Divisor efectivo relativo de Cartier

En geometría algebraica , un divisor de Cartier efectivo relativo es aproximadamente una familia de divisores de Cartier efectivos . Precisamente, un divisor de Cartier efectivo en un esquema X sobre un anillo R es un subesquema cerrado D de X que (1) es plano sobre R y (2) el haz ideal de D es localmente libre de rango uno (es decir, haz invertible). Equivalentemente, un subesquema cerrado D de X es un divisor de Cartier efectivo si hay una cubierta afín abierta de X y divisores no nulos tales que la intersección está dada por la ecuación (llamadas ecuaciones locales) y es plana sobre R y tales que son compatibles. ${\displaystyle I(D)}$ ${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle D\cap U_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}=0}$ ${\displaystyle A/f_{i}A}$

Un divisor de Cartier eficaz como lugar geométrico cero de una sección de un fibrado lineal

Sea L un fibrado lineal en X y s una sección del mismo tal que (en otras palabras, s es un elemento regular para cualquier subconjunto abierto U ). ${\displaystyle s:{\mathcal {O}}_{X}\hookrightarrow L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$

Elijamos una cubierta abierta de X tal que . Para cada i , a través de los isomorfismos, la restricción corresponde a un divisor distinto de cero de . Ahora, definamos el subesquema cerrado de X (llamado lugar geométrico cero de la sección s ) mediante ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle L|_{U_{i}}\simeq {\mathcal {O}}_{X}|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})}$ ${\displaystyle \{s=0\}}$

${\displaystyle \{s=0\}\cap U_{i}=\{f_{i}=0\},}$

donde el lado derecho significa el subesquema cerrado de dado por el haz ideal generado por . Esto está bien definido (es decir, concuerdan en las superposiciones) ya que es un elemento unitario. Por la misma razón, el subesquema cerrado es independiente de la elección de trivializaciones locales. ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}/f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$ ${\displaystyle \{s=0\}}$

De manera equivalente, el lugar geométrico cero de s se puede construir como una fibra de un morfismo; es decir, considerando L como el espacio total de este, la sección s es un X -morfismo de L : un morfismo tal que s seguido de es la identidad. Entonces se puede construir como el producto de la fibra de s y la incrustación de sección cero . ${\displaystyle s:X\to L}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \{s=0\}}$ ${\displaystyle s_{0}:X\to L}$

Finalmente, cuando es plano sobre el esquema base S , es un divisor de Cartier efectivo sobre X sobre S . Además, esta construcción agota todos los divisores de Cartier efectivos sobre X de la siguiente manera. Sea D un divisor de Cartier efectivo y denote el haz ideal de D . Debido a la libertad local, tomando de da la secuencia exacta ${\displaystyle \{s=0\}}$ ${\displaystyle I(D)}$ ${\displaystyle I(D)^{-1}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}-}$ ${\displaystyle 0\to I(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to I(D)^{-1}\to I(D)^{-1}\otimes {\mathcal {O}}_{D}\to 0}$

En particular, 1 en se puede identificar con una sección en , que denotamos por . ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle \Gamma (X,I(D)^{-1})}$ ${\displaystyle s_{D}}$

Ahora podemos repetir el argumento anterior con . Puesto que D es un divisor de Cartier efectivo, D tiene localmente la forma en para algún divisor distinto de cero f en A . La trivialización se da por la multiplicación por f ; en particular, 1 corresponde a f . Por lo tanto, el lugar geométrico cero de es D . ${\displaystyle L=I(D)^{-1}}$ ${\displaystyle \{f=0\}}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle L|_{U}=Af^{-1}{\overset {\sim }{\to }}A}$ ${\displaystyle s_{D}}$

Propiedades

• Si D y D' son divisores de Cartier efectivos, entonces la suma es el divisor de Cartier efectivo definido localmente como si f , g dieran ecuaciones locales para D y D' . ${\displaystyle D+D'}$ ${\displaystyle fg=0}$
• Si D es un divisor de Cartier efectivo y es un homomorfismo de anillo, entonces es un divisor de Cartier efectivo en . ${\displaystyle R\to R'}$ ${\displaystyle D\times _{R}R'}$ ${\displaystyle X\times _{R}R'}$
• Si D es un divisor de Cartier efectivo y un morfismo plano sobre R , entonces es un divisor de Cartier efectivo en X' con el haz ideal . ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle D'=D\times _{X}X'}$ ${\displaystyle I(D')=f^{*}(I(D))}$

Ejemplos

Paquete de hiperplanos

Divisores efectivos de Cartier en una curva relativa

De ahora en adelante supongamos que X es una curva suave (aún sobre R ). Sea D un divisor de Cartier efectivo en X y supongamos que es propio sobre R (lo cual es inmediato si X es propio). Entonces es un R -módulo localmente libre de rango finito. Este rango se llama grado de D y se denota por . Es una función localmente constante en . Si D y D' son divisores de Cartier efectivos propios, entonces es propio sobre R y . Sea un morfismo plano finito. Entonces . ^[1] Por otro lado, un cambio de base no cambia el grado: . ^[2] ${\displaystyle \Gamma (D,{\mathcal {O}}_{D})}$ ${\displaystyle \deg D}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle D+D'}$ ${\displaystyle \deg(D+D')=\deg(D)+\deg(D')}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle \deg(f^{*}D)=\deg(f)\deg(D)}$ ${\displaystyle \deg(D\times _{R}R')=\deg(D)}$

Un subesquema cerrado D de X es finito, plano y de presentación finita si y sólo si es un divisor de Cartier efectivo que es propio sobre R . ^[3]

Divisores de Weil asociados a divisores efectivos de Cartier

Dado un divisor de Cartier efectivo D , hay dos formas equivalentes de asociarle el divisor de Weil . ${\displaystyle [D]}$

Notas

1. Katz y Mazur 1985, Lema 1.2.8.
2. Katz y Mazur 1985, Lema 1.2.9.
3. Katz y Mazur 1985, Lema 1.2.3.

Referencias

• Katz, Nicholas M ; Mazur, Barry (1985). Módulos aritméticos de curvas elípticas . Princeton University Press . ISBN 0-691-08352-5.