Divisor (geometría algebraica)

Generalizaciones de subvariedades de variedades algebraicas de codimensión 1

En geometría algebraica , los divisores son una generalización de las subvariedades de codimensión -1 de las variedades algebraicas . Se utilizan comúnmente dos generalizaciones diferentes, los divisores de Cartier y los divisores de Weil (nombrados en honor a Pierre Cartier y André Weil por David Mumford ). Ambos se derivan de la noción de divisibilidad en los cuerpos de números enteros y algebraicos .

Globalmente, cada subvariedad de codimensión-1 del espacio proyectivo se define por la desaparición de un polinomio homogéneo ; por el contrario, una subvariedad de codimensión -r no necesita ser definible solo por r ecuaciones cuando r es mayor que 1. (Es decir, no cada subvariedad del espacio proyectivo es una intersección completa ). Localmente, cada subvariedad de codimensión-1 de una variedad suave se puede definir por una ecuación en un entorno de cada punto. Nuevamente, la afirmación análoga falla para subvariedades de codimensión superior. Como resultado de esta propiedad, gran parte de la geometría algebraica estudia una variedad arbitraria analizando sus subvariedades de codimensión-1 y los fibrados de líneas correspondientes .

En variedades singulares, esta propiedad también puede fallar, por lo que hay que distinguir entre subvariedades de codimensión 1 y variedades que pueden definirse localmente mediante una ecuación. Las primeras son divisores de Weil, mientras que las segundas son divisores de Cartier.

Topológicamente, los divisores de Weil desempeñan el papel de clases de homología , mientras que los divisores de Cartier representan clases de cohomología . En una variedad suave (o más generalmente un esquema regular ), un resultado análogo a la dualidad de Poincaré dice que los divisores de Weil y Cartier son los mismos.

El nombre "divisor" se remonta al trabajo de Dedekind y Weber , quienes mostraron la relevancia de los dominios de Dedekind para el estudio de las curvas algebraicas . ^[1] El grupo de divisores en una curva (el grupo abeliano libre generado por todos los divisores) está estrechamente relacionado con el grupo de ideales fraccionarios para un dominio de Dedekind.

Un ciclo algebraico es una generalización de codimensión superior de un divisor; por definición, un divisor de Weil es un ciclo de codimensión 1.

Divisores en una superficie de Riemann

Una superficie de Riemann es una variedad compleja unidimensional y, por lo tanto , sus subvariedades de codimensión 1 tienen dimensión 0. El grupo de divisores en una superficie de Riemann compacta X es el grupo abeliano libre en los puntos de X.

De manera equivalente, un divisor en una superficie compacta de Riemann X es una combinación lineal finita de puntos de X con coeficientes enteros . El grado de un divisor en X es la suma de sus coeficientes.

Para cualquier función meromórfica distinta de cero f en X , se puede definir el orden de desaparición de f en un punto p en X , ord _p ( f ). Es un entero, negativo si f tiene un polo en p . El divisor de una función meromórfica distinta de cero f en la superficie compacta de Riemann X se define como

${\displaystyle (f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,}$

que es una suma finita. Los divisores de la forma ( f ) también se denominan divisores principales . Como ( fg ) = ( f ) + ( g ), el conjunto de divisores principales es un subgrupo del grupo de divisores. Dos divisores que difieren en un divisor principal se denominan linealmente equivalentes .

En una superficie de Riemann compacta, el grado de un divisor principal es cero; es decir, el número de ceros de una función meromórfica es igual al número de polos, contados con multiplicidad. Como resultado, el grado está bien definido en las clases de equivalencia lineal de divisores.

Dado un divisor D en una superficie compacta de Riemann X , es importante estudiar el espacio vectorial complejo de funciones meromórficas en X con polos como máximo dados por D , llamado H ⁰ ( X , O ( D )) o el espacio de secciones del fibrado de líneas asociado a D . El grado de D dice mucho sobre la dimensión de este espacio vectorial. Por ejemplo, si D tiene grado negativo, entonces este espacio vectorial es cero (porque una función meromórfica no puede tener más ceros que polos). Si D tiene grado positivo, entonces la dimensión de H ⁰ ( X , O ( mD )) crece linealmente en m para m suficientemente grande. El teorema de Riemann-Roch es una afirmación más precisa en este sentido. Por otro lado, la dimensión precisa de H ⁰ ( X , O ( D )) para divisores D de bajo grado es sutil y no está completamente determinada por el grado de D . Las características distintivas de una superficie compacta de Riemann se reflejan en estas dimensiones.

Un divisor clave en una superficie compacta de Riemann es el divisor canónico . Para definirlo, primero se define el divisor de una 1-forma meromórfica distinta de cero siguiendo las líneas anteriores. Dado que el espacio de las 1-formas meromórficas es un espacio vectorial unidimensional sobre el campo de funciones meromórficas, dos 1-formas meromórficas distintas de cero producen divisores linealmente equivalentes. Cualquier divisor en esta clase de equivalencia lineal se denomina divisor canónico de X , K _X . El género g de X se puede leer a partir del divisor canónico: es decir, K _X tiene grado 2 g − 2. La tricotomía clave entre las superficies compactas de Riemann X es si el divisor canónico tiene grado negativo (por lo que X tiene género cero), grado cero (género uno) o grado positivo (género al menos 2). Por ejemplo, esto determina si X tiene una métrica de Kähler con curvatura positiva , curvatura cero o curvatura negativa. El divisor canónico tiene grado negativo si y sólo si X es isomorfo a la esfera de Riemann CP ¹ .

Divisores de Weil

Sea X un esquema localmente noetheriano integral . Un divisor primo o divisor irreducible en X es un subesquema cerrado integral Z de codimensión 1 en X. Un divisor de Weil en X es una suma formal sobre los divisores primos Z de X.

${\displaystyle \sum _{Z}n_{Z}Z,}$

donde la colección es localmente finita. Si X es cuasicompacta, la finitud local es equivalente a ser finita. El grupo de todos los divisores de Weil se denota Div( X ) . Un divisor de Weil D es efectivo si todos los coeficientes son no negativos. Se escribe D ≥ D′ si la diferencia D − D′ es efectiva. ${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$ ${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$

Por ejemplo, un divisor en una curva algebraica sobre un cuerpo es una suma formal de un número finito de puntos cerrados. Un divisor en Spec Z es una suma formal de números primos con coeficientes enteros y, por lo tanto, corresponde a un ideal fraccionario distinto de cero en Q. Una caracterización similar es válida para los divisores en donde K es un cuerpo de números. ${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},}$

Si Z ⊂ X es un divisor primo, entonces el anillo local tiene dimensión de Krull uno. Si no es cero, entonces el orden de desaparición de f a lo largo de Z , escrito ord _Z ( f ) , es la longitud de Esta longitud es finita, ^[2] y es aditiva con respecto a la multiplicación, es decir, ord _Z ( fg ) = ord _Z ( f ) + ord _Z ( g ) . ^[3] Si k ( X ) es el campo de funciones racionales en X , entonces cualquier f ∈ k ( X ) no cero puede escribirse como un cociente g / h , donde g y h están en y el orden de desaparición de f se define como ord _Z ( g ) − ord _Z ( h ) . ^[4] Con esta definición, el orden de desaparición es una función ord _Z  : k ( X ) ^× → Z . Si X es normal , entonces el anillo local es un anillo de valoración discreto y la función ord _Z es la valoración correspondiente. Para una función racional distinta de cero f en X , el divisor principal de Weil asociado a f se define como el divisor de Weil ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}/(f).}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$

${\displaystyle \operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.}$

Se puede demostrar que esta suma es localmente finita y, por lo tanto, que en efecto define un divisor de Weil. El divisor principal de Weil asociado a f también se denota ( f ) . Si f es una función regular, entonces su divisor principal de Weil es efectivo, pero en general esto no es cierto. La aditividad del orden de la función que se desvanece implica que

${\displaystyle \operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.}$

En consecuencia, div es un homomorfismo y, en particular, su imagen es un subgrupo del grupo de todos los divisores de Weil.

Sea X un esquema noetheriano integral normal. Todo divisor de Weil D determina un haz coherente en X. Concretamente, puede definirse como un subhaz del haz de funciones racionales ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ or }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}.}$

Es decir, una función racional f distinta de cero es una sección de sobre U si y sólo si para cualquier divisor primo Z que interseca a U , ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}}$

donde n _Z es el coeficiente de Z en D . Si D es principal, entonces D es el divisor de una función racional g , entonces hay un isomorfismo

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}}$

ya que es un divisor efectivo y por lo tanto es regular gracias a la normalidad de X . Por el contrario, si es isomorfo a como un -módulo, entonces D es principal. De ello se deduce que D es localmente principal si y solo si es invertible; es decir, un fibrado lineal. ${\displaystyle \operatorname {div} (fg)}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Si D es un divisor efectivo que corresponde a un subesquema de X (por ejemplo, D puede ser un divisor reducido o un divisor primo), entonces el haz ideal del subesquema D es igual a Esto conduce a una secuencia exacta corta de uso frecuente, ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D).}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.}$

La cohomología del haz de esta secuencia muestra que contiene información sobre si las funciones regulares en D son las restricciones de las funciones regulares en X. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))}$

También hay una inclusión de poleas.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).}$

Esto proporciona un elemento canónico , es decir, la imagen de la sección global 1. Esto se llama sección canónica y puede denotarse como _D. Si bien la sección canónica es la imagen de una función racional que no desaparece en ninguna parte, su imagen desaparece a lo largo de D porque las funciones de transición desaparecen a lo largo de D. Cuando D es un divisor de Cartier suave, se puede identificar el cokernel de la inclusión anterior; consulte #Divisores de Cartier a continuación. ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Supóngase que X es un esquema separado integral normal de tipo finito sobre un cuerpo. Sea D un divisor de Weil. Entonces es un haz reflexivo de rango uno , y como se define como un subhaz de él es un haz ideal fraccionario (ver más abajo). A la inversa, todo haz reflexivo de rango uno corresponde a un divisor de Weil: El haz puede restringirse al lugar geométrico regular, donde se vuelve libre y, por lo tanto, corresponde a un divisor de Cartier (de nuevo, ver más abajo), y como el lugar geométrico singular tiene codimensión al menos dos, la clausura del divisor de Cartier es un divisor de Weil. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X},}$

Grupo de clases divisorias

El grupo de clases divisor de Weil Cl( X ) es el cociente de Div( X ) por el subgrupo de todos los divisores principales de Weil. Se dice que dos divisores son linealmente equivalentes si su diferencia es principal, por lo que el grupo de clases divisor es el grupo de divisores módulo equivalencia lineal. Para una variedad X de dimensión n sobre un cuerpo, el grupo de clases divisor es un grupo de Chow ; es decir, Cl( X ) es el grupo de Chow CH _{n −1} ( X ) de ciclos de ( n −1)-dimensionales.

Sea Z un subconjunto cerrado de X . Si Z es irreducible de codimensión uno, entonces Cl( X − Z ) es isomorfo al grupo cociente de Cl( X ) por la clase de Z . Si Z tiene codimensión al menos 2 en X , entonces la restricción Cl( X ) → Cl( X − Z ) es un isomorfismo. ^[6] (Estos hechos son casos especiales de la secuencia de localización para grupos de Chow).

En un esquema noetheriano integral normal X , dos divisores de Weil D , E son linealmente equivalentes si y solo si y son isomorfos como -módulos. Las clases de isomorfismo de haces reflexivos sobre X forman un monoide con producto dado como la envoltura reflexiva de un producto tensorial. Luego define un isomorfismo monoide desde el grupo de clases de divisores de Weil de X hasta el monoide de clases de isomorfismo de haces reflexivos de rango uno sobre X . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

Ejemplos

• Sea k un cuerpo y sea n un entero positivo. Puesto que el anillo polinomial k [ x ₁ , ..., x _n ] es un dominio de factorización único, el grupo de clases divisor del espacio afín A ⁿ sobre k es igual a cero. ^[7] Puesto que el espacio proyectivo P ⁿ sobre k menos un hiperplano H es isomorfo a A ⁿ , se deduce que el grupo de clases divisor de P ⁿ es generado por la clase de H . A partir de ahí, es sencillo comprobar que Cl( P ⁿ ) es de hecho isomorfo a los enteros Z , generados por H . Concretamente, esto significa que cada subvariedad de codimensión-1 de P ⁿ está definida por la desaparición de un único polinomio homogéneo.

• Sea X una curva algebraica sobre un cuerpo k . Todo punto cerrado p en X tiene la forma Spec E para algún cuerpo de extensión finito E de k , y el grado de p se define como el grado de E sobre k . Extendiendo esto por linealidad se obtiene la noción de grado para un divisor en X . Si X es una curva proyectiva sobre k , entonces el divisor de una función racional f distinta de cero en X tiene grado cero. ^[8] Como resultado, para una curva proyectiva X , el grado da un homomorfismo deg: Cl( X ) → Z .

• Para la línea proyectiva P ¹ sobre un cuerpo k , el grado da un isomorfismo Cl( P ¹ ) ≅ Z . Para cualquier curva proyectiva suave X con un punto k - racional , el homomorfismo de grado es sobreyectivo, y el núcleo es isomorfo al grupo de k -puntos en la variedad jacobiana de X , que es una variedad abeliana de dimensión igual al género de X . De ello se deduce, por ejemplo, que el grupo de clases divisoras de una curva elíptica compleja es un grupo abeliano incontable .

• Generalizando el ejemplo anterior: para cualquier variedad proyectiva suave X sobre un cuerpo k tal que X tiene un punto k -racional, el grupo de clases divisor Cl( X ) es una extensión de un grupo abeliano finitamente generado , el grupo de Néron–Severi , por el grupo de k -puntos de un esquema de grupo conexo ^[9] Para k de característica cero, es una variedad abeliana, la variedad Picard de X . ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}}$

• Para R, el anillo de números enteros de un cuerpo de números , el grupo de clases divisor Cl( R ) := Cl(Spec R ) también se denomina grupo de clases ideal de R. Es un grupo abeliano finito. Comprender los grupos de clases ideales es un objetivo central de la teoría algebraica de números .

• El cono cuadrático afín xy = z ² .

  Sea X el cono cuádrico de dimensión 2, definido por la ecuación xy = z ² en el 3-espacio afín sobre un cuerpo. Entonces la línea D en X definida por x = z = 0 no es principal en X cerca del origen. Nótese que D puede definirse como un conjunto por una ecuación en X , a saber x = 0; pero la función x en X se desvanece al orden 2 a lo largo de D , y por lo tanto solo encontramos que 2 D es Cartier (como se define a continuación) en X . De hecho, el grupo de clases divisor Cl( X ) es isomorfo al grupo cíclico Z /2, generado por la clase de D . ^[10]

• Sea X el cono cuádrico de dimensión 3, definido por la ecuación xy = zw en el 4-espacio afín sobre un cuerpo. Entonces el plano D en X definido por x = z = 0 no puede definirse en X por una ecuación cerca del origen, ni siquiera como un conjunto. De ello se deduce que D no es Q-Cartier en X ; es decir, ningún múltiplo positivo de D es Cartier. De hecho, el grupo de clases divisor Cl( X ) es isomorfo a los enteros Z , generados por la clase de D . ^[11]

El divisor canónico

Sea X una variedad normal sobre un cuerpo perfecto . El lugar geométrico liso U de X es un subconjunto abierto cuyo complemento tiene codimensión al menos 2. Sea j : U → X la función de inclusión, luego el homomorfismo de restricción:

${\displaystyle j^{*}:\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Cl} (U)=\operatorname {Pic} (U)}$

es un isomorfismo, ya que X − U tiene codimensión al menos 2 en X . Por ejemplo, se puede usar este isomorfismo para definir el divisor canónico K _X de X : es el divisor de Weil (hasta equivalencia lineal) correspondiente al fibrado lineal de formas diferenciales de grado superior en U . Equivalentemente, el haz en X es el haz imagen directa donde n es la dimensión de X . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(K_{X})}$ ${\displaystyle j_{*}\Omega _{U}^{n},}$

Ejemplo : Sea X = P ⁿ el n -espacio proyectivo con coordenadas homogéneas x ₀ , ..., x _n . Sea U = { x ₀ ≠ 0}. Entonces U es isomorfo al n -espacio afín con coordenadas y _i = x _i / x ₀ . Sea

${\displaystyle \omega ={dy_{1} \over y_{1}}\wedge \dots \wedge {dy_{n} \over y_{n}}.}$

Entonces ω es una forma diferencial racional en U ; por lo tanto, es una sección racional de la cual tiene polos simples a lo largo de Z _i = { x _i = 0}, i = 1, ..., n . Al cambiar a una carta afín diferente, solo cambia el signo de ω y, por lo tanto, vemos que ω también tiene un polo simple a lo largo de Z _{0 . Por lo tanto, el divisor de ω es} ${\displaystyle \Omega _{\mathbf {P} ^{n}}^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {div} (\omega )=-Z_{0}-\dots -Z_{n}}$

y su clase divisora ​​es

${\displaystyle K_{\mathbf {P} ^{n}}=[\operatorname {div} (\omega )]=-(n+1)[H]}$

donde [ H ] = [ Z _i ], i = 0, ..., n . (Véase también la secuencia de Euler .)

Divisores de Cartier

Sea X un esquema noetheriano integral. Entonces X tiene un haz de funciones racionales . Todas las funciones regulares son funciones racionales, lo que conduce a una secuencia exacta corta. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.}$

Un divisor de Cartier en X es una sección global de Una descripción equivalente es que un divisor de Cartier es una colección donde es una tapa abierta de es una sección de en y en hasta la multiplicación por una sección de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$ ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X,f_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }}$ ${\displaystyle U_{i},}$ ${\displaystyle f_{i}=f_{j}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$

Los divisores de Cartier también tienen una descripción teórica de haces. Un haz ideal fraccionario es un submódulo de Un haz ideal fraccionario J es invertible si, para cada x en X , existe un entorno abierto U de x en el que la restricción de J a U es igual a donde y el producto se toma en Cada divisor de Cartier define un haz ideal fraccionario invertible utilizando la descripción del divisor de Cartier como una colección y, a la inversa, los haces ideales fraccionarios invertibles definen divisores de Cartier. Si el divisor de Cartier se denota D , entonces el haz ideal fraccionario correspondiente se denota o L ( D ). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}\cdot f,}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Por la secuencia exacta anterior, existe una secuencia exacta de grupos de cohomología de haces :

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).}$

Se dice que un divisor de Cartier es principal si está en la imagen del homomorfismo , es decir, si es el divisor de una función racional en X . Dos divisores de Cartier son linealmente equivalentes si su diferencia es principal. Todo fibrado lineal L en un esquema noetheriano integral X es la clase de algún divisor de Cartier. Como resultado, la secuencia exacta anterior identifica el grupo de fibrados lineales de Picard en un esquema noetheriano integral X con el grupo de divisores de Cartier módulo equivalencia lineal. Esto se cumple de manera más general para esquemas noetherianos reducidos, o para esquemas cuasi-proyectivos sobre un anillo noetheriano, ^[12] pero puede fallar en general (incluso para esquemas propios sobre C ), lo que disminuye el interés de los divisores de Cartier en generalidad completa. ^[13] ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),}$

Supongamos que D es un divisor de Cartier eficaz. Entonces hay una secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.}$

Esta secuencia se deriva de la secuencia exacta corta que relaciona los haces estructurales de X y D y el haz ideal de D . Debido a que D es un divisor de Cartier, es localmente libre y, por lo tanto, al tensar esa secuencia por se obtiene otra secuencia exacta corta, la anterior. Cuando D es suave, es el fibrado normal de D en X . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle O_{D}(D)}$

Comparación de divisores de Weil y divisores de Cartier

Un divisor de Weil D se dice que es Cartier si y solo si el haz es invertible. Cuando esto sucede, (con su incrustación en M _X ) es el fibrado lineal asociado a un divisor de Cartier. Más precisamente, si es invertible, entonces existe una cubierta abierta { U _i } tal que se restringe a un fibrado trivial en cada conjunto abierto. Para cada U _i , elija un isomorfismo La imagen de bajo esta función es una sección de en U _i . Debido a que se define como un subhaz del haz de funciones racionales, la imagen de 1 puede identificarse con alguna función racional f _i . La colección es entonces un divisor de Cartier. Esto está bien definido porque las únicas elecciones involucradas fueron la cubierta y el isomorfismo, ninguna de las cuales cambia el divisor de Cartier. Este divisor de Cartier puede usarse para producir un haz, que para distinguirlo notaremos L ( D ). Existe un isomorfismo de con L ( D ) definido al trabajar en la cubierta abierta { U _i }. El hecho clave a comprobar aquí es que las funciones de transición de y L ( D ) son compatibles, y esto equivale al hecho de que todas estas funciones tienen la forma ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}\to {\mathcal {O}}(D)|_{U_{i}}.}$ ${\displaystyle 1\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})=\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle f_{i}/f_{j}.}$

En la dirección opuesta, un divisor de Cartier sobre un esquema integral noetheriano X determina un divisor de Weil sobre X de manera natural, aplicando a las funciones f _i sobre los conjuntos abiertos U _i . ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ ${\displaystyle \operatorname {div} }$

Si X es normal, un divisor de Cartier está determinado por el divisor de Weil asociado, y un divisor de Weil es Cartier si y solo si es localmente principal.

Un esquema noetheriano X se llama factorial si todos los anillos locales de X son dominios de factorización únicos . ^[5] (Algunos autores dicen "localmente factorial".) En particular, cada esquema regular es factorial. ^[14] En un esquema factorial X , cada divisor de Weil D es localmente principal, y por lo tanto siempre es un fibrado de líneas. ^[7] En general, sin embargo, un divisor de Weil en un esquema normal no necesita ser localmente principal; vea los ejemplos de conos cuadráticos anteriores. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Divisores Cartier efectivos

Los divisores de Cartier efectivos son aquellos que corresponden a haces ideales. De hecho, la teoría de divisores de Cartier efectivos puede desarrollarse sin ninguna referencia a haces de funciones racionales o haces ideales fraccionarios.

Sea X un esquema. Un divisor de Cartier efectivo en X es un haz ideal I que es invertible y tal que para cada punto x en X , el tallo I _x es principal. Es equivalente a exigir que alrededor de cada x , exista un subconjunto afín abierto U = Spec A tal que U ∩ D = Spec A / ( f ) , donde f es un divisor distinto de cero en A . La suma de dos divisores de Cartier efectivos corresponde a la multiplicación de haces ideales.

Existe una buena teoría de familias de divisores de Cartier efectivos. Sea φ : X → S un morfismo. Un divisor de Cartier efectivo relativo para X sobre S es un divisor de Cartier efectivo D sobre X que es plano sobre S . Debido al supuesto de planitud, para cada hay un retroceso de D a y este retroceso es un divisor de Cartier efectivo. En particular, esto es cierto para las fibras de φ. ${\displaystyle S'\to S,}$ ${\displaystyle X\times _{S}S',}$

Lema de Kodaira

Como resultado básico del (gran) divisor de Cartier, hay un resultado llamado lema de Kodaira: ^{[15] [16]}

Sea X una variedad proyectiva irreducible y sea D un divisor de Cartier grande en X y sea H un divisor de Cartier efectivo arbitrario en X. Entonces

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD-H))\neq 0}$.

para todos suficientemente grandes . ${\displaystyle m\in N(X,D)}$

El lema de Kodaira da algunos resultados sobre el gran divisor.

Funcionalidad

Sea φ : X → Y un morfismo de esquemas noetherianos locales integrales. A menudo, aunque no siempre, es posible utilizar φ para transferir un divisor D de un esquema a otro. Que esto sea posible depende de si el divisor es un divisor de Weil o de Cartier, de si el divisor se va a mover de X a Y o viceversa, y de qué propiedades adicionales pueda tener φ.

Si Z es un divisor primo de Weil en X , entonces es un subesquema irreducible cerrado de Y . Dependiendo de φ , puede o no ser un divisor primo de Weil. Por ejemplo, si φ es la explosión de un punto en el plano y Z es el divisor excepcional, entonces su imagen no es un divisor de Weil. Por lo tanto, φ _* Z se define como si ese subesquema es un divisor primo y se define como el divisor cero en caso contrario. Extendiendo esto por linealidad, asumiendo que X es cuasi-compacto, se definirá un homomorfismo Div( X ) → Div( Y ) llamado pushforward . (Si X no es cuasi-compacto, entonces el pushforward puede no ser una suma localmente finita.) Este es un caso especial del pushforward en grupos de Chow. ${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$

Si Z es un divisor de Cartier, entonces, bajo hipótesis suaves sobre φ, hay un pullback . En teoría de haces, cuando hay una función de pullback , entonces este pullback se puede usar para definir el pullback de divisores de Cartier. En términos de secciones locales, el pullback de se define como . El pullback siempre se define si φ es dominante, pero no se puede definir en general. Por ejemplo, si X = Z y φ es la inclusión de Z en Y , entonces φ ^* Z no está definido porque las secciones locales correspondientes serían cero en todas partes. (Sin embargo, el pullback del fibrado de líneas correspondiente está definido). ${\displaystyle \varphi ^{*}Z}$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}{\mathcal {M}}_{Y}\to {\mathcal {M}}_{X}}$ ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ ${\displaystyle \{(\varphi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \varphi )\}}$

Si φ es plano, entonces se define el pullback de los divisores de Weil. En este caso, el pullback de Z es φ ^* Z = φ ⁻¹ ( Z ) . La planitud de φ garantiza que la imagen inversa de Z siga teniendo codimensión uno. Esto puede fallar para morfismos que no sean planos, por ejemplo, para una pequeña contracción.

La primera clase de Chern

Para un esquema noetheriano integral X , el homomorfismo natural del grupo de divisores de Cartier al de divisores de Weil da un homomorfismo

${\displaystyle c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),}$

conocida como la primera clase de Chern . ^{[17] [18]} La primera clase de Chern es inyectiva si X es normal, y es un isomorfismo si X es factorial (como se definió anteriormente). En particular, los divisores de Cartier se pueden identificar con los divisores de Weil en cualquier esquema regular, por lo que la primera clase de Chern es un isomorfismo para X regular.

Explícitamente, la primera clase de Chern puede definirse de la siguiente manera. Para un fibrado lineal L en un esquema noetheriano integral X , sea s una sección racional no nula de L (es decir, una sección en algún subconjunto abierto no vacío de L ), que existe por trivialidad local de L . Definamos el divisor de Weil ( s ) en X por analogía con el divisor de una función racional. Entonces la primera clase de Chern de L puede definirse como el divisor ( s ). Al cambiar la sección racional s , cambia este divisor por equivalencia lineal, ya que ( fs ) = ( f ) + ( s ) para una función racional no nula f y una sección racional no nula s de L . Por lo tanto, el elemento c ₁ ( L ) en Cl( X ) está bien definido.

Para una variedad compleja X de dimensión n , no necesariamente suave o propia sobre C , existe un homomorfismo natural, la función de ciclo , desde el grupo de clases divisorias hasta la homología de Borel–Moore :

${\displaystyle \operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).}$

El último grupo se define utilizando el espacio X ( C ) de puntos complejos de X , con su topología clásica (euclidiana). Asimismo, el grupo de Picard se mapea a cohomología integral , por la primera clase de Chern en el sentido topológico:

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).}$

Los dos homomorfismos están relacionados por un diagrama conmutativo , donde el mapa vertical derecho es el producto de la clase fundamental de X en la homología de Borel-Moore:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}}$

Para X suave sobre C , ambos mapas verticales son isomorfismos.

Secciones globales de haces de líneas y sistemas lineales

Un divisor de Cartier es efectivo si sus funciones locales definitorias f _i son regulares (no solo funciones racionales). En ese caso, el divisor de Cartier puede identificarse con un subesquema cerrado de codimensión 1 en X , el subesquema definido localmente por f _i = 0. Un divisor de Cartier D es linealmente equivalente a un divisor efectivo si y solo si su fibrado lineal asociado tiene una sección global distinta de cero s ; entonces D es linealmente equivalente al lugar geométrico cero de s . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Sea X una variedad proyectiva sobre un cuerpo k . Entonces, multiplicar una sección global de por un escalar distinto de cero en k no cambia su lugar geométrico cero. Como resultado, el espacio proyectivo de líneas en el espacio vectorial k de secciones globales H ⁰ ( X , O ( D )) puede identificarse con el conjunto de divisores efectivos linealmente equivalentes a D , llamado sistema lineal completo de D . Un subespacio lineal proyectivo de este espacio proyectivo se llama sistema lineal de divisores . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Una razón para estudiar el espacio de secciones globales de un fibrado lineal es entender las posibles aplicaciones de una variedad dada al espacio proyectivo. Esto es esencial para la clasificación de variedades algebraicas. Explícitamente, un morfismo de una variedad X al espacio proyectivo P ⁿ sobre un cuerpo k determina un fibrado lineal L en X , el pullback del fibrado lineal estándar en P ⁿ . Además, L viene con n +1 secciones cuyo lugar geométrico base (la intersección de sus conjuntos cero) está vacío. Por el contrario, cualquier fibrado lineal L con n +1 secciones globales cuyo lugar geométrico base común está vacío determina un morfismo X → P ⁿ . ^[19] Estas observaciones conducen a varias nociones de positividad para divisores de Cartier (o fibrados lineales), como divisores amplios y divisores nef . ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Para un divisor D en una variedad proyectiva X sobre un cuerpo k , el espacio vectorial k H ⁰ ( X , O ( D )) tiene dimensión finita. El teorema de Riemann-Roch es una herramienta fundamental para calcular la dimensión de este espacio vectorial cuando X es una curva proyectiva. Generalizaciones sucesivas, el teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch y el teorema de Grothendieck–Riemann–Roch , dan alguna información sobre la dimensión de H ⁰ ( X , O ( D )) para una variedad proyectiva X de cualquier dimensión sobre un cuerpo.

Debido a que el divisor canónico está intrínsecamente asociado a una variedad, las aplicaciones al espacio proyectivo dadas por K _X y sus múltiplos positivos desempeñan un papel clave en la clasificación de las variedades. La dimensión Kodaira de X es un invariante biracional clave , que mide el crecimiento de los espacios vectoriales H ⁰ ( X , mK _X ) (es decir, H ⁰ ( X , O ( mK _X ))) a medida que m aumenta. La dimensión Kodaira divide todas las variedades n -dimensionales en n +2 clases, que (muy aproximadamente) van de curvatura positiva a curvatura negativa.

Divisores Q

Sea X una variedad normal. Un Q -divisor (Weil) es una combinación lineal formal finita de subvariedades irreducibles de codimensión 1 de X con coeficientes racionales. (Un R -divisor se define de manera similar). Un Q -divisor es efectivo si los coeficientes son no negativos. Un Q -divisor D es Q-Cartier si mD es un divisor de Cartier para algún entero positivo m . Si X es suave, entonces cada Q -divisor es Q -Cartier.

Si

${\displaystyle D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}}$

es un Q -divisor, entonces su redondeo hacia abajo es el divisor

${\displaystyle \lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},}$

donde es el mayor entero menor o igual a a . El haz se define entonces como ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).}$

El teorema del hiperplano de Grothendieck-Lefschetz

El teorema del hiperplano de Lefschetz implica que para una variedad proyectiva compleja suave X de dimensión al menos 4 y un divisor amplio suave Y en X , la restricción Pic( X ) → Pic( Y ) es un isomorfismo. Por ejemplo, si Y es una variedad de intersección completa suave de dimensión al menos 3 en el espacio proyectivo complejo, entonces el grupo de Picard de Y es isomorfo a Z , generado por la restricción del fibrado de líneas O (1) en el espacio proyectivo.

Grothendieck generalizó el teorema de Lefschetz en varias direcciones, involucrando cuerpos base arbitrarios, variedades singulares y resultados en anillos locales en lugar de variedades proyectivas. En particular, si R es un anillo local de intersección completo que es factorial en codimensión como máximo 3 (por ejemplo, si el lugar geométrico no regular de R tiene codimensión como mínimo 4), entonces R es un dominio de factorización único (y por lo tanto cada divisor de Weil en Spec( R ) es Cartier). ^[21] El límite de dimensión aquí es óptimo, como lo muestra el ejemplo del cono cuadrático tridimensional, arriba.

Notas

1. Dieudonné (1985), sección VI.6.
2. Proyecto Stacks, etiqueta 00PF.
3. Proyecto Stacks, Etiqueta 02MC.
4. Proyecto Stacks, Etiqueta 02MD.
5. Kollár (2013), Notación 1.2.
6. Hartshorne (1977), Proposición II.6.5.
7. Hartshorne (1977), Proposición II.6.2.
8. Proyecto Stacks, Etiqueta 02RS.
9. Kleiman (2005), Teoremas 2.5 y 5.4, Observación 6.19.
10. Hartshorne (1977), Ejemplo II.6.5.2.
11. Hartshorne (1977), Ejercicio II.6.5.
12. Grothendieck, EGA IV, Parte 4, Proposición 21.3.4, Corolario 21.3.5.
13. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.1.6.
14. Proyecto Stacks, Etiqueta 0AFW.
15. "Capítulo 2. Preliminares". Fundamentos del programa de modelo mínimo . Memorias de la Sociedad Matemática de Japón. 2017. págs. 16-47. doi :10.2969/msjmemoirs/03501C020. ISBN 978-4-86497-045-7.
16. (Lazarsfeld 2004, p. 141, Proposición 2.2.6.)
17. Para una variedad X sobre un cuerpo, las clases de Chern de cualquier fibrado vectorial en X actúan por producto de cap en los grupos de Chow de X , y el homomorfismo aquí puede describirse como L ↦ c ₁ ( L ) ∩ [ X ].
18. Eisenbud y Harris 2016, § 1.4.
19. Hartshorne (1977), Teorema II.7.1.
20. (Lazarsfeld 2004, Capítulo 1)
21. Grothendieck, SGA 2, Corolario XI.3.14.

Referencias

• Dieudonné, Jean (1985), Historia de la geometría algebraica , Wadsworth Mathematics Series, traducido por Judith D. Sally , Belmont, CA: Wadsworth International Group, ISBN 0-534-03723-2, Sr.  0780183
• Eisenbud, David; Harris, Joe (2016), 3264 y todo eso: un segundo curso de geometría algebraica , CUP, ISBN 978-1107602724
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. doi :10.1007/bf02732123. SEÑOR  0238860.
• Grothendieck, Alejandro ; Raynaud, Michèle (2005) [1968], Laszlo, Yves (ed.), Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2) , Documents Mathématiques, vol. 4, París: Société Mathématique de France , arXiv : math/0511279 , Bibcode :2005math.....11279G, ISBN 978-2-85629-169-6, Sr.  2171939
• Sección II.6 de Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4757-3849-0, ISBN 0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Kleiman, Steven (2005), "El esquema de Picard", Geometría algebraica fundamental , Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 235–321, arXiv : math/0504020 , Bibcode :2005math......4020K, MR  2223410
• Kollár, János (2013), Singularidades del programa modelo mínimo , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781139547895, ISBN 978-1-107-03534-8, Sr.  3057950
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positividad en geometría algebraica , vol. 1, Berlín: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 3-540-22533-1, Sr.  2095471

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