Homomorfismo de Chern-Weil

En matemáticas , el homomorfismo de Chern-Weil es una construcción básica en la teoría de Chern-Weil que calcula invariantes topológicos de haces de vectores y haces principales en una variedad suave M en términos de conexiones y curvatura que representan clases en los anillos de cohomología de De Rham de M. Es decir, la teoría forma un puente entre las áreas de topología algebraica y geometría diferencial . Fue desarrollado a finales de la década de 1940 por Shiing-Shen Chern y André Weil , a raíz de las demostraciones del teorema generalizado de Gauss-Bonnet . Esta teoría fue un paso importante en la teoría de las clases características .

Sea G un grupo de Lie real o complejo con álgebra de Lie y denotemos el álgebra de polinomios valorados en (exactamente el mismo argumento funciona si usamos en lugar de ). Sea la subálgebra de puntos fijos bajo la acción adjunta de G ; es decir, la subálgebra que consta de todos los polinomios f tales que , para todo g en G y x en , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Dado un paquete G principal P en M , existe un homomorfismo asociado de -álgebras, ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$,

llamado homomorfismo de Chern-Weil , donde en la cohomología de la derecha está la cohomología de De Rham . Este homomorfismo se obtiene tomando polinomios invariantes en la curvatura de cualquier conexión en el paquete dado. Si G es compacto o semisimple, entonces el anillo de cohomología del espacio de clasificación para G -paquetes, es isomorfo al álgebra de polinomios invariantes: ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$

${\displaystyle H^{*}(BG;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}.}$

(El anillo de cohomología de BG todavía se puede dar en el sentido de De Rham:

${\displaystyle H^{k}(BG;\mathbb {C} )=\varinjlim \operatorname {ker} (d\colon \Omega ^{k}(B_{j}G)\to \Omega ^{k+1}(B_{j}G))/\operatorname {im} d.}$

cuando y son múltiples.) ${\displaystyle BG=\varinjlim B_{j}G}$ ${\displaystyle B_{j}G}$

Definición del homomorfismo

Elija cualquier forma de conexión ω en P y sea Ω la forma de curvatura asociada ; es decir , la derivada covariante exterior de ω. Si es una función polinómica homogénea de grado  k ; es decir, para cualquier número complejo a y x en , entonces, considerando f como un funcional multilineal simétrico en (ver el anillo de funciones polinomiales ), sea ${\displaystyle \Omega =D\omega }$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$ ${\displaystyle f(ax)=a^{k}f(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle f(\Omega )}$

ser la forma 2 k (con valor escalar) en P dada por

${\displaystyle f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)}))}$

donde v _i son vectores tangentes a P , es el signo de la permutación en el grupo simétrico en 2 k números (ver Formas valoradas en álgebra de Lie#Operaciones así como Pfaffian ). ${\displaystyle \epsilon _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}}$

Si, además, f es invariante; es decir, entonces se puede demostrar que es una forma cerrada , que desciende a una forma única en M y que la clase de cohomología de De Rham de la forma es independiente de . Primero, que es una forma cerrada se desprende de los dos lemas siguientes: ^[1] ${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$ ${\displaystyle f(\Omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f(\Omega )}$

Lema 1: La forma en P desciende a una forma (única) en M ; es decir, hay una forma en M que retrocede hasta . ${\displaystyle f(\Omega )}$ ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$ ${\displaystyle f(\Omega )}$

Lema 2: Si una forma de en P desciende a una forma en M , entonces . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle d\varphi =D\varphi }$

De hecho, la segunda identidad de Bianchi dice y, dado que D es una derivación graduada, Finalmente, el Lema 1 dice que satisface la hipótesis del Lema 2. ${\displaystyle D\Omega =0}$ ${\displaystyle Df(\Omega )=0.}$ ${\displaystyle f(\Omega )}$

Para ver el Lema 2, sea la proyección y h la proyección de sobre el subespacio horizontal. Entonces el Lema 2 es una consecuencia del hecho de que (el núcleo de es precisamente el subespacio vertical). En cuanto al Lema 1, primera nota ${\displaystyle \pi \colon P\to M}$ ${\displaystyle T_{u}P}$ ${\displaystyle d\pi (hv)=d\pi (v)}$ ${\displaystyle d\pi }$

${\displaystyle f(\Omega )(dR_{g}(v_{1}),\dots ,dR_{g}(v_{2k}))=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),\,R_{g}(u)=ug;}$

lo cual se debe a que yf es invariante. Así, se puede definir mediante la fórmula: ${\displaystyle R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega }$ ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$

${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )({\overline {v_{1}}},\dots ,{\overline {v_{2k}}})=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),}$

¿ Dónde hay ascensores de : . ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle {\overline {v_{i}}}}$ ${\displaystyle d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}}$

A continuación, mostramos que la clase de cohomología de De Rham en M es independiente de la elección de la conexión. ^[2] Sean formas de conexión arbitrarias en P y sea la proyección. Poner ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$ ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}}$ ${\displaystyle p\colon P\times \mathbb {R} \to P}$

${\displaystyle \omega '=t\,p^{*}\omega _{1}+(1-t)\,p^{*}\omega _{0}}$

donde t es una función suave dada por . Sean las formas de curvatura de . Sean las inclusiones. Entonces es homotópico de . Por lo tanto, y pertenecen a la misma clase de cohomología de De Rham por la invariancia de homotopía de la cohomología de De Rham . Finalmente, por naturalidad y por singularidad de la descendencia, ${\displaystyle P\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x,s)\mapsto s}$ ${\displaystyle \Omega ',\Omega _{0},\Omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega ',\omega _{0},\omega _{1}}$ ${\displaystyle i_{s}:M\to M\times \mathbb {R} ,\,x\mapsto (x,s)}$ ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$ ${\displaystyle i_{1}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$

${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')={\overline {f}}(\Omega _{0})}$

y lo mismo para . Por tanto, pertenecen a la misma clase de cohomología. ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})}$

La construcción da así el mapa lineal: (cf. Lema 1)

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}^{G}\to H^{2k}(M;\mathbb {C} ),\,f\mapsto \left[{\overline {f}}(\Omega )\right].}$

De hecho, se puede comprobar que el mapa así obtenido:

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$

es un homomorfismo de álgebra .

Ejemplo: clases de Chern y carácter de Chern

Let y su álgebra de Lie. Para cada x en , podemos considerar su polinomio característico en t : ^[3] ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \det \left(I-t{x \over 2\pi i}\right)=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)t^{k},}$

donde i es la raíz cuadrada de -1. Entonces son polinomios invariantes en , ya que el lado izquierdo de la ecuación es. La k -ésima clase de Chern de un paquete suave de vectores complejos E de rango n en una variedad M : ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle c_{k}(E)\in H^{2k}(M,\mathbb {Z} )}$

se da como la imagen de bajo el homomorfismo de Chern-Weil definido por E (o más precisamente, el conjunto de marcos de E ). Si t = 1, entonces es un polinomio invariante. La clase Chern total de E es la imagen de este polinomio; eso es, ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle \det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)}$

${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E).}$

Directamente a partir de la definición, se puede demostrar que yc dados anteriormente satisfacen los axiomas de las clases de Chern. Por ejemplo, para la fórmula de la suma de Whitney, consideramos ${\displaystyle c_{j}}$

${\displaystyle c_{t}(E)=[\det \left(I-t{\Omega /2\pi i}\right)],}$

donde escribimos para la forma de curvatura 2 en M del paquete de vectores E (por lo que es el descendiente de la forma de curvatura en el paquete de marcos de E ). El homomorfismo de Chern-Weil es el mismo si se usa esto . Ahora, supongamos que E es una suma directa de paquetes de vectores y la forma de curvatura de de modo que, en el término matricial, es la matriz diagonal de bloque con Ω _I en la diagonal. Entonces, desde , tenemos: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \Omega _{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\textstyle \det(I-t{\frac {\Omega }{2\pi i}})=\det(I-t{\frac {\Omega _{1}}{2\pi i}})\wedge \dots \wedge \det(I-t{\frac {\Omega _{m}}{2\pi i}})}$

${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E_{1})\cdots c_{t}(E_{m})}$

donde a la derecha la multiplicación es la de un anillo de cohomología: producto de taza . Para la propiedad de normalización, se calcula la primera clase Chern de la línea proyectiva compleja ; ver clase Chern#Ejemplo: el paquete tangente complejo de la esfera de Riemann .

Desde , ^[4] también tenemos: ${\displaystyle \Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}}$

${\displaystyle c_{1}(E\otimes E')=c_{1}(E)\operatorname {rank} (E')+\operatorname {rank} (E)c_{1}(E').}$

Finalmente, el carácter Chern de E viene dado por

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=[\operatorname {tr} (e^{-\Omega /2\pi i})]\in H^{*}(M,\mathbb {Q} )}$

donde está la forma de curvatura de alguna conexión en E (dado que es nilpotente, es un polinomio en ). Entonces ch es un homomorfismo de anillo : ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \operatorname {ch} (E\oplus F)=\operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F),\,\operatorname {ch} (E\otimes F)=\operatorname {ch} (E)\operatorname {ch} (F).}$

Ahora supongamos que, en algún anillo R que contiene el anillo de cohomología , existe la factorización del polinomio en t : ${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle c_{t}(E)=\prod _{j=0}^{n}(1+\lambda _{j}t)}$

donde están en R (a veces se les llama raíces de Chern). Entonces . ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}}$

Ejemplo: clases de Pontrjagin

Si E es un paquete de vectores reales suaves en una variedad M , entonces la k -ésima clase Pontrjagin de E viene dada como:

${\displaystyle p_{k}(E)=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M;\mathbb {Z} )}$

donde escribimos para la complejización de E . De manera equivalente, es la imagen bajo el homomorfismo de Chern-Weil del polinomio invariante dado por: ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g_{2k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {det} \left(I-t{x \over 2\pi }\right)=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)t^{k}.}$

El homomorfismo para paquetes de vectores holomorfos.

Sea E un paquete de vectores holomorfos (complejos) en una variedad compleja M. La forma de curvatura de E , con respecto a alguna métrica hermitiana, no es solo una forma 2, sino que de hecho es una forma (1, 1) (ver paquete de vectores holomorfos # Métricas hermitianas en un paquete de vectores holomorfos ). Por tanto, el homomorfismo de Chern-Weil asume la forma: con , ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}\to H^{k,k}(M;\mathbb {C} ),f\mapsto [f(\Omega )].}$

Notas

1. Kobayashi y Nomizu 1969, cap. XII.
2. El argumento a favor de la independencia de una elección de conexión aquí está tomado de: Akhil Mathew, Notas sobre la desaparición de Kodaira "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de diciembre de 2014 . Consultado el 11 de diciembre de 2014 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link). Kobayashi-Nomizu, el principal referente, da un argumento más concreto.
3. Nota editorial: esta definición es consistente con la referencia excepto que tenemos t , que es t ⁻¹ allí. Nuestra elección parece más estándar y es coherente con nuestro artículo " Clase Chern ".
4. Prueba: por definición ,. Ahora calcula el cuadrado usando la regla de Leibniz. ${\displaystyle \nabla ^{E\otimes E'}(s\otimes s')=\nabla ^{E}s\otimes s'+s\otimes \nabla ^{E'}s'}$ ${\displaystyle \nabla ^{E\otimes E'}}$

Referencias

• Bott, Raoul (1973), "Sobre el homomorfismo de Chern-Weil y la cohomología continua de los grupos de Lie", Avances en Matemáticas , 11 (3): 289–303, doi : 10.1016/0001-8708(73)90012-1.
• Chern, Shiing-Shen (1951), Temas de geometría diferencial , Instituto de estudios avanzados, notas de conferencias mimeografiadas.
• Chern, Shiing-Shen (1995), Colectores complejos sin teoría potencial , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0 . (El apéndice de este libro, "Geometría de clases características", es una introducción muy clara y profunda al desarrollo de las ideas de clases características). 
• Chern, Shiing-Shen ; Simons, James (1974), "Formas características e invariantes geométricas", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 99 (1): 48–69, doi :10.2307/1971013, JSTOR  1971013.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1969), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 2 (nueva ed.), Wiley-Interscience (publicado en 2004), MR  0152974.
• Narasimhan, MS ; Ramanan, S. (1961), "Existencia de conexiones universales" (PDF) , American Journal of Mathematics , 83 (3): 563–572, doi :10.2307/2372896, hdl : 10338.dmlcz/700905 , JSTOR  2372896, MR  0133772.
• Morita, Shigeyuki (2000), "Geometría de formas diferenciales", Traducciones de monografías matemáticas , 201 , MR  1851352.

Otras lecturas

• Liberado, Daniel S .; Hopkins, Michael J. (2013). "Formas de Chern-Weil y teoría abstracta de la homotopía". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . (NS). 50 (3): 431–468. arXiv : 1301.5959 . doi :10.1090/S0273-0979-2013-01415-0. SEÑOR  3049871. S2CID  51755613.