forma de curvatura

En geometría diferencial , la forma de curvatura describe la curvatura de una conexión en un haz principal . El tensor de curvatura de Riemann en la geometría de Riemann puede considerarse como un caso especial.

Definición

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie y P → B sea un paquete G principal . Sea ω una conexión de Ehresmann en P (que es una forma univaluada en P ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Entonces la forma de curvatura es la forma de 2 valores en P definida por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .}$

(En otra convención, 1/2 no aparece). Aquí significa derivada exterior , se define en el artículo " Forma valorada en álgebra de Lie " y D denota la derivada covariante exterior . En otros términos, ^[1] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$

${\displaystyle \,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}[\omega (X),\omega (Y)]}$

donde X , Y son vectores tangentes a P .

También hay otra expresión para Ω: si X , Y son campos vectoriales horizontales en P , entonces ^[2]

${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]}$

donde hZ significa el componente horizontal de Z , a la derecha identificamos un campo vectorial vertical y un elemento de álgebra de Lie que lo genera ( campo vectorial fundamental ), y es el inverso del factor de normalización usado por convención en la fórmula para la derivada exterior . ${\displaystyle \sigma \in \{1,2\}}$

Se dice que una conexión es plana si su curvatura desaparece: Ω = 0. De manera equivalente, una conexión es plana si el grupo de estructuras se puede reducir al mismo grupo subyacente pero con la topología discreta.

Forma de curvatura en un paquete de vectores

Si E → B es un paquete de vectores, entonces también se puede pensar en ω como una matriz de 1 formas y la fórmula anterior se convierte en la ecuación estructural de E. Cartan:

${\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

¿Dónde está el producto cuña ? Más precisamente, si y denota componentes de ω y Ω correspondientemente (por lo que cada uno es una forma 1 habitual y cada uno es una forma 2 habitual), entonces ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$

${\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d{\omega ^{i}}_{j}+\sum _{k}{\omega ^{i}}_{k}\wedge {\omega ^{k}}_{j}.}$

Por ejemplo, para el paquete tangente de una variedad de Riemann , el grupo de estructura es O( n ) y Ω es una forma 2 con valores en el álgebra de Lie de O( n ), es decir, las matrices antisimétricas . En este caso, la forma Ω es una descripción alternativa del tensor de curvatura , es decir

${\displaystyle \,R(X,Y)=\Omega (X,Y),}$

usando la notación estándar para el tensor de curvatura de Riemann.

Identidades bianchi

Si es la forma 1 canónica con valor vectorial en el paquete de cuadros, la torsión de la forma de conexión es la forma 2 con valor vectorial definida por la ecuación de estructura ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

donde como arriba D denota la derivada covariante exterior .

La primera identidad de Bianchi toma la forma

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

La segunda identidad de Bianchi toma la forma

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

y es válido de manera más general para cualquier conexión en un paquete principal .

Las identidades de Bianchi se pueden escribir en notación tensorial como: ${\displaystyle R_{abmn;\ell }+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m}=0.}$

Las identidades contraídas de Bianchi se utilizan para derivar el tensor de Einstein en las ecuaciones de campo de Einstein , la mayor parte de la teoría general de la relatividad . ^{[ se necesita aclaración ]}

Notas

1. desde . Aquí usamos también la convención de Kobayashi para la derivada exterior de una forma que luego es ${\displaystyle [\omega \wedge \omega ](X,Y)={\frac {1}{2}}([\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)])}$ ${\displaystyle \sigma =2}$ ${\displaystyle d\omega (X,Y)={\frac {1}{2}}(X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y]))}$
2. Prueba: ${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=\sigma d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y]).}$

Referencias

• Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu (1963) Fundamentos de la geometría diferencial , Vol.I, Capítulo 2.5 Forma de curvatura y ecuación de estructura, p. 75, Wiley Interscience .

Ver también

• Conexión (paquete principal)
• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo.
• Identidades de Bianchi contratadas
• tensor de einstein
• Ecuaciones de campo de Einstein
• Teoría general de la relatividad
• Forma de Chern-Simons
• Curvatura de variedades de Riemann
• Teoría del calibre