Paquete de vectores complejos

En matemáticas, un paquete de vectores complejos es un paquete de vectores cuyas fibras son espacios vectoriales complejos .

Cualquier paquete de vectores complejo puede verse como un paquete de vectores real mediante la restricción de escalares . Por el contrario, cualquier paquete de vectores real E puede convertirse en un paquete de vectores complejo, la complejización

${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} ;}$

cuyas fibras son E _x ⊗ _R C .

Cualquier paquete de vectores complejo sobre un espacio paracompacto admite una métrica hermitiana .

El invariante básico de un paquete de vectores complejo es una clase Chern . Un paquete de vectores complejo está orientado canónicamente ; en particular, se puede tomar su clase de Euler .

Un paquete de vectores complejo es un paquete de vectores holomórfico si X es una variedad compleja y si las trivializaciones locales son biholomórficas.

Estructura compleja

Un paquete de vectores complejo puede considerarse como un paquete de vectores real con una estructura adicional, la estructura compleja . Por definición, una estructura compleja es un mapa de paquetes entre un paquete de vectores real E y él mismo:

${\displaystyle J:E\to E}$

tal que J actúa como la raíz cuadrada i de −1 en las fibras: si el mapa es a nivel de fibra, entonces como un mapa lineal. Si E es un paquete de vectores complejo, entonces la estructura compleja J se puede definir estableciendo que sea la multiplicación escalar por . Por el contrario, si E es un conjunto de vectores reales con una estructura compleja J , entonces E se puede convertir en un conjunto de vectores complejos estableciendo: para cualquier número real a , b y un vector real v en una _fibra Ex , ${\displaystyle J_{x}:E_{x}\to E_{x}}$ ${\displaystyle J_{x}^{2}=-1}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle (a+ib)v=av+J(bv).}$

Ejemplo : Una estructura compleja en el fibrado tangente de una variedad real M suele denominarse estructura casi compleja . Un teorema de Newlander y Nirenberg dice que una estructura casi compleja J es "integrable" en el sentido de que es inducida por una estructura de una variedad compleja si y sólo si un cierto tensor que involucra a J desaparece.

paquete conjugado

Si E es un paquete de vectores complejo, entonces el paquete conjugado de E se obtiene haciendo que los números complejos actúen a través de los conjugados complejos de los números. Por lo tanto, el mapa de identidad de los paquetes de vectores reales subyacentes: es conjugado-lineal, y E y su conjugado E son isomórficos como paquetes de vectores reales. ${\displaystyle {\overline {E}}}$ ${\displaystyle E_{\mathbb {R} }\to {\overline {E}}_{\mathbb {R} }=E_{\mathbb {R} }}$

La k -ésima clase de Chern está dada por ${\displaystyle {\overline {E}}}$

${\displaystyle c_{k}({\overline {E}})=(-1)^{k}c_{k}(E)}$.

En particular, E y E no son isomorfos en general.

Si E tiene una métrica hermitiana, entonces el paquete conjugado E es isomorfo al paquete dual a través de la métrica, donde escribimos para el paquete de líneas complejas trivial. ${\displaystyle E^{*}=\operatorname {Hom} (E,{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Si E es un paquete de vectores reales, entonces el paquete de vectores reales subyacente de la complejización de E es una suma directa de dos copias de E :

${\displaystyle (E\otimes \mathbb {C} )_{\mathbb {R} }=E\oplus E}$

(ya que V ⊗ _R C = V ⊕ i ‌ V para cualquier espacio vectorial real V .) Si un paquete de vectores complejo E es la complejización de un paquete de vectores real E ' , entonces E ' se llama forma real de E (puede haber ser más de una forma real) y se dice que E está definido sobre los números reales. Si E tiene una forma real, entonces E es isomorfo a su conjugado (ya que ambos son suma de dos copias de una forma real) y, en consecuencia, las clases Chern impares de E tienen orden 2.

Ver también

• Paquete de vectores holomorfos
• teoría k

Referencias

• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Annals of Mathematics Studies, vol. 76, Prensa de la Universidad de Princeton; Prensa de la Universidad de Tokio, ISBN 978-0-691-08122-9