clase euler

Clase característica de paquetes de vectores reales orientados.

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , la clase de Euler es una clase característica de haces de vectores reales orientados . Al igual que otras clases de características, mide qué tan "torcido" está el paquete de vectores. En el caso del fibrado tangente de una variedad suave , generaliza la noción clásica de característica de Euler . Por esta razón lleva el nombre de Leonhard Euler .

A lo largo de este artículo se muestra un conjunto de vectores reales y orientados de rango sobre un espacio base . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$

Definicion formal

La clase de Euler es un elemento del grupo de cohomología integral. ${\displaystyle e(E)}$

${\displaystyle H^{r}(X;\mathbf {Z} ),}$

construido de la siguiente manera. Una orientación de cantidades hacia una elección continua del generador de la cohomología ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{r}(\mathbf {R} ^{r},\mathbf {R} ^{r}\setminus \{0\};\mathbf {Z} )\cong {\tilde {H}}^{r-1}(S^{r-1};\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} }$

de cada fibra con respecto al complemento de cero. A partir del isomorfismo de Thom , esto induce una clase de orientación. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{r}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle u\in H^{r}(E,E\setminus E_{0};\mathbf {Z} )}$

en la cohomología de relativa al complemento de la sección cero . las inclusiones ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\setminus E_{0}}$ ${\displaystyle E_{0}}$

${\displaystyle (X,\emptyset )\hookrightarrow (E,\emptyset )\hookrightarrow (E,E\setminus E_{0}),}$

donde incluye como sección cero, induce mapas ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{r}(E,E\setminus E_{0};\mathbf {Z} )\to H^{r}(E;\mathbf {Z} )\to H^{r}(X;\mathbf {Z} ).}$

La clase de Euler e ( E ) es la imagen de u bajo la composición de estos mapas.

Propiedades

La clase de Euler satisface estas propiedades, que son axiomas de una clase característica:

• Funcionalidad: si es otro paquete de vectores reales orientado y es continuo y está cubierto por un mapa que conserva la orientación , entonces . En particular, . ${\displaystyle F\to Y}$ ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ ${\displaystyle F\to E}$ ${\displaystyle e(F)=f^{*}(e(E))}$ ${\displaystyle e(f^{*}(E))=f^{*}(e(E))}$
• Fórmula de la suma de Whitney : sies otro paquete de vectores reales orientado, entonces la clase de Euler de su suma directa viene dada por ${\displaystyle F\to X}$ ${\displaystyle e(E\oplus F)=e(E)\smile e(F).}$
• Normalización: si posee una sección sin cero, entonces . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e(E)=0}$
• Orientación: Si es con la orientación opuesta, entonces . ${\displaystyle {\overline {E}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e({\overline {E}})=-e(E)}$

Tenga en cuenta que la "normalización" es una característica distintiva de la clase Euler. La clase de Euler obstruye la existencia de una sección que no desaparece en el sentido de que no tiene ninguna sección que no desaparece. ${\displaystyle e(E)\neq 0}$ ${\displaystyle E}$

Además, a diferencia de otras clases de características, se concentra en un grado que depende del rango del paquete: . Por el contrario, las clases Stiefel Whitney viven independientemente del rango de . Esto refleja el hecho de que la clase de Euler es inestable, como se analiza a continuación. ${\displaystyle e(E)\in H^{r}(X)}$ ${\displaystyle w_{i}(E)}$ ${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle E}$

Lugar de desaparición de la sección genérica.

La clase de Euler corresponde al lugar de desaparición de una sección de de la siguiente manera. Supongamos que es una variedad lisa orientada de dimensión . Sea una sección suave que corte transversalmente a la sección cero. Sea el lugar cero de . Entonces es una subvariedad de codimensión de la cual representa una clase de homología y es el dual de Poincaré . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \sigma \colon X\to E}$ ${\displaystyle Z\subseteq X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [Z]\in H_{d-r}(X;\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle e(E)}$ ${\displaystyle [Z]}$

Autointersección

Por ejemplo, si es una subvariedad compacta, entonces la clase de Euler del paquete normal de in se identifica naturalmente con la autointersección de in . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Relaciones con otras invariantes

En el caso especial en el que el paquete E en cuestión es el paquete tangente de una variedad compacta, orientada y de r dimensiones, la clase de Euler es un elemento de la cohomología superior de la variedad, que se identifica naturalmente con los números enteros al evaluar las clases de cohomología. sobre la clase de homología fundamental . Bajo esta identificación, la clase de Euler del fibrado tangente es igual a la característica de Euler de la variedad. En el lenguaje de los números característicos , la característica de Euler es el número característico correspondiente a la clase de Euler.

Por tanto, la clase de Euler es una generalización de la característica de Euler a paquetes de vectores distintos de los paquetes tangentes. A su vez, la clase de Euler es el arquetipo de otras clases características de paquetes de vectores, en el sentido de que cada clase característica "superior" es igual a la clase Euler, como sigue.

Modificar en 2 induce un mapa

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {Z} )\to H^{r}(X,\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ).}$

La imagen de la clase Euler debajo de este mapa es la clase superior de Stiefel-Whitney w _r ( E ). Se puede ver esta clase de Stiefel-Whitney como "la clase de Euler, ignorando la orientación".

Cualquier paquete de vectores complejos E de rango complejo d puede considerarse como un paquete de vectores reales orientado E de rango real 2 d . La clase de Euler de E está dada por la clase de Chern de mayor dimensión. ${\displaystyle e(E)=c_{d}(E)\in H^{2d}(X)}$

Plazas para encabezar la clase Pontryagin

La clase Pontryagin se define como la clase Chern de la complejización de E :. ${\displaystyle p_{r}(E)}$ ${\displaystyle p_{r}(E)=c_{2r}(\mathbf {C} \otimes E)}$

La complejización es isomorfa como un paquete orientado a . Comparando las clases de Euler, vemos que ${\displaystyle \mathbf {C} \otimes E}$ ${\displaystyle E\oplus E}$

${\displaystyle e(E)\smile e(E)=e(E\oplus E)=e(E\otimes \mathbf {C} )=c_{r}(E\otimes \mathbf {C} )\in H^{2r}(X,\mathbf {Z} ).}$

Si el rango r de E es par, entonces, ¿dónde está la clase Pontryagin de dimensión superior ? ${\displaystyle e(E)\smile e(E)=c_{r}(E)=p_{r/2}(E)}$ ${\displaystyle p_{r/2}(E)}$ ${\displaystyle E}$

Inestabilidad

Una clase característica es estable si donde hay un paquete trivial de rango uno. A diferencia de la mayoría de las otras clases de características, la clase de Euler es inestable . De hecho, . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c(E\oplus {\underline {R}}^{1})=c(E)}$ ${\displaystyle {\underline {R}}^{1}}$ ${\displaystyle e(E\oplus {\underline {R}}^{1})=e(E)\smile e({\underline {R}}^{1})=0}$

La clase de Euler está representada por una clase de cohomología en el espacio de clasificación BSO( k ) . La inestabilidad de la clase de Euler muestra que no se trata del retroceso de una clase bajo la inclusión . ${\displaystyle e\in H^{k}(\mathrm {BSO} (k))}$ ${\displaystyle H^{k}(\mathrm {BSO} (k+1))}$ ${\displaystyle \mathrm {BSO} (k)\to \mathrm {BSO} (k+1)}$

Esto se puede ver intuitivamente en que la clase de Euler es una clase cuyo grado depende de la dimensión del paquete (o variedad, si es el paquete tangente): la clase de Euler es un elemento de donde está la dimensión del paquete, mientras que el otro las clases tienen una dimensión fija (por ejemplo, la primera clase Stiefel-Whitney es un elemento de ). ${\displaystyle H^{d}(X)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle H^{1}(X)}$

El hecho de que la clase de Euler sea inestable no debe verse como un "defecto": más bien significa que la clase de Euler "detecta fenómenos inestables". Por ejemplo, el paquete tangente de una esfera de dimensión par es establemente trivial pero no trivial (la inclusión habitual de la esfera tiene un paquete normal trivial, por lo tanto, el paquete tangente de la esfera más un paquete lineal trivial es el paquete tangente del espacio euclidiano, restringido to , que es trivial), por lo tanto, todas las demás clases características desaparecen para la esfera, pero la clase de Euler no desaparece para esferas pares, lo que proporciona una invariante no trivial. ${\displaystyle S^{n}\subseteq \mathrm {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Ejemplos

Esferas

La característica de Euler de la n -esfera S ⁿ es:

${\displaystyle \chi (\mathbf {S} ^{n})=1+(-1)^{n}={\begin{cases}2&n{\text{ even}}\\0&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$

Por lo tanto, no existe una sección que no desaparezca del conjunto tangente de esferas pares (esto se conoce como teorema de la bola peluda ). En particular, el paquete tangente de una esfera par no es trivial, es decir, no es una variedad paralelizable y no puede admitir una estructura de grupo de Lie . ${\displaystyle S^{2n}}$

Para esferas impares, S ^{2 n −1} ⊂ R ^{2 n} , una sección que no desaparece en ninguna parte está dada por

${\displaystyle (x_{2},-x_{1},x_{4},-x_{3},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1})}$

lo que muestra que la clase de Euler desaparece; esto es solo n copias de la sección habitual sobre el círculo.

Como la clase de Euler para una esfera par corresponde a , podemos usar el hecho de que la clase de Euler de una suma de Whitney de dos paquetes es simplemente el producto de taza de las clases de Euler de los dos paquetes para ver que no hay otros subpaquetes de los paquete tangente que el paquete tangente en sí y el paquete nulo, para cualquier esfera de dimensiones pares. ${\displaystyle 2[S^{2n}]\in H^{2n}(S^{2n},\mathbf {Z} )}$

Dado que el paquete tangente de la esfera es establemente trivial pero no trivial, todas las demás clases características desaparecen en él, y la clase de Euler es la única clase de cohomología ordinaria que detecta la no trivialidad del paquete tangente de esferas: para probar resultados adicionales, uno debe utilizar operaciones de cohomología secundaria o teoría K.

Círculo

El cilindro es un haz de líneas sobre el círculo, por la proyección natural . Es un paquete de líneas trivial, por lo que posee una sección en ningún lugar de cero, por lo que su clase de Euler es 0. También es isomorfo al paquete tangente del círculo; el hecho de que su clase de Euler sea 0 corresponde al hecho de que la característica de Euler del círculo es 0. ${\displaystyle \mathrm {R} ^{1}\times S^{1}\to S^{1}}$

Ver también

• polinomio de Vandermonde
• Isomorfismo de Thom
• Teorema generalizado de Gauss-Bonnet

Otras clases

• clase negra
• clase pontryagin
• Clase Stiefel-Whitney

Referencias

• Bott, Raoul y Tu, Loring W. (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Bredon, Glen E. (1993). Topología y Geometría . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974). Clases características . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08122-0.