El álgebra conmutativa combinatoria es una disciplina matemática relativamente nueva y de rápido desarrollo . Como su nombre lo indica, se encuentra en la intersección de dos campos más establecidos, el álgebra conmutativa y la combinatoria , y con frecuencia utiliza métodos de uno para abordar problemas que surgen en el otro. De manera menos obvia, la geometría poliédrica juega un papel importante.
Uno de los hitos en el desarrollo del tema fue la prueba de Richard Stanley de 1975 de la conjetura del límite superior para esferas simpliciales , que se basó en trabajos anteriores de Melvin Hochster y Gerald Reisner. Si bien el problema puede formularse puramente en términos geométricos, los métodos de demostración se basaron en técnicas de álgebra conmutativa.
Un teorema característico del álgebra conmutativa combinatoria es la caracterización de h -vectores de politopos simpliciales conjeturada en 1970 por Peter McMullen . Conocido como teorema g , fue demostrado en 1979 por Stanley ( necesidad de las condiciones, argumento algebraico) y por Louis Billera y Carl W. Lee ( suficiencia , construcción combinatoria y geométrica). Una importante pregunta abierta fue la extensión de esta caracterización de politopos simpliciales a esferas simpliciales, la conjetura g , que fue resuelta en 2018 por Karim Adiprasito .
Nociones importantes del álgebra conmutativa combinatoria.
Ver también
Referencias
Un artículo fundamental sobre los complejos de Stanley-Reisner escrito por uno de los pioneros de la teoría:
- Hochster, Melvin (1977). "Anillos de Cohen-Macaulay, combinatoria y complejos simpliciales". Teoría del anillo II: Actas de la Segunda Conferencia de Oklahoma . Apuntes de clases de matemática pura y aplicada. vol. 26. Dekker. págs. 171-223. ISBN 0-8247-6575-3. OCLC 610144046. Zbl 0351.13009.
El primer libro es un clásico (primera edición publicada en 1983):
- Stanley, Richard (1996). Combinatoria y álgebra conmutativa. Progreso en Matemáticas. vol. 41 (2ª ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-3836-9. Zbl 0838.13008.
Libro de texto-monografía muy influyente y bien escrito:
- Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993). Anillos de Cohen-Macaulay . vol. 39. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41068-1. OCLC 802912314. Zbl 0788.13005.
Lectura adicional:
- Villarreal, Rafael H. (2001). Álgebras monomiales. Monografías y Libros de Texto en Matemática Pura y Aplicada. vol. 238. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0524-6. Zbl 1002.13010.
- Hibi, Takayuki (1992). Combinatoria algebraica sobre politopos convexos . Glebe, Australia: Publicaciones Carslaw. ISBN 1875399046. OCLC 29023080.
- Sturmfels, Bernd (1996). Bases de Gröbner y politopos convexos. Ciclo de conferencias universitarias. vol. 8. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0487-1. OCLC 907364245. Zbl 0856.13020.
- Bruns, Winfried; Gubeladze, José (2009). Politopos, anillos y teoría K. Monografías de Springer en Matemáticas. Saltador. doi :10.1007/b105283. ISBN 978-0-387-76355-2. Zbl 1168.13001.
Una adición reciente a la creciente literatura en el campo contiene una exposición de temas de investigación actuales:
- Molinero, Esdras; Sturmfels, Bernd (2005). Álgebra conmutativa combinatoria. Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 227. Saltador. ISBN 0-387-22356-8. Zbl 1066.13001.
- Herzog, Jürgen; Hibi, Takayuki (2011). Ideales monomios. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 260. Saltador. ISBN 978-0-85729-106-6. Zbl 1206.13001.
