El álgebra conmutativa , conocida inicialmente como teoría de ideales , es la rama del álgebra que estudia los anillos conmutativos , sus ideales y los módulos sobre dichos anillos. Tanto la geometría algebraica como la teoría algebraica de números se basan en el álgebra conmutativa. Entre los ejemplos destacados de anillos conmutativos se incluyen los anillos polinómicos ; los anillos de números enteros algebraicos , incluidos los números enteros ordinarios ; y los números enteros p -ádicos . [1]
El álgebra conmutativa es la principal herramienta técnica de la geometría algebraica , y muchos resultados y conceptos del álgebra conmutativa están fuertemente relacionados con conceptos geométricos.
El estudio de los anillos que no son necesariamente conmutativos se conoce como álgebra no conmutativa ; incluye la teoría de anillos , la teoría de la representación y la teoría de las álgebras de Banach .
El álgebra conmutativa es esencialmente el estudio de los anillos que aparecen en la teoría de números algebraicos y la geometría algebraica .
Se han desarrollado varios conceptos de álgebras conmutativas en relación con la teoría de números algebraicos, como los anillos de Dedekind (la clase principal de anillos conmutativos que aparecen en la teoría de números algebraicos), las extensiones integrales y los anillos de valoración .
Los anillos polinómicos en varios indeterminados sobre un cuerpo son ejemplos de anillos conmutativos. Dado que la geometría algebraica es fundamentalmente el estudio de los ceros comunes de estos anillos, muchos resultados y conceptos de la geometría algebraica tienen contrapartidas en el álgebra conmutativa, y sus nombres recuerdan a menudo su origen geométrico; por ejemplo, " dimensión de Krull ", " localización de un anillo ", " anillo local ", " anillo regular ".
Una variedad algebraica afín corresponde a un ideal primo en un anillo polinómico, y los puntos de dicha variedad afín corresponden a los ideales maximales que contienen a este ideal primo. La topología de Zariski , definida originalmente sobre una variedad algebraica, se ha extendido a los conjuntos de los ideales primos de cualquier anillo conmutativo; para esta topología, los conjuntos cerrados son los conjuntos de ideales primos que contienen a un ideal dado.
El espectro de un anillo es un espacio anillado formado por los ideales primos dotados de la topología de Zariski y las localizaciones del anillo en los conjuntos abiertos de una base de esta topología. Éste es el punto de partida de la teoría de esquemas , una generalización de la geometría algebraica introducida por Grothendieck , que se basa fuertemente en el álgebra conmutativa y ha inducido, a su vez, muchos desarrollos del álgebra conmutativa.
El tema, conocido primero como teoría ideal , comenzó con el trabajo de Richard Dedekind sobre ideales , basado a su vez en el trabajo anterior de Ernst Kummer y Leopold Kronecker . Más tarde, David Hilbert introdujo el término anillo para generalizar el término anterior anillo de números . Hilbert introdujo un enfoque más abstracto para reemplazar los métodos más concretos y orientados a la computación basados en cosas como el análisis complejo y la teoría clásica de invariantes . A su vez, Hilbert influyó fuertemente en Emmy Noether , quien reformuló muchos resultados anteriores en términos de una condición de cadena ascendente , ahora conocida como la condición noetheriana. Otro hito importante fue el trabajo del estudiante de Hilbert, Emanuel Lasker , quien introdujo los ideales primarios y demostró la primera versión del teorema de Lasker-Noether .
La principal figura responsable del nacimiento del álgebra conmutativa como materia madura fue Wolfgang Krull , quien introdujo las nociones fundamentales de localización y completitud de un anillo, así como la de anillos locales regulares . Estableció el concepto de dimensión de Krull de un anillo, primero para los anillos noetherianos antes de pasar a expandir su teoría para cubrir los anillos de valoración general y los anillos de Krull . Hasta el día de hoy, el teorema del ideal principal de Krull es ampliamente considerado como el teorema fundacional más importante del álgebra conmutativa. Estos resultados allanaron el camino para la introducción del álgebra conmutativa en la geometría algebraica, una idea que revolucionaría esta última materia.
Gran parte del desarrollo moderno del álgebra conmutativa hace hincapié en los módulos . Tanto los ideales de un anillo R como las R -álgebras son casos especiales de R -módulos, por lo que la teoría de módulos abarca tanto la teoría de ideales como la teoría de extensiones de anillos . Aunque ya era incipiente en el trabajo de Kronecker , el enfoque moderno del álgebra conmutativa que utiliza la teoría de módulos suele atribuirse a Krull y Noether .
Un anillo noetheriano , llamado así en honor a Emmy Noether , es un anillo en el que cada ideal se genera finitamente ; es decir, todos los elementos de cualquier ideal pueden escribirse como combinaciones lineales de un conjunto finito de elementos, con coeficientes en el anillo.
Muchos anillos conmutativos considerados comúnmente son noetherianos, en particular, cada cuerpo , el anillo del entero y cada anillo polinómico en uno o varios indeterminados sobre ellos. El hecho de que los anillos polinómicos sobre un cuerpo sean noetherianos se denomina teorema de la base de Hilbert .
Además, muchas construcciones de anillos conservan la propiedad noetheriana. En particular, si un anillo conmutativo R es noetheriano, lo mismo es cierto para cada anillo polinómico sobre él, y para cada anillo cociente , localización o completitud del anillo.
La importancia de la propiedad noetheriana radica en su ubicuidad y también en el hecho de que muchos teoremas importantes del álgebra conmutativa requieren que los anillos involucrados sean noetherianos. Este es el caso, en particular, del teorema de Lasker-Noether , el teorema de intersección de Krull y el lema de Nakayama .
Además, si un anillo es noetheriano, entonces satisface la condición de cadena descendente en ideales primos , lo que implica que cada anillo local noetheriano tiene una dimensión de Krull finita .
Se dice que un ideal Q de un anillo es primario si Q es propio y siempre que xy ∈ Q , o bien x ∈ Q o bien y n ∈ Q para algún entero positivo n . En Z , los ideales primarios son precisamente los ideales de la forma ( p e ) donde p es primo y e es un entero positivo. Por lo tanto, una descomposición primaria de ( n ) corresponde a representar ( n ) como la intersección de un número finito de ideales primarios.
El teorema de Lasker-Noether , expuesto aquí, puede considerarse como una cierta generalización del teorema fundamental de la aritmética:
Teorema de Lasker-Noether : Sea R un anillo noetheriano conmutativo y sea I un ideal de R. Entonces, I puede escribirse como la intersección de un número finito de ideales primarios con radicales distintos ; es decir:
con Q i primario para todo i y Rad( Q i ) ≠ Rad( Q j ) para i ≠ j . Además, si:
es la descomposición de I con Rad( P i ) ≠ Rad( P j ) para i ≠ j , y ambas descomposiciones de I son irredundantes (lo que significa que ningún subconjunto propio de { Q 1 , ..., Q t } o { P 1 , ..., P k } produce una intersección igual a I ), t = k y (después de posiblemente renumerar Q i ) Rad( Q i ) = Rad( P i ) para todo i .
Para cualquier descomposición primaria de I , el conjunto de todos los radicales, es decir, el conjunto {Rad( Q 1 ), ..., Rad( Q t )} permanece igual por el teorema de Lasker-Noether. De hecho, resulta que (para un anillo noetheriano) el conjunto es precisamente el asesino del módulo R / I ; es decir, el conjunto de todos los aniquiladores de R / I (visto como un módulo sobre R ) que son primos.
La localización es una forma formal de introducir los "denominadores" a un anillo o módulo dado. Es decir, introduce un nuevo anillo/módulo a partir de uno ya existente de forma que esté formado por fracciones.
donde los denominadores s varían en un subconjunto dado S de R . El ejemplo arquetípico es la construcción del anillo Q de números racionales a partir del anillo Z de números enteros.
Una completitud es cualquiera de varios funtores relacionados en anillos y módulos que dan como resultado anillos y módulos topológicos completos . La completitud es similar a la localización y, en conjunto, se encuentran entre las herramientas más básicas para analizar anillos conmutativos . Los anillos conmutativos completos tienen una estructura más simple que los generales y el lema de Hensel se aplica a ellos.
La topología de Zariski define una topología en el espectro de un anillo (el conjunto de ideales primos). [2] En esta formulación, los conjuntos cerrados de Zariski se toman como los conjuntos
donde A es un anillo conmutativo fijo e I es un ideal. Esto se define en analogía con la topología clásica de Zariski, donde los conjuntos cerrados en el espacio afín son aquellos definidos por ecuaciones polinómicas. Para ver la conexión con la imagen clásica, note que para cualquier conjunto S de polinomios (sobre un cuerpo algebraicamente cerrado), se sigue del Nullstellensatz de Hilbert que los puntos de V ( S ) (en el sentido antiguo) son exactamente las tuplas ( a 1 , ..., a n ) tales que el ideal ( x 1 - a 1 , ..., x n - a n ) contiene a S ; además, estos son ideales maximales y por el Nullstellensatz "débil", un ideal de cualquier anillo de coordenadas afines es maximal si y solo si es de esta forma. Por lo tanto, V ( S ) es "lo mismo que" los ideales maximales que contienen a S . La innovación de Grothendieck al definir Spec fue reemplazar los ideales máximos con todos los ideales primos; en esta formulación es natural simplemente generalizar esta observación a la definición de un conjunto cerrado en el espectro de un anillo.
El álgebra conmutativa (en forma de anillos polinómicos y sus cocientes, utilizados en la definición de variedades algebraicas ) siempre ha sido parte de la geometría algebraica . Sin embargo, a fines de la década de 1950, las variedades algebraicas se subsumieron en el concepto de esquema de Alexander Grothendieck . Sus objetos locales son esquemas afines o espectros primos, que son espacios anillados localmente, que forman una categoría que es antiequivalente (dual) a la categoría de anillos unitarios conmutativos, extendiendo la dualidad entre la categoría de variedades algebraicas afines sobre un cuerpo k , y la categoría de k -álgebras reducidas generadas finitamente . El pegado se realiza a lo largo de la topología de Zariski; uno puede pegar dentro de la categoría de espacios anillados localmente, pero también, utilizando la incrustación de Yoneda, dentro de la categoría más abstracta de prehaces de conjuntos sobre la categoría de esquemas afines. La topología de Zariski en el sentido de la teoría de conjuntos se reemplaza entonces por una topología de Zariski en el sentido de la topología de Grothendieck . Grothendieck introdujo las topologías de Grothendieck teniendo en mente ejemplos más exóticos pero geométricamente más finos y sensibles que la topología de Zariski cruda, a saber, la topología étale y las dos topologías planas de Grothendieck: fppf y fpqc. Hoy en día, algunos otros ejemplos se han vuelto prominentes, incluida la topología de Nisnevich . Además, las haces se pueden generalizar a pilas en el sentido de Grothendieck, generalmente con algunas condiciones de representabilidad adicionales, lo que lleva a pilas de Artin e, incluso más finas, pilas de Deligne-Mumford , ambas a menudo llamadas pilas algebraicas.
