clase pontryagin

En matemáticas , las clases Pontryagin , que llevan el nombre de Lev Pontryagin , son ciertas clases características de paquetes de vectores reales. Las clases de Pontryagin se encuentran en grupos de cohomología con grados múltiplos de cuatro.

Definición

Dado un paquete de vectores real , su -ésima clase Pontryagin se define como ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}(E)}$

${\displaystyle p_{k}(E)=p_{k}(E,\mathbb {Z} )=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M,\mathbb {Z} ),}$

dónde:

• ${\displaystyle c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )}$denota la -ésima clase Chern de la complejización de , ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =E\oplus iE}$ ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Z} )}$es el grupo de cohomología con coeficientes enteros . ${\displaystyle 4k}$ ${\displaystyle M}$

La clase racional de Pontryagin se define como la imagen de in , el grupo de cohomología de con coeficientes racionales . ${\displaystyle p_{k}(E,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle p_{k}(E)}$ ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle 4k}$ ${\displaystyle M}$

Propiedades

La clase total de Pontryagin

${\displaystyle p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathbb {Z} ),}$

es (módulo 2-torsión) multiplicativo con respecto a la suma de Whitney de paquetes vectoriales, es decir,

${\displaystyle 2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)}$

para dos paquetes de vectores y más . En términos de las clases individuales de Pontryagin , ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p_{k}}$

${\displaystyle 2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F),}$

${\displaystyle 2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F)}$

etcétera.

La desaparición de las clases Pontryagin y Stiefel-Whitney de un paquete de vectores no garantiza que el paquete de vectores sea trivial. Por ejemplo, hasta el isomorfismo del paquete de vectores , existe un paquete de vectores de rango 10 no trivial único sobre las 9 esferas . (La función de agarre surge del grupo de homotopía .) Todas las clases de Pontryagin y Stiefel-Whitney desaparecen: las clases de Pontryagin no existen en el grado 9, y la clase de Stiefel-Whitney desaparece según la fórmula Wu . Además, este paquete de vectores es establemente no trivial, es decir, la suma de Whitney con cualquier paquete trivial permanece no trivial. (Hatcher 2009, pág. 76) ${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle \pi _{8}(\mathrm {O} (10))=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle w_{9}}$ ${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle w_{9}=w_{1}w_{8}+Sq^{1}(w_{8})}$ ${\displaystyle E_{10}}$

Dado un paquete de vectores de dimensiones tenemos ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle p_{k}(E)=e(E)\smile e(E),}$

donde denota la clase de Euler de y denota el producto de taza de las clases de cohomología. ${\displaystyle e(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \smile }$

Clases de Pontryagin y curvatura.

Como demostraron Shiing-Shen Chern y André Weil alrededor de 1948, las clases racionales de Pontryagin

${\displaystyle p_{k}(E,\mathbf {Q} )\in H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

se puede presentar como formas diferenciales que dependen polinomialmente de la forma de curvatura de un paquete de vectores. Esta teoría de Chern-Weil reveló una conexión importante entre la topología algebraica y la geometría diferencial global.

Para un paquete de vectores sobre una variedad diferenciable de dimensiones equipada con una conexión , la clase total de Pontryagin se expresa como ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle p=\left[1-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})}{8\pi ^{2}}}+{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{2}-2{\rm {Tr}}(\Omega ^{4})}{128\pi ^{4}}}-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{3}-6{\rm {Tr}}(\Omega ^{2}){\rm {Tr}}(\Omega ^{4})+8{\rm {Tr}}(\Omega ^{6})}{3072\pi ^{6}}}+\cdots \right]\in H_{dR}^{*}(M),}$

donde denota la forma de curvatura y denota los grupos de cohomología de De Rham . ^[1] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H_{dR}^{*}(M)}$

Clases de Pontryagin de una variedad.

Las clases de Pontryagin de una variedad suave se definen como las clases de Pontryagin de su paquete tangente .

Novikov demostró en 1966 que si dos variedades compactas, orientadas y suaves son homeomorfas, entonces sus clases racionales de Pontryagin son las mismas. ${\displaystyle p_{k}(M,\mathbf {Q} )}$ ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

Si la dimensión es al menos cinco, hay como máximo un número finito de variedades suaves diferentes con un tipo de homotopía dado y clases de Pontryagin.

Clases de Pontryagin de las clases de Chern.

Las clases de Pontryagin de un paquete de vectores complejo están completamente determinadas por sus clases de Chern. Esto se desprende del hecho de que , la fórmula de la suma de Whitney y las propiedades de las clases de Chern de su complejo conjugado. Es decir, y . Entonces, dada la relación ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong E\oplus {\bar {E}}}$ ${\displaystyle c_{i}({\bar {E}})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$ ${\displaystyle c(E\oplus {\bar {E}})=c(E)c({\bar {E}})}$

${\displaystyle 1-p_{1}(E)+p_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}p_{n}(E)=(1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E))\cdot (1-c_{1}(E)+c_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}c_{n}(E))}$^[2]

por ejemplo, podemos aplicar esta fórmula para encontrar las clases de Pontryagin de un paquete de vectores complejo en una curva y una superficie. Para una curva tenemos

${\displaystyle (1-c_{1}(E))(1+c_{1}(E))=1+c_{1}(E)^{2}}$

por lo que todas las clases de Pontryagin de haces de vectores complejos son triviales. En una superficie tenemos

${\displaystyle (1-c_{1}(E)+c_{2}(E))(1+c_{1}(E)+c_{2}(E))=1-c_{1}(E)^{2}+2c_{2}(E)}$

mostrando . Los paquetes en línea esto se simplifican aún más por razones de tamaño. ${\displaystyle p_{1}(E)=c_{1}(E)^{2}-2c_{2}(E)}$ ${\displaystyle c_{2}(L)=0}$

Clases de Pontryagin en una superficie Quartic K3

Recuerde que un polinomio cuártico cuyo lugar de fuga es una subvariedad suave es una superficie K3. Si utilizamos la secuencia normal ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}(4)\to 0}$

podemos encontrar

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X})}{c({\mathcal {O}}(4))}}\\&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+4[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})\cdot (1-4[H]+16[H]^{2})\\&=1+6[H]^{2}\end{aligned}}}$

mostrando y . Como corresponde a cuatro puntos, debido al lema de Bezout, tenemos el segundo número de chern como . Dado que en este caso tenemos ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle c_{2}(X)=6[H]^{2}}$ ${\displaystyle [H]^{2}}$ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle p_{1}(X)=-2c_{2}(X)}$

${\displaystyle p_{1}(X)=-48}$. Este número se puede utilizar para calcular el tercer grupo de esferas de homotopía estable. ^[3]

Números de Pontryagin

Los números de Pontryagin son ciertos invariantes topológicos de una variedad suave . Cada número de Pontryagin de una variedad desaparece si la dimensión de no es divisible por 4. Se define en términos de las clases de Pontryagin de la variedad de la siguiente manera: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Dada una variedad de dimensiones suaves y una colección de números naturales ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}$tal que , ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}$

el número de Pontryagin está definido por ${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}$

${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}=p_{k_{1}}\smile p_{k_{2}}\smile \cdots \smile p_{k_{m}}([M])}$

donde denota la -ésima clase Pontryagin y la clase fundamental de . ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle M}$

Propiedades

1. Los números de Pontryagin son invariantes de cobordismo orientado ; y junto con los números de Stiefel-Whitney determinan la clase de cobordismo orientado de una variedad orientada.
2. Los números de Pontryagin de variedades de Riemann cerradas (así como las clases de Pontryagin) se pueden calcular como integrales de ciertos polinomios a partir del tensor de curvatura de una variedad de Riemann.
3. Invariantes como firma y género se pueden expresar mediante números de Pontryagin. Para conocer el teorema que describe la combinación lineal de números de Pontryagin que dan la firma, consulte el teorema de la firma de Hirzebruch . ${\displaystyle {\hat {A}}}$

Generalizaciones

También existe una clase Pontryagin cuaterniónica , para haces de vectores con estructura de cuaternión .

Ver también

• Forma de Chern-Simons
• Teorema de la firma de Hirzebruch

Referencias

1. "De Rham Cohomology: una descripción general | Temas de ScienceDirect". www.sciencedirect.com . Consultado el 2 de febrero de 2022 .
2. Mclean, Marcos. "Clases de Pontryagin" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 8 de noviembre de 2016.
3. "Un estudio de cálculos de grupos de homotopía de esferas y cobordismos" (PDF) . pag. 16. Archivado (PDF) desde el original el 22 de enero de 2016.

• Milnor John W .; Stasheff, James D. (1974). Clases características . Anales de estudios de matemáticas. Princeton, Nueva Jersey; Tokio: Princeton University Press / University of Tokyo Press. ISBN 0-691-08122-0.
• Hatcher, Allen (2009). Paquetes de vectores y teoría K (2.1 ed.).

enlaces externos

• "Clase Pontryagin". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].