En álgebra conmutativa , un anillo de intersección completo es un anillo conmutativo similar a los anillos de coordenadas de variedades que son intersecciones completas . De manera informal, se los puede considerar aproximadamente como anillos locales que se pueden definir utilizando el número "mínimo posible" de relaciones.
Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones:
Un anillo de intersección completo local es un anillo local noetheriano cuya completitud es el cociente de un anillo local regular por un ideal generado por una secuencia regular . Tomar la completitud es una complicación técnica menor causada por el hecho de que no todos los anillos locales son cocientes de anillos regulares. Para los anillos que son cocientes de anillos locales regulares, lo que cubre la mayoría de los anillos locales que ocurren en geometría algebraica, no es necesario tomar completitud en la definición.
Existe una definición intrínseca alternativa que no depende de la incrustación del anillo en un anillo local regular. Si R es un anillo local noetheriano con ideal máximo m , entonces la dimensión de m / m 2 se llama dimensión de incrustación emb dim ( R ) de R . Defina un álgebra graduada H ( R ) como la homología del complejo de Koszul con respecto a un sistema mínimo de generadores de m / m 2 ; hasta el isomorfismo esto solo depende de R y no de la elección de los generadores de m . La dimensión de H 1 ( R ) se denota por ε 1 y se llama la primera desviación de R ; se anula si y solo si R es regular. Un anillo local noetheriano se llama anillo de intersección completo si su dimensión de incrustación es la suma de la dimensión y la primera desviación:
También existe una caracterización recursiva de los anillos de intersección completos locales que se puede utilizar como definición, como sigue. Supóngase que R es un anillo local noetheriano completo. Si R tiene dimensión mayor que 0 y x es un elemento en el ideal maximal que no es divisor de cero, entonces R es un anillo de intersección completo si y solo si R /( x ) lo es. (Si el ideal maximal consiste enteramente en divisores de cero, entonces R no es un anillo de intersección completo). Si R tiene dimensión 0, entonces Wiebe (1969) demostró que es un anillo de intersección completo si y solo si el ideal de ajuste de su ideal maximal es distinto de cero.
Los anillos locales regulares son anillos de intersección completos, pero lo inverso no es cierto: el anillo es un anillo de intersección completo de dimensión 0 que no es regular.
Un ejemplo de un anillo de intersección localmente completo que no es un anillo de intersección completo lo da el cual tiene una longitud de 3 ya que es isomorfo como espacio vectorial a . [1]
Los anillos locales de intersección completa son anillos de Gorenstein , pero lo inverso no es cierto: el anillo es un anillo de Gorenstein de dimensión 0 que no es un anillo de intersección completa. Como espacio vectorial, este anillo es isomorfo a
lo que demuestra que es Gorenstein ya que el componente de grado superior es dimensión y satisface la propiedad de Poincaré. No es un anillo de intersección completo local porque el ideal no es -regular. Por ejemplo, es un divisor de cero a en .
![{\displaystyle k[x]/(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152b7c94aa6b8a03eb284cc318ae1cfc2164b8cf)
![{\displaystyle k[x,y]/(yx^{2},x^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac119c9b7d89d85997eafa27ce80ec802afaa9b9)
![{\displaystyle k[x,y,z]/(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)=R/I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82da7195df38ebe3716551475ae004199d14c18)
![{\displaystyle {\frac {k[x,y,z]}{(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)}}\cong R_{0}\omás R_{1}\omás R_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809f08395b3784eccac59b30cc4f4c83ae1d383f)
