definición 4.1.7.
8. Wald 1984, sección 3.1.
9. Hawking y Ellis 1973, p.41.
10. Véanse, por ejemplo, las páginas 54-55 de Petersen (2016) o las páginas 158-159 de Kobayashi & Nomizu (1963) para presentaciones que difieren de las que se dan aquí.
11. Petersen 2016, p.66.
12. Jost 2017, Lema 4.1.1; Kobayashi y Nomizu 1963, Proposición III.7.6; Milnor 1963, pág.48.
13. Milnor 1963, pág.48.
14. Wald 1984, p.35.
15. Milnor 1963, pág.49.
16. Milnor 1963, pág.49; Wald 1984, pág.36.
17. do Carmo 1992, p.55; Hawking y Ellis 1973, p.40; Helgason 2001, p.48; Jost 2017, p.194; Kobayashi y Nomizu 1963, p.160; O'Neill 1983, p.61.
18. Jost 2017, p.194; O'Neill 1983, p.61.

Referencias

• do Carmo, Manfredo Perdigão (1992). Geometría riemanniana . Matemáticas: teoría y aplicaciones. Traducido de la segunda edición portuguesa por Francis Flaherty. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3490-8. SEÑOR  1138207. Zbl  0752.53001.
• Hawking, suroeste ; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Monografías de Cambridge sobre física matemática. vol. 1. Londres-Nueva York: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511524646 . ISBN 9780521099066. SEÑOR  0424186. Zbl  0265.53054.
• Helgason, Sigurdur (2001). Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 34 (Reimpresión corregida de la edición original de 1978). Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas . doi :10.1090/gsm/034. ISBN 0-8218-2848-7. SEÑOR  1834454. Zbl  0993.53002.
• Jost, Jürgen (2017). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Universitext (Séptima edición de 1995 ed. original). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3. SEÑOR  3726907. Zbl  1380.53001.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fundamentos de la geometría diferencial. Vol I. Nueva York – Londres: John Wiley & Sons, Inc. MR  0152974. Zbl  0119.37502.
• Milnor, J. (1963). Teoría de Morse . Anales de estudios de matemáticas. vol. 51. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . Señor  0163331. Zbl  0108.10401.
• O'Neill, Barrett (1983). Geometría semiriemanniana. Con aplicaciones a la relatividad . Matemática Pura y Aplicada. vol. 103. Nueva York: Academic Press, Inc. doi :10.1016/s0079-8169(08)x6002-7. ISBN 0-12-526740-1. SEÑOR  0719023. Zbl  0531.53051.
• Petersen, Peter (2016). Geometría riemanniana . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 171 (Tercera edición de la edición original de 1998). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. SEÑOR  3469435. Zbl  1417.53001.
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago, IL: Prensa de la Universidad de Chicago . ISBN 0-226-87032-4. Señor  0757180. Zbl  0549.53001.