Lema de Yoneda

Incorporación de categorías en categorías de funciones

En matemáticas , el lema de Yoneda es un resultado fundamental en la teoría de categorías . ^[1] Es un resultado abstracto sobre funtores del tipo morfismos en un objeto fijo . Es una vasta generalización del teorema de Cayley a partir de la teoría de grupos (considerando un grupo como una categoría en miniatura con un solo objeto y solo isomorfismos). Permite la incrustación de cualquier categoría localmente pequeña en una categoría de funtores ( funtores de valor conjunto contravariante ) definidos en esa categoría. También aclara cómo la categoría incrustada, de funtores representables y sus transformaciones naturales , se relaciona con los otros objetos en la categoría de funtores más grande. Es una herramienta importante que sustenta varios desarrollos modernos en geometría algebraica y teoría de la representación . Lleva el nombre de Nobuo Yoneda .

Generalidades

El lema de Yoneda sugiere que en lugar de estudiar la categoría localmente pequeña , se debería estudiar la categoría de todos los funtores de into (la categoría de conjuntos con funciones como morfismos ). es una categoría que creemos entender bien, y un funtor de into puede verse como una "representación" de en términos de estructuras conocidas. La categoría original está contenida en esta categoría de funtores, pero aparecen nuevos objetos en la categoría de funtores, que estaban ausentes y "ocultos" en . Tratar estos nuevos objetos igual que los antiguos a menudo unifica y simplifica la teoría. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Este enfoque es similar (y de hecho generaliza) al método común de estudiar un anillo investigando los módulos sobre ese anillo. El anillo toma el lugar de la categoría , y la categoría de módulos sobre el anillo es una categoría de funtores definidos en . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Declaración formal

El lema de Yoneda se refiere a los funtores de una categoría fija a la categoría de conjuntos , . Si es una categoría localmente pequeña (es decir, los conjuntos hom son conjuntos reales y no clases propias), entonces cada objeto de da lugar a un funtor natural a llamado funtor hom . Este funtor se denota: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$.

El hom-functor ( covariante ) envía al conjunto de morfismos y envía un morfismo (donde ) al morfismo (composición con a la izquierda) que envía un morfismo en al morfismo en . Es decir, ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Y\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f\circ -}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,Y)}$

${\displaystyle h_{A}(f)=\mathrm {Hom} (A,f),{\text{ or}}}$

${\displaystyle h_{A}(f)(g)=f\circ g}$

El lema de Yoneda dice que:

Lema  (Yoneda)  —  Sea un funtor de una categoría localmente pequeña a . Entonces, para cada objeto de , las transformaciones naturales de a están en correspondencia biunívoca con los elementos de . Es decir, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},F)\equiv \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (A,-),F)}$ ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(A)}$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},F)\cong F(A).}$

Además, este isomorfismo es natural en y cuando ambos lados se consideran funtores de a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

Aquí la notación denota la categoría de funtores de a . ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

Dada una transformación natural de a , el elemento correspondiente de es ; ^[a] y dado un elemento de , la transformación natural correspondiente está dada por que asigna a un morfismo un valor de . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(A)}$ ${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle F(A)}$ ${\displaystyle \Phi _{X}(f)=F(f)(u)}$ ${\displaystyle f\colon A\to X}$ ${\displaystyle F(X)}$

Versión contravariante

Existe una versión contravariante del lema de Yoneda, ^[2] que concierne a los funtores contravariantes de a . Esta versión involucra al funtor hom contravariante ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle h^{A}=\mathrm {Hom} (-,A),}$

que envía al conjunto hom . Dado un funtor contravariante arbitrario de a , el lema de Yoneda afirma que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,A)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},G)\cong G(A).}$

Naturalidad

Las biyecciones proporcionadas en el lema de Yoneda (covariante) (para cada y ) son los componentes de un isomorfismo natural entre dos funtores ciertos de a . ^{[3] : 61} Uno de los dos funtores es el funtor de evaluación ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle -(-)\colon {\mathcal {C}}\times \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

${\displaystyle -(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)}$

que envía un par de morfismos y una transformación natural al mapa. ${\displaystyle (f,\Phi )}$ ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Phi \colon F\to G}$

${\displaystyle \Phi _{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{A}\colon F(A)\to G(B).}$

Esto es suficiente para determinar el otro funtor ya que sabemos cuál es el isomorfismo natural. Bajo el segundo funtor

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} ,}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F),}$

La imagen de una pareja es el mapa. ${\displaystyle (f,\Phi )}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )}$

que envía una transformación natural a la transformación natural , cuyos componentes son ${\displaystyle \Psi \colon \hom(A,-)\to F}$ ${\displaystyle \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)\colon \hom(B,-)\to G}$

${\displaystyle (\Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-))_{C}(g)=(\Phi \circ \Psi )_{C}(g\circ f)\qquad (g\colon B\to C).}$

Convenciones de nombres

El uso de para el hom-functor covariante y para el hom-functor contravariante no es completamente estándar. Muchos textos y artículos usan la convención opuesta o símbolos completamente no relacionados para estos dos funtores. Sin embargo, la mayoría de los textos de geometría algebraica modernos a partir del EGA fundacional de Alexander Grothendieck usan la convención en este artículo. ^[b] ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle h^{A}}$

La regla mnemotécnica "caer en algo" puede ser útil para recordar que es el funtor hom covariante. Cuando la letra está cayendo (es decir, un subíndice), asigna a un objeto los morfismos de en . ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Prueba

Como es una transformación natural, tenemos el siguiente diagrama conmutativo : ${\displaystyle \Phi }$

Prueba del lema de Yoneda

Este diagrama muestra que la transformación natural está completamente determinada por ya que para cada morfismo se tiene ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$ ${\displaystyle f\colon A\to X}$

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u.}$

Además, cualquier elemento define una transformación natural de esta manera. La prueba en el caso contravariante es completamente análoga. ^[1] ${\displaystyle u\in F(A)}$

La incrustación de Yoneda

Un caso especial importante del lema de Yoneda es cuando el funtor de a es otro funtor hom . En este caso, la versión covariante del lema de Yoneda establece que ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle h_{B}}$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).}$

Es decir, las transformaciones naturales entre hom-funtores están en correspondencia biunívoca con los morfismos (en dirección inversa) entre los objetos asociados. Dado un morfismo, la transformación natural asociada se denota . ${\displaystyle f\colon B\to A}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$

Al mapear cada objeto en su hom-funtor asociado y cada morfismo en la transformación natural correspondiente se determina un funtor contravariante de a , la categoría de funtor de todos los funtores (covariantes) de a . Se puede interpretar como un funtor covariante : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$ ${\displaystyle f\colon B\to A}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$ ${\displaystyle h_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle h_{\bullet }}$

${\displaystyle h_{\bullet }\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.}$

El significado del lema de Yoneda en este contexto es que el funtor es completamente fiel y, por lo tanto, da una incrustación de en la categoría de funtores a . La colección de todos los funtores es una subcategoría de . Por lo tanto, la incrustación de Yoneda implica que la categoría es isomorfa a la categoría . ${\displaystyle h_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle \{h_{A}|A\in C\}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle \{h_{A}|A\in C\}}$

La versión contravariante del lema de Yoneda establece que

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).}$

Por lo tanto, da lugar a un funtor covariante de la categoría de funtores contravariantes a : ${\displaystyle h^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle h^{\bullet }\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.}$

El lema de Yoneda establece que cualquier categoría localmente pequeña puede ser incorporada a la categoría de funtores contravariantes de a a través de . Esto se denomina incorporación de Yoneda . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle h^{\bullet }}$

La incrustación de Yoneda a veces se denota por よ, el kana Hiragana Yo . ^[4]

Functor representable

La incrustación de Yoneda básicamente establece que para cada categoría (localmente pequeña), los objetos en esa categoría pueden ser representados por prehaces , de una manera completa y fiel. Es decir,

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},P)\cong P(A)}$

para un prehaz P . Muchas categorías comunes son, de hecho, categorías de prehaces y, al examinarlas más de cerca, resultan ser categorías de haces y, como estos ejemplos son comúnmente de naturaleza topológica, se puede ver que son topos en general. El lema de Yoneda proporciona un punto de apoyo mediante el cual se puede estudiar y comprender la estructura topológica de una categoría.

En términos de cálculo (co)final

Dadas dos categorías y con dos funtores , las transformaciones naturales entre ellas se pueden escribir como la siguiente fin . ^[5] ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (F,G)=\int _{c\in \mathbf {C} }\mathrm {Hom} _{\mathbf {D} }(Fc,Gc)}$

Para cualquier funtor y las siguientes fórmulas son todas formulaciones del lema de Yoneda. ^[6] ${\displaystyle K\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Sets} }$ ${\displaystyle H\colon \mathbf {C} \to \mathbf {Sets} }$

${\displaystyle K\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Kc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c),\qquad K\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Kc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-)},}$

${\displaystyle H\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Hc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-),\qquad H\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Hc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c)}.}$

Categorías, anillos y módulos preaditivos

Una categoría preaditiva es una categoría en la que los conjuntos de morfismos forman grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilineal ; ejemplos de ello son las categorías de grupos abelianos o módulos. En una categoría preaditiva, hay tanto una "multiplicación" como una "adición" de morfismos, por lo que las categorías preaditivas se consideran generalizaciones de anillos . Los anillos son categorías preaditivas con un objeto.

El lema de Yoneda sigue siendo válido para categorías preaditivas si elegimos como extensión la categoría de funtores contravariantes aditivos de la categoría original a la categoría de grupos abelianos; estos son funtores que son compatibles con la adición de morfismos y deben considerarse como formadores de una categoría de módulo sobre la categoría original. El lema de Yoneda produce entonces el procedimiento natural de ampliar una categoría preaditiva de modo que la versión ampliada siga siendo preaditiva; de hecho, la versión ampliada es una categoría abeliana , una condición mucho más poderosa. En el caso de un anillo , la categoría extendida es la categoría de todos los módulos derechos sobre , y el enunciado del lema de Yoneda se reduce al conocido isomorfismo ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle M\cong \mathrm {Hom} _{R}(R,M)}$   para todos los módulos correctos sobre . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

Relación con el teorema de Cayley

Como se indicó anteriormente, el lema de Yoneda puede considerarse como una amplia generalización del teorema de Cayley a partir de la teoría de grupos . Para ver esto, sea una categoría con un solo objeto tal que cada morfismo es un isomorfismo (es decir, un grupoide con un objeto). Entonces forma un grupo bajo la operación de composición, y cualquier grupo puede realizarse como una categoría de esta manera. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)}$

En este contexto, un funtor covariante consiste en un conjunto y un homomorfismo de grupo , donde es el grupo de permutaciones de ; en otras palabras, es un G-conjunto . Una transformación natural entre tales funtores es lo mismo que una función equivariante entre conjuntos: una función de conjunto con la propiedad de que para todo en y en . (En el lado izquierdo de esta ecuación, denota la acción de sobre , y en el lado derecho la acción sobre .) ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\to \mathrm {Perm} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Perm} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha \colon X\to Y}$ ${\displaystyle \alpha (g\cdot x)=g\cdot \alpha (x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ahora bien, el hom-functor covariante corresponde a la acción de sobre sí mismo por multiplicación por la izquierda (la versión contravariante corresponde a la multiplicación por la derecha). El lema de Yoneda con establece que ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)}$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-),\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-))\cong \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)}$,

es decir, las funciones equivariantes de este conjunto consigo mismo están en biyección con . Pero es fácil ver que (1) estas funciones forman un grupo bajo composición, que es un subgrupo de , y (2) la función que da la biyección es un homomorfismo de grupo. (Yendo en la dirección inversa, se asocia a cada en la función equivariante de multiplicación por la derecha por .) Por lo tanto es isomorfa a un subgrupo de , que es el enunciado del teorema de Cayley. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Perm} (G)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Perm} (G)}$

Historia

Yoshiki Kinoshita afirmó en 1996 que el término "lema de Yoneda" fue acuñado por Saunders Mac Lane después de una entrevista que tuvo con Yoneda en la estación Gare du Nord . ^{[7] [8]}

Véase también

• Teorema de representación
• Compleciones en la teoría de categorías

Notas

1. Recordemos que la última expresión está bien definida y envía un morfismo de a , a un elemento en . ${\displaystyle \Phi _{A}:\mathrm {Hom} (A,A)\to F(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F(A)}$
2. Una notable excepción a los textos de geometría algebraica moderna que siguen las convenciones de este artículo es Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica / David Eisenbud (1995), que utiliza para referirse al hom-functor covariante. Sin embargo, el libro posterior La geometría de los esquemas / David Eisenbud, Joe Harris (1998) invierte esto y utiliza para referirse al hom-functor contravariante. ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle h_{A}}$

Referencias

1. Riehl, Emily (2017). Teoría de categorías en contexto (PDF) . Dover. ISBN 978-0-486-82080-4.
2. Beurier & Pastor (2019), Lema 2.10 (Lema contravariante de Yoneda).
3. Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 5 (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer. doi :10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN. 978-0-387-98403-2. ISSN  0072-5285. SEÑOR  1712872. Zbl  0906.18001.
4. "Incorporación de Yoneda". nLab . Consultado el 6 de julio de 2019 .
5. Loregian (2021), Teorema 1.4.1.
6. Loregian (2021), Proposición 2.2.1 (Lema Ninja Yoneda).
7. Kinoshita, Yoshiki (23 de abril de 1996). «Falleció el profesor Nobuo Yoneda» . Consultado el 21 de diciembre de 2013 .
8. "le lemme de la Gare du Nord". libros interminables . 18 de noviembre de 2016 . Consultado el 10 de septiembre de 2022 .

• Freyd, Peter (1964), Categorías abelianas, Harper's Series in Modern Mathematics (edición reimpresa de 2003), Harper and Row, Zbl  0121.02103.
• Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático en activo , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 5 (2.ª ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98403-8, Zbl0906.18001 ​
• Loregiano, Fosco (2021). (Co)fin del cálculo . arXiv : 1501.02503 . doi :10.1017/9781108778657. ISBN 9781108778657.
• Leinster, Tom (2014), Teoría básica de categorías , arXiv : 1612.09375 , doi :10.1017/CBO9781107360068, ISBN 978-1-107-04424-1
• Teoría de categorías, Oxford University Press, 17 de junio de 2010, ISBN 978-0-19-958736-0

• Lema de Yoneda en el laboratorio n

Enlaces externos

• Demostración del sistema Mizar : Wojciechowski, M. (1997). "Yoneda Embedding". Revista de Matemáticas Formalizadas . 6 (3): 377–380. CiteSeerX 10.1.1.73.7127 . 
• Beurier, Erwan; Pastor, Dominique (julio de 2019). "Un curso intensivo sobre teoría de categorías".