Transformación del radón

Transformada integral

Transformada de Radon. Mapea f en el dominio ( x , y ) a Rf en el dominio ( α , s ).  

En matemáticas , la transformada de Radon es la transformada integral que toma una función f definida en el plano a una función Rf definida en el espacio (bidimensional) de líneas en el plano, cuyo valor en una línea particular es igual a la integral de línea de la función sobre esa línea. La transformada fue introducida en 1917 por Johann Radon , ^[1] quien también proporcionó una fórmula para la transformada inversa. Radon incluyó además fórmulas para la transformada en tres dimensiones , en las que la integral se toma sobre planos (la integración sobre líneas se conoce como la transformada de rayos X ). Más tarde se generalizó a espacios euclidianos de dimensiones superiores y más ampliamente en el contexto de la geometría integral . El análogo complejo de la transformada de Radon se conoce como la transformada de Penrose . La transformada de Radon es ampliamente aplicable a la tomografía , la creación de una imagen a partir de los datos de proyección asociados con exploraciones transversales de un objeto.

Explicación

La transformada de Radon de la función indicadora de dos cuadrados se muestra en la imagen siguiente. Las regiones más claras indican valores de función más altos. El negro indica cero.

La función original es igual a uno en la región blanca y cero en la región oscura.

Si una función representa una densidad desconocida, entonces la transformada de Radon representa los datos de proyección obtenidos como resultado de una tomografía. Por lo tanto, la inversa de la transformada de Radon se puede utilizar para reconstruir la densidad original a partir de los datos de proyección y, por lo tanto, forma la base matemática para la reconstrucción tomográfica , también conocida como reconstrucción iterativa . ${\displaystyle f}$

Los datos de la transformada de Radon se denominan a menudo sinogramas porque la transformada de Radon de una fuente puntual descentrada es una sinusoide. En consecuencia, la transformada de Radon de una serie de objetos pequeños aparece gráficamente como una serie de ondas sinusoidales borrosas con diferentes amplitudes y fases.

La transformada de Radon es útil en tomografía axial computarizada (CAT scan), lectores de códigos de barras , microscopía electrónica de conjuntos macromoleculares como virus y complejos proteicos , sismología de reflexión y en la solución de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas .

Las proyecciones horizontales a través de la forma dan como resultado una señal acumulada (barra central). El sinograma de la derecha se genera al recopilar muchas de estas proyecciones a medida que la forma gira. Aquí, se utiliza el color para resaltar qué objeto produce qué parte de la señal. Observe cómo las características rectas, cuando se alinean con la dirección de la proyección, dan como resultado señales más fuertes.

Ejemplo de reconstrucción mediante la transformada de Radon utilizando observaciones desde diferentes ángulos. La inversión aplicada a los datos de proyección luego reconstruye la imagen del corte. ^[2]

Definición

Sea una función que satisface las tres condiciones de regularidad: ^[3] ${\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)}$

1. ${\displaystyle f({\textbf {x}})}$es continuo;
2. La integral doble , que se extiende sobre todo el plano, converge; ${\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy}$
3. Para cualquier punto arbitrario en el plano se cumple que ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}$

La transformada de Radon, , es una función definida en el espacio de líneas rectas por la integral de línea a lo largo de cada línea como: Concretamente, la parametrización de cualquier línea recta con respecto a la longitud del arco siempre se puede escribir: donde es la distancia de desde el origen y es el ángulo que forma el vector normal a con el eje -. De ello se deduce que las cantidades se pueden considerar como coordenadas en el espacio de todas las líneas en , y la transformada de Radon se puede expresar en estas coordenadas por: De manera más general, en el espacio euclidiano -dimensional , la transformada de Radon de una función que satisface las condiciones de regularidad es una función en el espacio de todos los hiperplanos en . Se define por: ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}$$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\alpha ,s)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}$$donde la integral se toma con respecto a la medida de hipersuperficie natural , (generalizando el término a partir del caso -dimensional). Obsérvese que cualquier elemento de se caracteriza como el lugar geométrico de la solución de una ecuación , donde es un vector unitario y . Por lo tanto, la transformada de Radon -dimensional puede reescribirse como una función en a través de: También es posible generalizar aún más la transformada de Radon integrando en su lugar subespacios afines sobre -dimensionales de . La transformada de rayos X es el caso especial más utilizado de esta construcción, y se obtiene integrando sobre líneas rectas. ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s}$ ${\displaystyle \alpha \in S^{n-1}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$ $${\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Relación con la transformada de Fourier

Cálculo de la transformada de Radon bidimensional en términos de dos transformadas de Fourier.

La transformada de Radon está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier . Definimos aquí la transformada de Fourier univariante como: Para una función de un -vector , la transformada de Fourier univariante es: Para mayor comodidad, denote . El teorema de la porción de Fourier establece entonces: donde $${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}$$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$ $${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)}$ $${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).}$

Por lo tanto, la transformada de Fourier bidimensional de la función inicial a lo largo de una línea en el ángulo de inclinación es la transformada de Fourier univariable de la transformada de Radon (adquirida en el ángulo ) de esa función. Este hecho se puede utilizar para calcular tanto la transformada de Radon como su inversa. El resultado se puede generalizar a n dimensiones: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}$$

Transformación dual

La transformada dual de Radon es una especie de adjunta a la transformada de Radon. Comenzando con una función g en el espacio , la transformada dual de Radon es la función en R ⁿ definida por: La integral aquí se toma sobre el conjunto de todos los hiperplanos incidentes con el punto , y la medida es la medida de probabilidad única en el conjunto invariante bajo rotaciones alrededor del punto . ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g}$ $${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}$$ ${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Concretamente, para la transformada bidimensional de Radon, la transformada dual viene dada por: En el contexto del procesamiento de imágenes, la transformada dual se denomina comúnmente retroproyección ^[4], ya que toma una función definida en cada línea del plano y la "difumina" o proyecta de nuevo sobre la línea para producir una imagen. $${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}$$

Propiedad entrelazada

Sea el laplaciano definido por: Este es un operador diferencial de segundo orden invariante rotacionalmente natural . En , la derivada de segunda "radial" también es invariante rotacionalmente. La transformada de Radon y su dual son operadores entrelazados para estos dos operadores diferenciales en el sentido de que: ^[5] Al analizar las soluciones de la ecuación de onda en múltiples dimensiones espaciales, la propiedad entrelazada conduce a la representación traslacional de Lax y Philips. ^[6] En imágenes ^[7] y análisis numérico ^[8] esto se explota para reducir problemas multidimensionales a problemas unidimensionales, como un método de división dimensional. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}$ $${\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).}$$

Enfoques de reconstrucción

El proceso de reconstrucción produce la imagen (o función en la sección anterior) a partir de sus datos de proyección. La reconstrucción es un problema inverso . ${\displaystyle f}$

Fórmula de inversión del radón

En el caso bidimensional, la fórmula analítica más comúnmente utilizada para recuperarse de su transformada de Radon es la Fórmula de retroproyección filtrada o Fórmula de inversión de Radon ^[9] : donde es tal que . ^[9] El núcleo de convolución se conoce como filtro de rampa en alguna literatura. ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )\,d\theta }$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}$ ${\displaystyle h}$

Mala actitud

Intuitivamente, en la fórmula de retroproyección filtrada , por analogía con la diferenciación, para la cual , vemos que el filtro realiza una operación similar a una derivada. En términos generales, entonces, el filtro hace que los objetos sean más singulares. Una declaración cuantitativa de la mala posición de la inversión de Radon es la siguiente: donde es el adjunto previamente definido a la transformada de Radon. Por lo tanto , para , tenemos: La exponencial compleja es, por lo tanto, una función propia de con valor propio . Por lo tanto, los valores singulares de son . Dado que estos valores singulares tienden a , es ilimitado. ^[9] ${\textstyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)}$ $${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g]}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}$$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$ $${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g](\mathbf {x} )={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$$ ${\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\|\mathbf {k} _{0}\|}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\|\mathbf {k} \|}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}$

Métodos de reconstrucción iterativos

En comparación con el método de retroproyección filtrada , la reconstrucción iterativa requiere un gran tiempo de cálculo, lo que limita su uso práctico. Sin embargo, debido a la mala formulación de la inversión de radón, el método de retroproyección filtrada puede resultar inviable en presencia de discontinuidad o ruido. Los métodos de reconstrucción iterativos ( por ejemplo, la varianza mínima asintótica dispersa iterativa ^[10] ) podrían proporcionar una reducción de artefactos metálicos, ruido y dosis para el resultado reconstruido que atrae mucho interés de investigación en todo el mundo.

Fórmulas de inversión

Existen fórmulas de inversión explícitas y computacionalmente eficientes para la transformada de Radon y su dual. La transformada de Radon en dimensiones se puede invertir mediante la fórmula: ^[11] donde , y la potencia del laplaciano se define como un operador pseudodiferencial si es necesario mediante la transformada de Fourier : Para fines computacionales, la potencia del laplaciano se conmuta con la transformada dual para dar: ^[12] donde es la transformada de Hilbert con respecto a la variable s . En dos dimensiones, el operador aparece en el procesamiento de imágenes como un filtro de rampa. ^[13] Se puede demostrar directamente a partir del teorema de la porción de Fourier y el cambio de variables para la integración que para una función continua de dos variables con soporte compacto: Por lo tanto, en un contexto de procesamiento de imágenes, la imagen original se puede recuperar a partir de los datos del "sinograma" aplicando un filtro de rampa (en la variable) y luego retroproyectándola. Como el paso de filtrado se puede realizar de manera eficiente (por ejemplo, utilizando técnicas de procesamiento de señales digitales ) y el paso de retroproyección es simplemente una acumulación de valores en los píxeles de la imagen, el resultado es un algoritmo altamente eficiente y, por lo tanto, ampliamente utilizado. ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,}$$ ${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$ ${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$ $${\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}$$ ${\displaystyle R^{*}}$ $${\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle s}$

Explícitamente, la fórmula de inversión obtenida por el último método es: ^[4] La transformada dual también se puede invertir mediante una fórmula análoga: $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle -\imath 2\pi (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{2\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x)\,d\alpha &n{\text{ odd}}\\\displaystyle (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\iint _{\mathbb {R} \times S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{q\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x+q)\,d\alpha \,dq&n{\text{ even}}\\\end{cases}}}$$ $${\displaystyle c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).\,}$$

Transformada de radón en geometría algebraica

En geometría algebraica , una transformada de Radon (también conocida como transformada de Brylinski-Radon ) se construye de la siguiente manera.

Escribir

${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}\,{\stackrel {p_{1}}{\gets }}\,H\,{\stackrel {p_{2}}{\to }}\,\mathbf {P} ^{\vee ,d}}$

para el hiperplano universal , es decir, H consta de pares ( x , h ) donde x es un punto en el espacio proyectivo de dimensión d y h es un punto en el espacio proyectivo dual (en otras palabras, x es una línea que pasa por el origen en el espacio afín de dimensión ( d + 1 ) , y h es un hiperplano en ese espacio) tal que x está contenido en h . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$

Entonces la transformada de Brylinki-Radon es el functor entre categorías derivadas apropiadas de haces de étale

${\displaystyle \operatorname {Rad} :=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).}$

El teorema principal sobre esta transformada es que esta transformada induce una equivalencia de las categorías de haces perversos en el espacio proyectivo y su espacio proyectivo dual, hasta haces constantes. ^[14]

Véase también

• Periodograma
• Filtro coincidente
• Desconvolución
• Transformación de rayos X
• Transformación del funk
• La transformada de Hough , cuando se escribe en forma continua, es muy similar, si no equivalente, a la transformada de Radon. ^[15]
• El teorema de Cauchy-Crofton es una fórmula estrechamente relacionada para calcular la longitud de las curvas en el espacio.
• Transformada rápida de Fourier

Notas

1. Radón 1917.
2. Odložilík, Michal (31 de agosto de 2023). Estudio tomográfico de inversión por desprendimiento con cámaras visibles rápidas en el tokamak COMPASS (tesis de licenciatura). Universidad Técnica Checa de Praga. hdl :10467/111617.
3. Radón 1986.
4. Roerdink 2001.
5. Helgason 1984, Lema I.2.1.
6. Lax, PD; Philips, RS (1964). "Teoría de la dispersión". Bull. Amer. Math. Soc . 70 (1): 130–142. doi : 10.1090/s0002-9904-1964-11051-x .
7. Bonneel, N.; Rabin, J.; Peyre, G.; Pfister, H. (2015). "Baricentros de medidas en rodajas y de Radon Wasserstein". Revista de imágenes y visión matemática . 51 (1): 22–25. Código Bibliográfico :2015JMIV...51...22B. doi :10.1007/s10851-014-0506-3. S2CID  1907942.
8. Rim, D. (2018). "División dimensional de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas utilizando la transformada de Radon". SIAM J. Sci. Comput . 40 (6): A4184–A4207. arXiv : 1705.03609 . Código Bibliográfico :2018SJSC...40A4184R. doi :10.1137/17m1135633. S2CID  115193737.
9. Candés 2016b.
10. Abeida, Habti; Zhang, Qilin; Li, Jian; Merabtine, Nadjim (2013). "Enfoques iterativos dispersos asintóticos basados ​​en varianza mínima para procesamiento de matrices" (PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 61 (4). IEEE: 933–944. arXiv : 1802.03070 . Bibcode :2013ITSP...61..933A. doi :10.1109/tsp.2012.2231676. ISSN  1053-587X. S2CID  16276001.
11. Helgason 1984, Teorema I.2.13.
12. Helgason 1984, Teorema I.2.16.
13. Nygren 1997.
14. Kiehl y Weissauer (2001, capítulo IV, Cor. 2.4)
15. van Ginkel, Hendricks y van Vliet 2004.

Referencias

• Kiehl, Reinhardt ; Weissauer, Rainer (2001), Conjeturas de Weil, haces perversos y transformada de Fourier l'ádica , Springer, doi :10.1007/978-3-662-04576-3, ISBN 3-540-41457-6, Sr.  1855066
• Radon, Johann (1917), "Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten", Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the Proceedings of the Royal Saxonian Academy of Ciencias en Leipzig, Sección de Matemáticas y Física] (69), Leipzig: Teubner: 262–277;
  Traducción: Radon, J. (diciembre de 1986), "Sobre la determinación de funciones a partir de sus valores integrales a lo largo de ciertas variedades", IEEE Transactions on Medical Imaging , 5 (4), traducido por Parks, PC: 170–176, doi :10.1109/TMI.1986.4307775, PMID  18244009, S2CID  26553287.
• Roerdink, JBTM (2001) [1994], "Tomografía", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Helgason, Sigurdur (1984), Grupos y análisis geométrico: geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas , Academic Press, ISBN 0-12-338301-3.
• Candès, Emmanuel (2 de febrero de 2016a). "Análisis de Fourier aplicado y elementos del procesamiento de señales moderno – Lección 9" (PDF) .
• Candès, Emmanuel (4 de febrero de 2016b). "Análisis de Fourier aplicado y elementos del procesamiento de señales moderno – Lección 10" (PDF) .
• Nygren, Anders J. (1997). "Proyección retrofiltrada". Reconstrucción tomográfica de datos SPECT .
• van Ginkel, M.; Hendricks, CL Luengo; van Vliet, LJ (2004). "Una breve introducción a las transformadas de Radon y Hough y cómo se relacionan entre sí" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 29 de julio de 2016.

Lectura adicional

• Lokenath Debnath; Dambaru Bhatta (19 de abril de 2016). Transformaciones integrales y sus aplicaciones. Prensa CRC. ISBN 978-1-4200-1091-6.
• Deans, Stanley R. (1983), La transformada del radón y algunas de sus aplicaciones , Nueva York: John Wiley & Sons
• Helgason, Sigurdur (2008), Análisis geométrico en espacios simétricos , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 39 (2.ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/surv/039, ISBN 978-0-8218-4530-1, Sr.  2463854
• Herman, Gabor T. (2009), Fundamentos de la tomografía computarizada: reconstrucción de imágenes a partir de proyecciones (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-1-85233-617-2
• Minlos, RA (2001) [1994], "Transformada de radón", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Natterer, Frank (junio de 2001), Las matemáticas de la tomografía computarizada , Classics in Applied Mathematics, vol. 32, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1
• Natterer, Frank; Wübbeling, Frank (2001), Métodos matemáticos en la reconstrucción de imágenes , Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, ISBN 0-89871-472-9

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Transformada del radón". MathWorld .
• Proyección analítica (transformada de Radon) (vídeo). Parte del curso "Tomografía computarizada y la caja de herramientas ASTRA". Universidad de Amberes . 10 de septiembre de 2015.