Cohomología con soporte compacto.

En matemáticas, la cohomología con soporte compacto se refiere a ciertas teorías de cohomología, generalmente con alguna condición que requiere que las cociclos tengan soporte compacto.

Cohomología singular con soporte compacto.

Sea un espacio topológico. Entonces ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \displaystyle H_{c}^{\ast }(X;R):=\varinjlim _{K\subseteq X\,{\text{compact}}}H^{\ast }(X,X\setminus K;R)}$

Por definición, esta es la cohomología del complejo de subcadenas que consta de todas las cocadenas singulares que tienen soporte compacto en el sentido de que existe algún compacto tal que desaparece en todas las cadenas en . ${\displaystyle C_{c}^{\ast }(X;R)}$ ${\displaystyle \phi :C_{i}(X;R)\to R}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X\setminus K}$

Definición funcional

Sea un espacio topológico y el mapa al punto. Usando la imagen directa y la imagen directa con functores de soporte compactos , se puede definir cohomología y cohomología con soporte compacto de un haz de grupos abelianos como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \star }$ ${\displaystyle p_{*},p_{!}:{\text{Sh}}(X)\to {\text{Sh}}(\star )={\text{Ab}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\ =\ R^{i}p_{*}{\mathcal {F}},}$

${\displaystyle \displaystyle H_{c}^{i}(X,{\mathcal {F}})\ =\ R^{i}p_{!}{\mathcal {F}}.}$

Tomando por la gavilla constante con coeficientes en un anillo se recupera la definición anterior. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle R}$

Cohomología de Rham con soporte compacto para colectores lisos

Dada una variedad X , sea el espacio vectorial real de k -formas en X con soporte compacto, y d sea la derivada exterior estándar . Entonces los grupos de cohomología de De Rham con soporte compacto son la homología del complejo de cadenas : ${\displaystyle \Omega _{\mathrm {c} }^{k}(X)}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$ ${\displaystyle (\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X),d)}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathrm {c} }^{0}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{1}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{2}(X)\to \cdots }$

es decir , es el espacio vectorial de las formas q cerradas módulo del de las formas q exactas . ${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$

A pesar de su definición como homología de un complejo ascendente, los grupos de De Rham con apoyo compacto demuestran un comportamiento covariante ; por ejemplo, dada la asignación de inclusión j para un conjunto abierto U de X , la extensión de las formas de U a X (definiéndolas como 0 en X – U ) es una aplicación que induce una aplicación ${\displaystyle j_{*}:\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(U)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X)}$

${\displaystyle j_{*}:H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$.

También demuestran un comportamiento contravariante con respecto a mapas adecuados , es decir, mapas tales que la imagen inversa de cada conjunto compacto es compacta. Sea f : Y → X tal aplicación; luego el retroceso

${\displaystyle f^{*}:\Omega _{\mathrm {c} }^{q}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{q}(Y)\sum _{I}g_{I}\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{q}}\mapsto \sum _{I}(g_{I}\circ f)\,d(x_{i_{1}}\circ f)\wedge \ldots \wedge d(x_{i_{q}}\circ f)}$

induce un mapa

${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(Y)}$.

Si Z es una subvariedad de X y U = X – Z es el conjunto abierto complementario, existe una secuencia exacta larga

${\displaystyle \cdots \to H_{\mathrm {c} }^{q}(U){\overset {j_{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {i^{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(Z){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U)\to \cdots }$

llamada secuencia larga exacta de cohomología con soporte compacto. Tiene numerosas aplicaciones, como el teorema de la curva de Jordan , que se obtiene para X = R² y Z una curva cerrada simple en X.

La cohomología de De Rham con soporte compacto satisface una secuencia covariante de Mayer-Vietoris : si U y V son conjuntos abiertos que cubren X , entonces

${\displaystyle \cdots \to H_{\mathrm {c} }^{q}(U\cap V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\oplus H_{\mathrm {c} }^{q}(V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U\cap V)\to \cdots }$

donde todos los mapas son inducidos por extensión por cero también es exacto.

Ver también

• Homología de Borel-Moore
• Dualidad de Poincaré
• Gavilla construible
• categoría derivada

Referencias

• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, señor  0842190
• Raoul Bott y Loring W. Tu (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, Springer-Verlag
• "Cohomología con apoyo y dualidad de Poincaré". Intercambio de pila .