clase negra

Clases características de paquetes de vectores.

En matemáticas , en particular en topología algebraica , geometría diferencial y geometría algebraica , las clases de Chern son clases características asociadas con haces de vectores complejos . Desde entonces se han convertido en conceptos fundamentales en muchas ramas de las matemáticas y la física, como la teoría de cuerdas , la teoría de Chern-Simons , la teoría de nudos y las invariantes de Gromov-Witten . Las clases de Chern fueron introducidas por Shiing-Shen Chern  (1946).

Enfoque geométrico

Idea básica y motivación.

Las clases de Chern son clases características . Son invariantes topológicos asociados con haces de vectores en una variedad suave. La pregunta de si dos conjuntos de vectores aparentemente diferentes son iguales puede ser bastante difícil de responder. Las clases de Chern proporcionan una prueba simple: si las clases de Chern de un par de haces de vectores no concuerdan, entonces los haces de vectores son diferentes. Sin embargo, lo contrario no es cierto.

En topología, geometría diferencial y geometría algebraica, a menudo es importante contar cuántas secciones linealmente independientes tiene un paquete de vectores. Las clases de Chern ofrecen información sobre esto a través, por ejemplo, del teorema de Riemann-Roch y del teorema del índice Atiyah-Singer .

Las clases de Chern también se pueden calcular en la práctica. En geometría diferencial (y algunos tipos de geometría algebraica), las clases de Chern se pueden expresar como polinomios en los coeficientes de la forma de curvatura .

Construcción

Hay varias maneras de abordar el tema, cada una de las cuales se centra en un sabor ligeramente diferente de la clase Chern.

El enfoque original de las clases de Chern fue a través de la topología algebraica: las clases de Chern surgen a través de la teoría de la homotopía , que proporciona un mapeo asociado con un paquete de vectores a un espacio de clasificación (un Grassmanniano infinito en este caso). Para cualquier paquete de vectores complejo V sobre una variedad M , existe una aplicación f desde M al espacio de clasificación tal que el paquete V es igual al retroceso, por f , de un paquete universal sobre el espacio de clasificación, y las clases de Chern de Por lo tanto, V puede definirse como el retroceso de las clases de Chern del paquete universal. A su vez, estas clases universales de Chern pueden escribirse explícitamente en términos de ciclos de Schubert .

Se puede demostrar que para dos aplicaciones cualesquiera f , g desde M al espacio de clasificación cuyos retrocesos son el mismo paquete V , las aplicaciones deben ser homotópicas. Por lo tanto, el retroceso por f o g de cualquier clase universal de Chern a una clase de cohomología de M debe ser la misma clase. Esto muestra que las clases Chern de V están bien definidas.

El enfoque de Chern utilizó geometría diferencial, a través del enfoque de curvatura descrito predominantemente en este artículo. Demostró que la definición anterior era de hecho equivalente a la suya. La teoría resultante se conoce como teoría de Chern-Weil .

También hay un enfoque de Alexander Grothendieck que muestra que axiomáticamente sólo es necesario definir el caso del paquete de líneas.

Las clases de Chern surgen naturalmente en geometría algebraica . Las clases generalizadas de Chern en geometría algebraica se pueden definir para paquetes de vectores (o más precisamente, haces localmente libres ) sobre cualquier variedad no singular. Las clases álgebro-geométricas de Chern no requieren que el campo subyacente tenga propiedades especiales. En particular, los paquetes de vectores no tienen por qué ser necesariamente complejos.

Independientemente del paradigma particular, el significado intuitivo de la clase Chern se refiere a los 'ceros requeridos' de una sección de un conjunto de vectores: por ejemplo, el teorema que dice que no se puede peinar una bola peluda ( teorema de la bola peluda ). Aunque, estrictamente hablando, se trata de una pregunta sobre un conjunto de vectores real (los "pelos" de una bola son en realidad copias de la línea real), hay generalizaciones en las que los pelos son complejos (consulte el ejemplo del teorema complejo de la bola peluda a continuación). , o para espacios proyectivos unidimensionales sobre muchos otros campos.

Consulte la teoría de Chern-Simons para obtener más información.

La clase Chern de paquetes de líneas.

(Sea X un espacio topológico que tiene el tipo de homotopía de un complejo CW ).

Un caso especial importante ocurre cuando V es un paquete de líneas . Entonces, la única clase Chern no trivial es la primera clase Chern, que es un elemento del segundo grupo de cohomología de X. Como es la clase superior de Chern, es igual a la clase de Euler del paquete.

La primera clase de Chern resulta ser una invariante completa con la que clasificar haces de líneas complejos, topológicamente hablando. Es decir, existe una biyección entre las clases de isomorfismo de los haces de líneas sobre X y los elementos de , que asocia a un haces de líneas su primera clase de Chern. Además, esta biyección es un homomorfismo de grupo (por tanto, un isomorfismo): ${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$

$${\displaystyle c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L');}$$

producto tensorial^{[1] [2]}

En geometría algebraica, esta clasificación de (clases de isomorfismo de) haces de líneas complejas por la primera clase de Chern es una aproximación burda a la clasificación de (clases de isomorfismo de) haces de líneas holomorfas por clases de equivalencia lineal de divisores .

Para paquetes de vectores complejos de dimensión mayor que uno, las clases de Chern no son una invariante completa.

Construcciones

A través de la teoría de Chern-Weil

Dado un paquete de vectores hermitiano complejo V de rango complejo n sobre una variedad suave M , los representantes de cada clase de Chern (también llamada forma de Chern ) de V se dan como coeficientes del polinomio característico de la forma de curvatura de V. ${\displaystyle c_{k}(V)}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}$$

El determinante está sobre el anillo de matrices cuyas entradas son polinomios en t con coeficientes en el álgebra conmutativa de formas diferenciales incluso complejas en M. La forma de curvatura de V se define como ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}$$

forma de conexiónla derivada exteriorcampo de calibrede calibreV. tindeterminadogenerarImatriz identidad nn

Decir que la expresión dada es representativa de la clase Chern indica que aquí "clase" significa hasta la adición de una forma diferencial exacta . Es decir, las clases de Chern son clases de cohomología en el sentido de la cohomología de De Rham . Se puede demostrar que las clases de cohomología de las formas de Chern no dependen de la elección de la conexión en V.

Si se deduce de la identidad matricial que . Aplicando ahora la serie de Maclaurin para , obtenemos la siguiente expresión para las formas de Chern: ${\displaystyle \mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))}$ ${\displaystyle \det(X)=\exp(\mathrm {tr} (\ln(X)))}$ ${\displaystyle \ln(X+I)}$

$${\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].}$$

A través de una clase de Euler

Se puede definir una clase de Chern en términos de una clase de Euler. Este es el enfoque del libro de Milnor y Stasheff, y enfatiza el papel de la orientación de un paquete de vectores .

La observación básica es que un paquete de vectores complejo viene con una orientación canónica, en última instancia porque está conexo. Por lo tanto, uno simplemente define la clase Chern superior del paquete como su clase Euler (la clase Euler del paquete de vectores reales subyacente) y maneja las clases Chern inferiores de manera inductiva. ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

La construcción precisa es la siguiente. La idea es hacer un cambio de base para obtener un paquete de rango uno menos. Sea un paquete de vectores complejo sobre un espacio paracompacto B . Pensando que B está incrustado en E como la sección cero, definamos el nuevo paquete de vectores: ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle B'=E\setminus B}$

$${\displaystyle E'\to B'}$$

FEvFB′FEF^[3]Esecuencia de Gysin ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle \pi |_{B'}\colon B'\to B}$

$${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,}$$

${\displaystyle \pi |_{B'}^{*}}$ ${\displaystyle k<2n-1}$

$${\displaystyle c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')&k<n\\e(E_{\mathbb {R} })&k=n\\0&k>n\end{cases}}}$$

Luego se necesita algo de trabajo para verificar que los axiomas de las clases de Chern se cumplan para esta definición.

Véanse también: El isomorfismo de Thom .

Ejemplos

El paquete tangente complejo de la esfera de Riemann

Sea la esfera de Riemann : espacio proyectivo complejo unidimensional . Supongamos que z es una coordenada local holomorfa para la esfera de Riemann. Sea el conjunto de vectores tangentes complejos que tienen la forma en cada punto, donde a es un número complejo . Probamos la versión compleja del teorema de la bola peluda : V no tiene sección que sea distinta de cero en todas partes. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle V=T\mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle a\partial /\partial z}$

Para esto, necesitamos el siguiente hecho: la primera clase Chern de un paquete trivial es cero, es decir,

$${\displaystyle c_{1}(\mathbb {CP} ^{1}\times \mathbb {C} )=0.}$$

Esto se demuestra por el hecho de que un paquete trivial siempre admite una conexión plana. Entonces, mostraremos que

$${\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}$$

Considere la métrica de Kähler

$${\displaystyle h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

Se muestra fácilmente que la forma de curvatura 2 está dada por

$${\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

Además, según la definición de la primera clase Chern

$${\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].}$$

Debemos demostrar que esta clase de cohomología es distinta de cero. Basta calcular su integral sobre la esfera de Riemann:

$${\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}$$

coordenadas polaresel teorema de Stokesforma exacta

Esto demuestra que no es un paquete de vectores trivial. ${\displaystyle T\mathbb {CP} ^{1}}$

Espacio proyectivo complejo

Hay una secuencia exacta de gavillas/haces: ^[4]

$${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$$

el haz de torsión de Serrehaz de hiperplanohaz tangente ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}$

Hay dos formas de obtener la secuencia anterior:

1. ^[5] Sean las coordenadas de sea la proyección canónica, y sea . Entonces nosotros tenemos: ${\displaystyle z_{0},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1},}$ ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\to \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle U=\mathbb {CP} ^{n}\setminus \{z_{0}=0\}}$
   $${\displaystyle \pi ^{*}d(z_{i}/z_{0})={z_{0}dz_{i}-z_{i}dz_{0} \over z_{0}^{2}},\,i\geq 1.}$$
   En otras palabras, la gavilla cotangente , que es un módulo libre con base , encaja en la secuencia exacta ${\displaystyle \Omega _{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle d(z_{i}/z_{0})}$
   $${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}|_{U}{\overset {dz_{i}\mapsto e_{i}}{\to }}\oplus _{1}^{n+1}{\mathcal {O}}(-1)|_{U}{\overset {e_{i}\mapsto z_{i}}{\to }}{\mathcal {O}}_{U}\to 0,\,i\geq 0,}$$
   ¿ Dónde están las bases del mediano plazo? La misma secuencia es claramente entonces exacta en todo el espacio proyectivo y el dual del mismo es la secuencia antes mencionada. ${\displaystyle e_{i}}$
2. Sea L una recta que pasa por el origen. Es una geometría elemental ver que el espacio tangente complejo al punto L es naturalmente el conjunto de aplicaciones lineales desde L hasta su complemento. Por tanto, el paquete tangente se puede identificar con el paquete hom. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle T\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$
   $${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )}$$
   donde η es el paquete de vectores tal que . Sigue: ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\oplus \eta ={\mathcal {O}}^{\oplus (n+1)}}$
   $${\displaystyle T\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}\oplus {\mathcal {O}}=\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )\oplus \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}(-1))={\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}.}$$

Por la aditividad de la clase Chern total (es decir, la fórmula de la suma de Whitney), ${\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots }$

$${\displaystyle c(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1},}$$

aE ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)}$ ${\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)}$ ${\displaystyle E^{*}}$

En particular, para cualquier , ${\displaystyle k\geq 0}$

$${\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.}$$

polinomio de chern

Un polinomio de Chern es una forma conveniente de manejar sistemáticamente las clases de Chern y las nociones relacionadas. Por definición, para un paquete de vectores complejo E , el polinomio de Chern c _t de E viene dado por:

$${\displaystyle c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.}$$

Esta no es una nueva invariante: la variable formal t simplemente realiza un seguimiento del grado de c _k ( E ). ^[6] En particular, está completamente determinada por la clase Chern total de E : y viceversa. ${\displaystyle c_{t}(E)}$ ${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)}$

La fórmula de la suma de Whitney, uno de los axiomas de las clases de Chern (ver más abajo), dice que c _t es aditivo en el sentido:

$${\displaystyle c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').}$$

${\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$

$${\displaystyle c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)}$$

raíces de ChernE ${\displaystyle a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})}$ ${\displaystyle a_{i}(E)}$

$${\displaystyle c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))}$$

_kpolinomios simétricos elementalesa _ic _kklos polinomios simétricost _it _iprincipio de divisiónE ${\displaystyle c_{t}(E)}$

"Se puede evaluar cualquier polinomio simétrico f en un paquete de vectores complejo E escribiendo f como un polinomio en σ _k y luego reemplazando σ _k por c _k ( E )".

Ejemplo : Tenemos polinomios s _k

$${\displaystyle t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))}$$

identidades de Newton ${\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}}$

$${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1}(E),\ldots ,c_{n}(E))/k!}$$

EE

$${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{\frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .}$$

Ejemplo : la clase Todd de E viene dada por:

$${\displaystyle \operatorname {td} (E)=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i}}}=1+{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .}$$

Observación : La observación de que una clase de Chern es esencialmente un polinomio simétrico elemental se puede utilizar para "definir" las clases de Chern. Sea G _n el infinito Grassmanniano de espacios vectoriales complejos de n dimensiones. Es un espacio de clasificación en el sentido de que, dado un paquete de vectores complejo E de rango n sobre X , existe un mapa continuo

$${\displaystyle f_{E}:X\to G_{n}}$$

El teorema de BorelG _nkf _E

$${\displaystyle f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).}$$

$${\displaystyle c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).}$$

Observación : Cualquier clase característica es un polinomio en las clases de Chern, por las siguientes razones. Sea el functor contravariante que, a un complejo CW X , asigna el conjunto de clases de isomorfismo de haces de vectores complejos de rango n sobre X y, a un mapa, su retroceso. Por definición, una clase característica es una transformación natural del funtor de cohomología . Las clases de características forman un anillo debido a la estructura del anillo de cohomología. El lema de Yoneda dice que este anillo de clases características es exactamente el anillo de cohomología de G _n : ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]}$ ${\displaystyle H^{*}(-,\mathbb {Z} ).}$

$${\displaystyle \operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].}$$

Fórmulas de cálculo

Sea E un paquete de vectores de rango r y su polinomio de Chern. ${\displaystyle c_{t}(E)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)t^{i}}$

• Para el paquete dual de , . ^[7] ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c_{i}(E^{*})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$
• Si L es un paquete de líneas, entonces ^{[8] [9]}
  $${\displaystyle c_{t}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)c_{t}(L)^{r-i}t^{i}}$$
  y también lo son ${\displaystyle c_{i}(E\otimes L),i=1,2,\dots ,r}$
  $${\displaystyle c_{1}(E)+rc_{1}(L),\dots ,\sum _{j=0}^{i}{\binom {r-i+j}{j}}c_{i-j}(E)c_{1}(L)^{j},\dots ,\sum _{j=0}^{r}c_{r-j}(E)c_{1}(L)^{j}.}$$
• Para las raíces de Chern de , ^[10] ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}}$ ${\displaystyle E}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{t}(\operatorname {Sym} ^{p}E)&=\prod _{i_{1}\leq \cdots \leq i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t),\\c_{t}(\wedge ^{p}E)&=\prod _{i_{1}<\cdots <i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t).\end{aligned}}}$$
  En particular, ${\displaystyle c_{1}(\wedge ^{r}E)=c_{1}(E).}$
• Por ejemplo, ^[11] para , ${\displaystyle c_{i}=c_{i}(E)}$

  cuando , ${\displaystyle r=2}$ ${\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+3c_{1}+2c_{1}^{2}+4c_{2}+4c_{1}c_{2},}$

  cuando , ${\displaystyle r=3}$ ${\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+4c_{1}+5c_{1}^{2}+5c_{2}+2c_{1}^{3}+11c_{1}c_{2}+7c_{3}.}$

(cf. clase Segre#Ejemplo 2 .)

Aplicaciones de fórmulas

Podemos usar estas propiedades abstractas para calcular el resto de las clases chern de paquetes de líneas en . Recuerde esa demostración . Luego, usando potencias tensoriales, podemos relacionarlas con las clases de chern para cualquier número entero. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))=1\in H^{2}(\mathbb {CP} ^{1};\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(n))=n}$

Propiedades

Dado un paquete de vectores complejo E sobre un espacio topológico X , las clases de Chern de E son una secuencia de elementos de la cohomología de X. La k -ésima clase Chern de E , que generalmente se denota c _k ( E ), es un elemento de

$${\displaystyle H^{2k}(X;\mathbb {Z} ),}$$

Xenterosclase Chern total.

$${\displaystyle c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .}$$

Dado que los valores están en grupos de cohomología integral, en lugar de cohomología con coeficientes reales, estas clases de Chern son ligeramente más refinadas que las del ejemplo de Riemann. ^{[ se necesita aclaración ]}

Definición axiomática clásica

Las clases de Chern satisfacen los siguientes cuatro axiomas:

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$para todo E.
2. Naturalidad: si es continuo y f*E es el retroceso del paquete de vectores de E , entonces . ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)}$
3. Fórmula de la suma de Whitney : si es otro paquete de vectores complejos, entonces las clases de Chern de la suma directa están dadas por ${\displaystyle F\to X}$ ${\displaystyle E\oplus F}$
   $${\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);}$$
   eso es,
   $${\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).}$$
4. Normalización: la clase total de Chern del paquete de líneas tautológicas es 1− H , donde H es dual de Poincaré al hiperplano . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}}$

Enfoque axiomático de Grothendieck

Alternativamente, Alexander Grothendieck  (1958) los reemplazó con un conjunto de axiomas ligeramente más pequeño:

• Naturalidad: (Igual que arriba)
• Aditividad: si es una secuencia exacta de paquetes de vectores, entonces . ${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$ ${\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')}$
• Normalización: si E es un paquete de líneas , entonces ¿dónde está la clase de Euler del paquete de vectores reales subyacente? ${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle e(E_{\mathbb {R} })}$

Utilizando el teorema de Leray-Hirsch, muestra que la clase total de Chern de un paquete de vectores complejo de rango finito arbitrario se puede definir en términos de la primera clase de Chern de un paquete de líneas definido tautológicamente.

Es decir, introducir la proyectivización del haz vectorial complejo de rango n E → B como el haz de fibras en B cuya fibra en cualquier punto es el espacio proyectivo de la fibra E _b . El espacio total de este paquete está equipado con su paquete de líneas complejas tautológicas, que denotamos , y la primera clase de Chern. ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}$$

espacios proyectivos complejos ${\displaystyle \mathbb {P} (E_{b})}$

Las clases

$${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbb {P} (E))}$$

^de Leray-Hirschaa ²an ⁻¹ ${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} (E))}$

En particular, se pueden definir las clases de Chern de E en el sentido de Grothendieck, denotado expandiendo así la clase , con la relación: ${\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)}$ ${\displaystyle -a^{n}}$

$${\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}$$

Entonces se puede comprobar que esta definición alternativa coincide con cualquier otra definición que se prefiera, o utilizar la caracterización axiomática anterior.

La mejor clase de Chern

De hecho, estas propiedades caracterizan únicamente a las clases Chern. Implican, entre otras cosas:

• Si n es el rango complejo de V , entonces para todo k > n . Así termina la clase Chern total. ${\displaystyle c_{k}(V)=0}$
• La clase superior de Chern de V (es decir , donde n es el rango de V ) siempre es igual a la clase de Euler del paquete de vectores reales subyacente. ${\displaystyle c_{n}(V)}$

En geometría algebraica

Descripción axiomática

Existe otra construcción de clases de Chern que toman valores en el análogo algebrogeométrico del anillo de cohomología, el anillo de Chow . Se puede demostrar que existe una teoría única de las clases de Chern tal que si se le da un paquete de vectores algebraicos sobre una variedad cuasi proyectiva, hay una secuencia de clases tal que ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle c_{i}(E)\in A^{i}(X)}$

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$
2. Para una gavilla invertible (es decir, un divisor Cartier ), ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]}$
3. Dada una secuencia exacta de paquetes de vectores, la fórmula de la suma de Whitney es válida: ${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$ ${\displaystyle c(E)=c(E')c(E'')}$
4. ${\displaystyle c_{i}(E)=0}$para ${\displaystyle i>{\text{rank}}(E)}$
5. El mapa se extiende a un morfismo de anillo. ${\displaystyle E\mapsto c(E)}$ ${\displaystyle c:K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)}$

secuencia normal

Calcular las clases características para el espacio proyectivo forma la base de muchos cálculos de clases características, ya que para cualquier subvariedad proyectiva suave existe la secuencia corta exacta ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$

$${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$$

Quintic triple

Por ejemplo, considere la quíntica no singular triple en . Entonces el paquete normal está dado por y tenemos la secuencia corta exacta ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(5)}$

$${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(5)\to 0}$$

Denotemos la clase de hiperplano en . Entonces la fórmula de la suma de Whitney nos da que ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A^{\bullet }(X)}$

$${\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))=(1+h)^{5}=1+5h+10h^{2}+10h^{3}}$$

Dado que el anillo de Chow de una hipersuperficie es difícil de calcular, consideraremos esta secuencia como una secuencia de haces coherentes en . Esto nos da que ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}\\&=\left(1+5h+10h^{2}+10h^{3}\right)\left(1-5h+25h^{2}-125h^{3}\right)\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}}$$

Usando el teorema de Gauss-Bonnet podemos integrar la clase para calcular la característica de Euler. Tradicionalmente esto se llama clase de Euler . Esto es ${\displaystyle c_{3}({\mathcal {T}}_{X})}$

$${\displaystyle \int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200}$$

teorema de Bézout ${\displaystyle h^{3}}$ ${\displaystyle X}$

Hipersuperficies grado d

Si es una hipersuperficie de grado suave, tenemos la secuencia corta exacta ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(d)\to 0}$$

$${\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}|_{X}})}{c({\mathcal {O}}_{X}(d))}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+d[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})(1-d[H]+d^{2}[H]^{2})\\&=1+(4-d)[H]+(6-4d+d^{2})[H]^{2}\end{aligned}}}$$

variedad de espín ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 4-d}$ ${\displaystyle 2k}$

Nociones próximas

El personaje de Chern

Las clases de Chern se pueden utilizar para construir un homomorfismo de anillos desde la teoría K topológica de un espacio hasta (la finalización de) su cohomología racional. Para un paquete de líneas L , el carácter Chern ch está definido por

$${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$$

De manera más general, si es una suma directa de paquetes de líneas, con las primeras clases de Chern el carácter Chern se define de forma aditiva ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}$$

Esto se puede reescribir como: ^[12]

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}$$

Esta última expresión, justificada invocando el principio de división , se toma como la definición ch(V) para paquetes de vectores arbitrarios V.

Si se utiliza una conexión para definir las clases de Chern cuando la base es una variedad (es decir, la teoría de Chern-Weil ), entonces la forma explícita del carácter de Chern es

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left[\operatorname {tr} \left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}$$

Ωcurvatura

El carácter Chern es útil en parte porque facilita el cálculo de la clase Chern de un producto tensorial. En concreto obedece a las siguientes identidades:

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\oplus W)=\operatorname {ch} (V)+\operatorname {ch} (W)}$$

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\otimes W)=\operatorname {ch} (V)\operatorname {ch} (W).}$$

Como se indicó anteriormente, utilizando el axioma de aditividad de Grothendieck para las clases de Chern, la primera de estas identidades se puede generalizar para afirmar que ch es un homomorfismo de grupos abelianos de la teoría K K ( X ) en la cohomología racional de X. La segunda identidad establece el hecho de que este homomorfismo también respeta productos en K ( X ), por lo que ch es un homomorfismo de anillos.

El carácter de Chern se utiliza en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .

números negros

Si trabajamos en una variedad orientada de dimensión , entonces cualquier producto de clases de Chern de grado total (es decir, la suma de los índices de las clases de Chern en el producto debe ser ) puede emparejarse con la clase de homología de orientación (o "integrarse sobre la múltiple") para dar un número entero, un número de Chern del paquete de vectores. Por ejemplo, si la variedad tiene dimensión 6, hay tres números de Chern linealmente independientes, dados por , y . En general, si la variedad tiene dimensión , el número de posibles números de Chern independientes es el número de particiones de . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c_{1}^{3}}$ ${\displaystyle c_{1}c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$

Los números de Chern del paquete tangente de una variedad compleja (o casi compleja) se denominan números de Chern de la variedad y son invariantes importantes.

Teorías de cohomología generalizadas

Existe una generalización de la teoría de las clases de Chern, donde la cohomología ordinaria se reemplaza por una teoría de la cohomología generalizada . Las teorías para las cuales tal generalización es posible se denominan orientables complejas . Las propiedades formales de las clases de Chern siguen siendo las mismas, con una diferencia crucial: la regla que calcula la primera clase de Chern de un producto tensorial de haces de líneas en términos de las primeras clases de Chern de los factores no es una suma (ordinaria), sino una Derecho formal de grupo .

geometría algebraica

En geometría algebraica existe una teoría similar de las clases de Chern de haces de vectores. Existen varias variaciones según los grupos en los que se encuentran las clases de Chern:

• Para variedades complejas, las clases de Chern pueden tomar valores en cohomología ordinaria, como se indicó anteriormente.
• Para variedades en campos generales, las clases de Chern pueden tomar valores en teorías de cohomología como la cohomología etale o la cohomología l-ádica .
• Para variedades V sobre campos generales, las clases Chern también pueden tomar valores en homomorfismos de grupos Chow CH(V): por ejemplo, la primera clase Chern de un conjunto de líneas sobre una variedad V es un homomorfismo de CH( V ) a CH( V ) reduciendo los grados en 1. Esto corresponde al hecho de que los grupos de Chow son una especie de análogo de los grupos de homología, y los elementos de los grupos de cohomología pueden considerarse como homomorfismos de grupos de homología utilizando el producto cap .

Colectores con estructura

La teoría de las clases de Chern da lugar a invariantes de cobordismo para variedades casi complejas .

Si M es una variedad casi compleja, entonces su fibrado tangente es un fibrado vectorial complejo. Las clases Chern de M se definen así como las clases Chern de su fibrado tangente. Si M también es compacto y de dimensión 2 d , entonces cada monomio de grado total 2 d en las clases de Chern puede emparejarse con la clase fundamental de M , dando un número entero , un número de Chern de M. Si M ′ es otra variedad casi compleja de la misma dimensión, entonces es cobordante de M si y sólo si los números de Chern de M ′ coinciden con los de M .

La teoría también se extiende a paquetes de vectores simplécticos reales , mediante la intermediación de estructuras casi complejas compatibles. En particular, las variedades simplécticas tienen una clase Chern bien definida.

Esquemas aritméticos y ecuaciones diofánticas.

(Ver geometría de Arakelov )

Ver también

• clase pontryagin
• Clase Stiefel-Whitney
• clase euler
• clase segre
• cálculo de schubert
• Efecto Hall cuántico
• Clase Chern localizada

Notas

1. Bott, Raoul ; Tu, Loring (1995). Formas diferenciales en topología algebraica (Corr. 3. ed. impresa). Nueva York [ua]: Springer. pag. 267 y sigs. ISBN 3-540-90613-4.
2. Hatcher, Allen . "Paquetes de vectores y teoría K" (PDF) . Proposición 3.10.
3. Nota editorial: nuestra notación difiere de la de Milnor-Stasheff, pero parece más natural.
4. La secuencia a veces se llama secuencia de Euler .
5. Hartshorne, cap. II. Teorema 8.13.
6. En un término de teoría de anillos, existe un isomorfismo de anillos graduados:
   $${\displaystyle H^{2*}(M,\mathbb {Z} )\to \oplus _{k}^{\infty }\eta (H^{2*}(M,\mathbb {Z} ))[t],x\mapsto xt^{|x|/2}}$$
   donde la izquierda es el anillo de cohomología de términos pares, η es un homomorfismo de anillo que no tiene en cuenta la calificación y x es homogéneo y tiene grado | x |.
7. Fulton, Observación 3.2.3. (a)
8. Fulton, Observación 3.2.3. (b)
9. Fulton, ejemplo 3.2.2.
10. Fulton, Observación 3.2.3. (C)
11. Utilice, por ejemplo, WolframAlpha para expandir el polinomio y luego utilice el hecho de que son polinomios simétricos elementales en 's. ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$
12. (Ver también § Polinomio de Chern.) Observe que cuando V es una suma de haces de líneas, las clases de Chern de V se pueden expresar como polinomios simétricos elementales en , En particular, por un lado ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$
    $${\displaystyle c(V):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(V),}$$
    mientras que por otro lado
    $${\displaystyle {\begin{aligned}c(V)&=c(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})\\&=\prod _{i=1}^{n}c(L_{i})\\&=\prod _{i=1}^{n}(1+x_{i})\\&=\sum _{i=0}^{n}e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\end{aligned}}}$$
    En consecuencia, las identidades de Newton pueden usarse para reexpresar las sumas de potencias en ch( V ) anteriores únicamente en términos de las clases de Chern de V , dando la fórmula reivindicada.

Referencias

• Chern, Shiing-Shen (1946), "Clases características de las variedades hermitianas", Annals of Mathematics , segunda serie, 47 (1): 85–121, doi :10.2307/1969037, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969037
• Fulton, W. (29 de junio de 2013). Teoría de la intersección. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-662-02421-8.
• Grothendieck, Alexander (1958), "La théorie desclasses de Chern", Bulletin de la Société Mathématique de France , 86 : 137–154, doi : 10.24033/bsmf.1501 , ISSN  0037-9484, MR  0116023
• Hartshorne, Robin (29 de junio de 2013). Geometría algebraica. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4757-3849-0.
• Jost, Jürgen (2005), Geometría y análisis geométrico de Riemann (4ª ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7(Proporciona una revisión introductoria muy breve de las clases de Chern).
• May, J. Peter (1999), Un curso conciso en topología algebraica, University of Chicago Press, ISBN 9780226511832
• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Annals of Mathematics Studies, vol. 76, Prensa de la Universidad de Princeton; Prensa de la Universidad de Tokio, ISBN 978-0-691-08122-9
• Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica, un diccionario conciso , Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

enlaces externos

• Vector Bundles & K-Theory: un libro descargable en progreso de Allen Hatcher . Contiene un capítulo sobre clases de características.
• Dieter Kotschick , Números de Chern de variedades algebraicas