Homología de Borel-Moore

Teoría de homología para espacios localmente compactos

En topología , la homología de Borel−Moore u homología con soporte cerrado es una teoría de homología para espacios localmente compactos , introducida por Armand Borel y John Moore en 1960. ^[1]

Para espacios razonablemente compactos , la homología de Borel-Moore coincide con la homología singular habitual . Para espacios no compactos, cada teoría tiene sus propias ventajas. En particular, una subvariedad orientada cerrada define una clase en la homología de Borel-Moore, pero no en la homología ordinaria a menos que la subvariedad sea compacta.

Nota: La cohomología equivariante de Borel es un invariante de espacios con una acción de un grupo G ; se define como Que no está relacionado con el tema de este artículo. ${\displaystyle H_{G}^{*}(X)=H^{*}((EG\times X)/G).}$

Definición

Existen varias formas de definir la homología de Borel−Moore. Todas coinciden para espacios razonables, como variedades y complejos CW localmente finitos .

Definición por cohomología de haces

Para cualquier espacio localmente compacto X , la homología de Borel-Moore con coeficientes integrales se define como la cohomología del dual del complejo de cadena que calcula la cohomología del haz con soporte compacto. ^[2] Como resultado, hay una secuencia exacta corta análoga al teorema del coeficiente universal :

$${\displaystyle 0\to {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} }^{1}(H_{c}^{i+1}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\to H_{i}^{BM}(X,\mathbb {Z} )\to {\text{Hom}}(H_{c}^{i}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\to 0.}$$

En lo que sigue no se escriben los coeficientes. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Definición mediante cadenas finitas locales

La homología singular de un espacio topológico X se define como la homología del complejo de cadenas de cadenas singulares, es decir, combinaciones lineales finitas de aplicaciones continuas del símplex a X . La homología de Borel−Moore de un espacio localmente compacto razonable X , por otra parte, es isomorfa a la homología del complejo de cadenas de cadenas singulares localmente finitas . Aquí "razonable" significa que X es localmente contráctil, σ-compacto y de dimensión finita. ^[3]

Con más detalle, sea el grupo abeliano de sumas formales (infinitas) ${\displaystyle C_{i}^{BM}(X)}$

$${\displaystyle u=\sum _{\sigma }a_{\sigma }\sigma ,}$$

donde σ recorre el conjunto de todas las funciones continuas desde el i -simplex estándar Δ ⁱ hasta X y cada a _σ es un entero, de modo que para cada subconjunto compacto K de X , tenemos solo un número finito de σ cuya imagen cumple con K . Entonces, la definición habitual del límite ∂ de una cadena singular convierte estos grupos abelianos en un complejo de cadena: ${\displaystyle a_{\sigma }\neq 0}$

$${\displaystyle \cdots \to C_{2}^{BM}(X)\to C_{1}^{BM}(X)\to C_{0}^{BM}(X)\to 0.}$$

Los grupos de homología de Borel−Moore son los grupos de homología de este complejo de cadena. Es decir, ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}$

$${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=\ker \left(\partial :C_{i}^{BM}(X)\to C_{i-1}^{BM}(X)\right)/{\text{im}}\left(\partial :C_{i+1}^{BM}(X)\to C_{i}^{BM}(X)\right).}$$

Si X es compacto, entonces toda cadena localmente finita es de hecho finita. Por lo tanto, dado que X es "razonable" en el sentido anterior, la homología de Borel−Moore coincide con la homología singular habitual para X compacto. ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}$ ${\displaystyle H_{i}(X)}$

Definición por compactificación

Supóngase que X es homeomorfo al complemento de un subcomplejo cerrado S en un complejo CW finito Y . Entonces la homología de Borel-Moore es isomorfa a la homología relativa H _i ( Y , S ). Bajo el mismo supuesto sobre X , la compactificación de un punto de X es homeomorfa a un complejo CW finito. Como resultado, la homología de Borel-Moore puede verse como la homología relativa de la compactificación de un punto con respecto al punto añadido. ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}$

Definición por dualidad de Poincaré

Sea X cualquier espacio localmente compacto con una incrustación cerrada en una variedad orientada M de dimensión m . Entonces

$${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=H^{m-i}(M,M\setminus X),}$$

donde en el lado derecho se hace referencia a la cohomología relativa . ^[4]

Definición a través del complejo dualizante

Para cualquier espacio localmente compacto X de dimensión finita, sea D _X el complejo dualizante de X . Entonces

$${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=\mathbb {H} ^{-i}(X,D_{X}),}$$

donde en el lado derecho se hace referencia a la hipercohomología . ^[5]

Propiedades

La homología de Borel−Moore es un funtor covariante con respecto a las funciones propias . Es decir, una función propia f : X → Y induce un homomorfismo de empuje hacia adelante para todos los enteros i . A diferencia de la homología ordinaria, no hay empuje hacia adelante en la homología de Borel−Moore para una función continua arbitraria f . Como contraejemplo, se puede considerar la inclusión no propia ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(Y)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\to \mathbb {R} ^{2}.}$

La homología de Borel−Moore es un funtor contravariante con respecto a las inclusiones de subconjuntos abiertos. Es decir, para U abierto en X , existe un pullback natural u homomorfismo de restricción . ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U).}$

Para cualquier espacio localmente compacto X y cualquier subconjunto cerrado F , con el complemento, existe una secuencia de localización exacta larga : ^[6] ${\displaystyle U=X\setminus F}$ $${\displaystyle \cdots \to H_{i}^{BM}(F)\to H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U)\to H_{i-1}^{BM}(F)\to \cdots }$$

La homología de Borel−Moore es invariante en homotopía en el sentido de que para cualquier espacio X , existe un isomorfismo. El cambio de dimensión significa que la homología de Borel−Moore no es invariante en homotopía en el sentido ingenuo. Por ejemplo, la homología de Borel−Moore del espacio euclidiano es isomorfa a en grado n y es cero en los demás casos. ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i+1}^{BM}(X\times \mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La dualidad de Poincaré se extiende a variedades no compactas utilizando la homología de Borel-Moore. Es decir, para una variedad n orientada X , la dualidad de Poincaré es un isomorfismo de la cohomología singular a la homología de Borel-Moore, para todos los enteros i . Una versión diferente de la dualidad de Poincaré para variedades no compactas es el isomorfismo de la cohomología con soporte compacto a la homología usual: $${\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X)}$$ $${\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X).}$$

Una ventaja clave de la homología de Borel−Moore es que cada variedad orientada M de dimensión n (en particular, cada variedad algebraica compleja lisa ), no necesariamente compacta, tiene una clase fundamental Si la variedad M tiene una triangulación , entonces su clase fundamental está representada por la suma de todos los símplices de dimensión superior. De hecho, en la homología de Borel−Moore, se puede definir una clase fundamental para variedades complejas arbitrarias (posiblemente singulares). En este caso, el complemento del conjunto de puntos lisos tiene codimensión (real) al menos 2, y por la larga secuencia exacta por encima de las homologías de dimensión superior de M y son canónicamente isomorfas. La clase fundamental de M se define entonces como la clase fundamental de . ^[7] ${\displaystyle [M]\in H_{n}^{BM}(M).}$ ${\displaystyle M^{\text{reg}}\subset M}$ ${\displaystyle M^{\text{reg}}}$ ${\displaystyle M^{\text{reg}}}$

Ejemplos

Espacios compactos

Dado un espacio topológico compacto, su homología de Borel-Moore concuerda con su homología estándar; es decir, ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle H_{*}^{BM}(X)\cong H_{*}(X)}$$

Línea real

El primer cálculo no trivial de la homología de Borel-Moore es de la línea real. Primero observe que cualquier cadena es cohomóloga a . Como esto se reduce al caso de un punto , observe que podemos tomar la cadena de Borel-Moore ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sigma =\sum _{i=0}^{\infty }1\cdot [p+i,p+i+1]}$$

Como el límite de esta cadena es y el punto inexistente en el infinito, el punto es cohomólogo a cero. Ahora, podemos tomar la cadena de Borel-Moore ${\displaystyle \partial \sigma =p}$

$${\displaystyle \sigma =\sum _{-\infty <k<\infty }[k,k+1]}$$

que no tiene límite, por lo tanto es una clase de homología. Esto demuestra que

$${\displaystyle H_{k}^{BM}(\mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Espacio n real

El cálculo anterior se puede generalizar al caso que obtenemos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

$${\displaystyle H_{k}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Cilindro infinito

Usando la descomposición de Kunneth, podemos ver que el cilindro infinito tiene homología ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

$${\displaystyle H_{k}^{BM}(S^{1}\times \mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\\mathbb {Z} &k=2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Espacio n real menos un punto

Usando la secuencia exacta larga en la homología de Borel-Moore, obtenemos (para ) las secuencias exactas distintas de cero ${\displaystyle n>1}$

$${\displaystyle 0\to H_{n}^{BM}(\{0\})\to H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\to H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to 0}$$

y

$${\displaystyle 0\to H_{1}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to H_{0}^{BM}(\{0\})\to H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\to H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to 0}$$

De la primera secuencia obtenemos que

$${\displaystyle H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\cong H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}$$

y a partir del segundo obtenemos que

$${\displaystyle H_{1}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\cong H_{0}^{BM}(\{0\})}$$y

$${\displaystyle 0\cong H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\cong H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}$$

Podemos interpretar estas clases de homología distintas de cero utilizando las siguientes observaciones:

1. Existe la equivalencia de homotopía ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}.}$
2. Un isomorfismo topológico ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\cong S^{n-1}\times \mathbb {R} _{>0}.}$

Por lo tanto, podemos utilizar el cálculo para el cilindro infinito para interpretar como la clase de homología representada por y como ${\displaystyle H_{n}^{BM}}$ ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle H_{1}^{BM}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}.}$

Plano con puntos eliminados

Sea -puntos distintos eliminados. Observe que el cálculo anterior con el hecho de que la homología de Borel-Moore es un invariante de isomorfismo da este cálculo para el caso . En general, encontraremos una -clase correspondiente a un bucle alrededor de un punto, y la clase fundamental en . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}-\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle H_{2}^{BM}}$

Cono doble

Consideremos el cono doble . Si tomamos entonces la secuencia larga exacta muestra ${\displaystyle X=\mathbb {V} (x^{2}+y^{2}-z^{2})\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle U=X\setminus \{0\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\\H_{1}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} \\H_{k}^{BM}(X)&=0&&{\text{ for }}k\not \in \{1,2\}\end{aligned}}}$$

Curva de género dos con tres puntos eliminados

Dada una curva de género dos ( superficie de Riemann ) y tres puntos , podemos usar la secuencia exacta larga para calcular la homología de Borel-Moore de Esto da ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U=X\setminus F.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}^{BM}(F)\to &H_{2}^{BM}(X)\to H_{2}^{BM}(U)\\\to H_{1}^{BM}(F)\to &H_{1}^{BM}(X)\to H_{1}^{BM}(U)\\\to H_{0}^{BM}(F)\to &H_{0}^{BM}(X)\to H_{0}^{BM}(U)\to 0\end{aligned}}}$$

Ya que solo tenemos tres puntos ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle H_{1}^{BM}(F)=H_{2}^{BM}(F)=0.}$$

Esto nos da que, usando la dualidad de Poincaré, podemos calcular ${\displaystyle H_{2}^{BM}(U)=\mathbb {Z} .}$

$${\displaystyle H_{0}^{BM}(U)=H^{2}(U)=0,}$$

ya que la deformación se retrae a un complejo CW unidimensional. Finalmente, utilizando el cálculo para la homología de una curva compacta de género 2, nos quedamos con la secuencia exacta ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\oplus 4}\to H_{1}^{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 3}\to \mathbb {Z} \to 0}$$

demostración

$${\displaystyle H_{1}^{BM}(U)\cong \mathbb {Z} ^{\oplus 6}}$$

ya que tenemos la secuencia corta y exacta de grupos abelianos libres

$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\oplus 4}\to H_{1}^{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to 0}$$

de la secuencia anterior.

Notas

1. Borel y Moore 1960.
2. Birger Iversen. Cohomología de gavillas. Sección IX.1.
3. Glen Bredon. Teoría de haces. Corolario V.12.21.
4. Birger Iversen. Cohomología de gavillas. Teorema IX.4.7.
5. Birger Iversen. Cohomología de gavillas. Ecuación IX.4.1.
6. Birger Iversen. Cohomología de gavillas. Ecuación IX.2.1.
7. William Fulton. Teoría de la intersección. Lema 19.1.1.

Referencias

Artículos de encuesta

• Goresky, Mark , Manual sobre gavillas (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 2017-09-27

Libros

• Borel, Armand ; Moore, John C. (1960). "Teoría de homología para espacios localmente compactos". Michigan Mathematical Journal . 7 (2): 137–159. doi : 10.1307/mmj/1028998385 . ISSN  0026-2285. MR  0131271.
• Bredon, Glen E. (1997). Teoría de la gavilla (2ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94905-5.Señor 1481706  .
• Fulton, William (1998). Teoría de la intersección (2.ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-62046-4.Señor 1644323  .
• Iversen, Birger (1986). Cohomología de gavillas . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-16389-1.Sr. 0842190  .