Geodésico

Camino recto sobre una superficie curva o una variedad de Riemann

Klein quartic con 28 geodésicas (marcadas por 7 colores y 4 patrones)

En geometría , una geodésica ( / ˌ dʒ iː . ə ˈ d ɛ s ɪ k , - oʊ -, - ˈ d iː s ɪ k , - z ɪ k / ) ^{[1] [2]} es una curva que representa en algún sentido el camino ^{[a] más corto (} arco ) entre dos puntos en una superficie , o más generalmente en una variedad de Riemann . El término también tiene significado en cualquier variedad diferenciable con una conexión . Es una generalización de la noción de " línea recta ".

El sustantivo geodésico y el adjetivo geodésico provienen de la geodesia , la ciencia de medir el tamaño y la forma de la Tierra , aunque muchos de los principios subyacentes se pueden aplicar a cualquier geometría elipsoidal . En el sentido original, una geodésica era la ruta más corta entre dos puntos de la superficie terrestre . Para una Tierra esférica , es un segmento de un círculo máximo (ver también distancia del círculo máximo ). Desde entonces, el término se ha generalizado a espacios matemáticos más abstractos; por ejemplo, en teoría de grafos , se podría considerar una geodésica entre dos vértices /nodos de un gráfico .

En una variedad o subvariedad de Riemann, las geodésicas se caracterizan por la propiedad de tener una curvatura geodésica evanescente . De manera más general, en presencia de una conexión afín , una geodésica se define como una curva cuyos vectores tangentes permanecen paralelos si se transportan a lo largo de ella. Aplicando esto a la conexión Levi-Civita de una métrica riemanniana se recupera la noción anterior.

Las geodésicas son de particular importancia en la relatividad general . Las geodésicas temporales en relatividad general describen el movimiento de partículas de prueba en caída libre .

Introducción

Un camino localmente más corto entre dos puntos dados en un espacio curvo, suponiendo que ^[a] es una variedad de Riemann , se puede definir usando la ecuación para la longitud de una curva (una función f desde un intervalo abierto de R al espacio) , y luego minimizar esta longitud entre los puntos mediante el cálculo de variaciones . Esto tiene algunos problemas técnicos menores porque existe un espacio de dimensiones infinitas de diferentes formas de parametrizar el camino más corto. Es más sencillo restringir el conjunto de curvas a aquellas que están parametrizadas "con velocidad constante" 1, lo que significa que la distancia de f ( s ) a f ( t ) a lo largo de la curva es igual a | s − t |. De manera equivalente, se puede utilizar una cantidad diferente, denominada energía de la curva; minimizar la energía conduce a las mismas ecuaciones para una geodésica (aquí la "velocidad constante" es una consecuencia de la minimización). ^{[ cita necesaria ]} Intuitivamente, uno puede entender esta segunda formulación al observar que una banda elástica estirada entre dos puntos contraerá su ancho y, al hacerlo, minimizará su energía. La forma resultante de la banda es una geodésica.

Es posible que varias curvas diferentes entre dos puntos minimicen la distancia, como es el caso de dos puntos diametralmente opuestos en una esfera. En tal caso, cualquiera de estas curvas es una geodésica.

Un segmento contiguo de una geodésica es nuevamente una geodésica.

En general, las geodésicas no son lo mismo que las "curvas más cortas" entre dos puntos, aunque los dos conceptos están estrechamente relacionados. La diferencia es que las geodésicas son sólo localmente la distancia más corta entre puntos y están parametrizadas con "velocidad constante". Recorrer el "camino más largo" en un círculo máximo entre dos puntos de una esfera es una geodésica, pero no el camino más corto entre los puntos. El mapa del intervalo unitario en la recta numérica real hacia sí mismo da el camino más corto entre 0 y 1, pero no es una geodésica porque la velocidad del movimiento correspondiente de un punto no es constante. ${\displaystyle t\to t^{2}}$

Las geodésicas se ven comúnmente en el estudio de la geometría de Riemann y, más generalmente, de la geometría métrica . En la relatividad general , las geodésicas en el espacio-tiempo describen el movimiento de partículas puntuales bajo la influencia únicamente de la gravedad. En particular, la trayectoria seguida por una roca que cae, un satélite en órbita o la forma de una órbita planetaria son todas geodésicas ^[b] en el espacio-tiempo curvo. De manera más general, el tema de la geometría subriemanniana trata de los caminos que pueden tomar los objetos cuando no están libres y su movimiento está restringido de varias maneras.

Este artículo presenta el formalismo matemático involucrado en definir, encontrar y probar la existencia de geodésicas, en el caso de las variedades de Riemann . El artículo Conexión Levi-Civita analiza el caso más general de una variedad pseudo-riemanniana y geodésica (relatividad general) analiza el caso especial de la relatividad general con mayor detalle.

Ejemplos

Una geodésica sobre un elipsoide triaxial .

Si un insecto se coloca sobre una superficie y camina continuamente "hacia adelante", por definición trazará una geodésica.

Los ejemplos más familiares son las líneas rectas en la geometría euclidiana . En una esfera , las imágenes de las geodésicas son los círculos máximos . El camino más corto desde el punto A al punto B en una esfera está dado por el arco más corto del círculo máximo que pasa por A y B. Si A y B son puntos antípodas , entonces hay infinitos caminos más cortos entre ellos. Las geodésicas sobre un elipsoide se comportan de forma más complicada que sobre una esfera; en particular, en general no están cerrados (ver figura).

triangulos

Un triángulo geodésico en la esfera.

Un triángulo geodésico está formado por las geodésicas que unen cada par de tres puntos en una superficie determinada. En la esfera, las geodésicas son arcos de círculo máximo , formando un triángulo esférico .

Triángulos geodésicos en espacios de curvatura positiva (arriba), negativa (media) y cero (abajo).

geometría métrica

En geometría métrica , una geodésica es una curva que en todas partes es localmente un minimizador de distancia . Más precisamente, una curva γ  : I → M desde un intervalo I de los reales al espacio métrico M es una geodésica si existe una constante v ≥ 0 tal que para cualquier t ∈ I existe una vecindad J de t en I tal que para cualquier t ₁ ,  t ₂ ∈ J tenemos

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

Esto generaliza la noción de geodésica para variedades de Riemann. Sin embargo, en geometría métrica la geodésica considerada suele estar equipada con una parametrización natural , es decir, en la identidad anterior v  = 1 y

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

Si la última igualdad se satisface para todo t ₁ , t ₂ ∈ I , la geodésica se llama geodésica minimizadora o camino más corto .

En general, un espacio métrico puede no tener geodésicas, excepto curvas constantes. En el otro extremo, dos puntos cualesquiera en un espacio métrico de longitud están unidos por una secuencia minimizadora de caminos rectificables , aunque esta secuencia minimizadora no necesita converger a una geodésica.

geometría riemanniana

En una variedad de Riemann M con tensor métrico g , la longitud L de una curva continuamente diferenciable γ: [ a , b ] →  M está definida por

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.}$

La distancia d ( p ,  q ) entre dos puntos p y q de M se define como el mínimo de la longitud tomada sobre todas las curvas continuas y continuamente diferenciables por tramos γ : [ a , b ] →  M tales que γ( a ) =  p y γ( segundo ) =  q . En la geometría de Riemann, todas las geodésicas son caminos que minimizan la distancia localmente, pero lo contrario no es cierto. De hecho, sólo las trayectorias que minimizan la distancia localmente y están parametrizadas proporcionalmente a la longitud del arco son geodésicas. Otra forma equivalente de definir geodésicas en una variedad de Riemann es definirlas como los mínimos de la siguiente acción o energía funcional

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}$

Todos los mínimos de E también son mínimos de L , pero L es un conjunto más grande ya que los caminos que son mínimos de L pueden repararse arbitrariamente (sin cambiar su longitud), mientras que los mínimos de E no pueden. Para una curva por tramos (más generalmente, una curva), la desigualdad de Cauchy-Schwarz da ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle W^{1,2}}$

${\displaystyle L(\gamma )^{2}\leq 2(b-a)E(\gamma )}$

con igualdad si y sólo si es igual a una constante ae; el camino debe recorrerse a velocidad constante. Sucede que los minimizadores de también minimizan , porque resultan estar parametrizados afínmente y la desigualdad es una igualdad. La utilidad de este enfoque es que el problema de buscar minimizadores de E es un problema variacional más robusto. De hecho, E es una "función convexa" de , de modo que dentro de cada clase de isotopía de "funciones razonables", uno debería esperar la existencia, unicidad y regularidad de minimizadores. Por el contrario, los "minimizadores" de lo funcional generalmente no son muy regulares, porque se permiten reparametrizaciones arbitrarias. ${\displaystyle g(\gamma ',\gamma ')}$ ${\displaystyle E(\gamma )}$ ${\displaystyle L(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle L(\gamma )}$

Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange para el funcional E vienen dadas en coordenadas locales por

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,}$

¿Dónde están los símbolos de Christoffel de la métrica? Esta es la ecuación geodésica , que se analiza a continuación. ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

Cálculo de variaciones

Se pueden aplicar técnicas del cálculo de variaciones clásico para examinar la energía funcional E. La primera variación de energía está definida en coordenadas locales por

${\displaystyle \delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi ).}$

Los puntos críticos de la primera variación son precisamente las geodésicas. La segunda variación está definida por

${\displaystyle \delta ^{2}E(\gamma )(\varphi ,\psi )=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi ).}$

En un sentido apropiado, los ceros de la segunda variación a lo largo de una geodésica γ surgen a lo largo de los campos de Jacobi . Por tanto, los campos de Jacobi se consideran variaciones a través de geodésicas.

Aplicando técnicas variacionales de la mecánica clásica , también se pueden considerar las geodésicas como flujos hamiltonianos . Son soluciones de las ecuaciones de Hamilton asociadas , con la métrica (pseudo)riemanniana tomada como hamiltoniana .

Geodésicas afines

Una geodésica en una variedad suave M con una conexión afín ∇ se define como una curva γ( t ) tal que el transporte paralelo a lo largo de la curva preserva el vector tangente a la curva, por lo que

en cada punto de la curva, donde es la derivada con respecto a . Más precisamente, para definir la derivada covariante de es necesario primero extenderla a un campo vectorial continuamente diferenciable en un conjunto abierto . Sin embargo, el valor resultante de ( 1 ) es independiente de la elección de la extensión. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

Usando coordenadas locales en M , podemos escribir la ecuación geodésica (usando la convención de suma ) como

${\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}$

donde están las coordenadas de la curva γ( t ) y son los símbolos de Christoffel de la conexión ∇. Esta es una ecuación diferencial ordinaria para las coordenadas. Tiene una solución única, dada una posición inicial y una velocidad inicial. Por tanto, desde el punto de vista de la mecánica clásica , las geodésicas pueden considerarse como trayectorias de partículas libres en una variedad. De hecho, la ecuación significa que el vector aceleración de la curva no tiene componentes en la dirección de la superficie (y por lo tanto es perpendicular al plano tangente de la superficie en cada punto de la curva). Entonces, el movimiento está completamente determinado por la flexión de la superficie. Esta es también la idea de la relatividad general, donde las partículas se mueven en las geodésicas y la curvatura es causada por la gravedad. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

Existencia y unicidad

El teorema de existencia local y unicidad de las geodésicas establece que las geodésicas en una variedad suave con una conexión afín existen y son únicas. Más precisamente:

Para cualquier punto p en M y para cualquier vector V en T _p M (el espacio tangente a M en p ) existe una geodésica única  : I → M tal que ${\displaystyle \gamma \,}$

${\displaystyle \gamma (0)=p\,}$y

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}$

donde I es un intervalo abierto máximo en R que contiene 0.

La prueba de este teorema se deriva de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias , al notar que la ecuación geodésica es una EDO de segundo orden. La existencia y la unicidad se derivan entonces del teorema de Picard-Lindelöf para las soluciones de EDO con condiciones iniciales prescritas. γ depende suavemente tanto de p como  de V.

En general, es posible que I no sea todo R como, por ejemplo, para un disco abierto en R ² . Cualquier γ se extiende a todo ℝ si y solo si M es geodésicamente completo .

flujo geodésico

El flujo geodésico es una acción R local sobre el haz tangente TM de un colector M definido de la siguiente manera

${\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}$

donde t  ∈  R , V  ∈  TM y denota la geodésica con datos iniciales . Por tanto, es la aplicación exponencial del vector tV . Una órbita cerrada del flujo geodésico corresponde a una geodésica cerrada en  M. ${\displaystyle \gamma _{V}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}$ ${\displaystyle G^{t}(V)=\exp(tV)}$

En una variedad (pseudo) Riemanniana, el flujo geodésico se identifica con un flujo hamiltoniano en el haz cotangente. El hamiltoniano luego viene dado por la inversa de la métrica (pseudo)riemanniana, evaluada frente a la forma única canónica . En particular, el flujo conserva la métrica (pseudo) riemanniana , es decir ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}$

En particular, cuando V es un vector unitario, la velocidad permanece unitaria en todo momento, por lo que el flujo geodésico es tangente al haz unitario tangente . El teorema de Liouville implica la invariancia de una medida cinemática en el paquete unitario tangente. ${\displaystyle \gamma _{V}}$

Aerosol geodésico

El flujo geodésico define una familia de curvas en el haz tangente . Las derivadas de estas curvas definen un campo vectorial en el espacio total del haz tangente, conocido como pulverización geodésica .

Más precisamente, una conexión afín da lugar a una división del haz doble tangente T M en haces horizontales y verticales :

${\displaystyle TTM=H\oplus V.}$

La pulverización geodésica es el único campo vectorial horizontal W que satisface

${\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}$

en cada punto v  ∈ T M ; aquí π _∗  : TT ​​M  → T M denota el empuje hacia adelante (diferencial) a lo largo de la proyección π  : T M  →  M asociada al paquete tangente.

De manera más general, la misma construcción permite construir un campo vectorial para cualquier conexión de Ehresmann en el paquete tangente. Para que el campo vectorial resultante sea una pulverización (en el paquete tangente eliminado T M  \ {0}) es suficiente que la conexión sea equivariante bajo reescalamientos positivos: no es necesario que sea lineal. Es decir, (cf. Conexión de Ehresmann # Paquetes vectoriales y derivadas covariantes ) es suficiente que la distribución horizontal satisfaga

${\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}$

para cada X  ∈ T M  \ {0} y λ > 0. Aquí d ( S _λ ) es el avance a lo largo de la homotecia escalar. Un caso particular de conexión no lineal que surge de esta manera es el asociado a una variedad de Finsler . ${\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}$

Geodésicas afines y proyectivas

La ecuación ( 1 ) es invariante bajo reparametrizaciones afines; es decir, parametrizaciones de la forma

${\displaystyle t\mapsto at+b}$

donde a y b son números reales constantes. Así, además de especificar una determinada clase de curvas integradas, la ecuación geodésica también determina una clase preferida de parametrizaciones en cada una de las curvas. En consecuencia, las soluciones de ( 1 ) se denominan geodésicas con parámetro afín .

Una conexión afín está determinada por su familia de geodésicas con parámetros afines, hasta la torsión (Spivak 1999, Capítulo 6, Anexo I). De hecho, la torsión en sí no afecta a la familia de geodésicas, ya que la ecuación geodésica depende sólo de la parte simétrica de la conexión. Más precisamente, si hay dos conexiones tales que el tensor de diferencia ${\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}$

${\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}$

es sesgado-simétrico , entonces y tiene las mismas geodésicas, con las mismas parametrizaciones afines. Además, existe una conexión única que tiene las mismas geodésicas que , pero con torsión evanescente. ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ ${\displaystyle \nabla }$

Las geodésicas sin una parametrización particular se describen mediante una conexión proyectiva .

Métodos computacionales

^{Mitchell, [3]} Kimmel, ^[4] Crane, ^[5] y otros han propuesto soluciones eficientes para el problema geodésico mínimo en superficies .

Prueba de cinta

Una "prueba" de cinta es una forma de encontrar una geodésica en una superficie física. ^[6] La idea es colocar un trozo de papel alrededor de una línea recta (una cinta) sobre una superficie curva lo más cerca posible sin estirar ni aplastar la cinta (sin cambiar su geometría interna).

Por ejemplo, cuando una cinta se enrolla como un anillo alrededor de un cono, la cinta no quedará sobre la superficie del cono sino que sobresaldrá, de modo que el círculo no sea una geodésica en el cono. Si la cinta se ajusta de manera que todas sus partes toquen la superficie del cono, daría una aproximación a una geodésica.

Matemáticamente, la prueba de la cinta se puede formular como encontrar un mapeo de una vecindad de una línea en un plano en una superficie de modo que el mapeo "no cambie mucho las distancias alrededor"; es decir, a la distancia de donde tenemos y están las métricas en y . ${\displaystyle f:N(\ell )\to S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle g_{N}-f^{*}(g_{S})=O(\varepsilon ^{2})}$ ${\displaystyle g_{N}}$ ${\displaystyle g_{S}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$

Aplicaciones

Las geodésicas sirven como base para calcular:

• fuselajes geodésicos; ver fuselaje geodésico o fuselaje geodésico
• estructuras geodésicas – por ejemplo cúpulas geodésicas
• distancias horizontales en o cerca de la Tierra; ver geodésicas de la Tierra
• mapeo de imágenes sobre superficies, para renderizado; ver mapeo UV
• planificación del movimiento del robot (por ejemplo, al pintar piezas de automóviles); ver problema del camino más corto
• corrección geodésica del camino más corto (GSP) sobre la reconstrucción de superficies de Poisson (por ejemplo, en odontología digital ); sin GSP la reconstrucción a menudo resulta en autointersecciones dentro de la superficie

Ver también

• Introducción a las matemáticas de la relatividad general  - introducción no técnica a las matemáticas de la relatividad generalPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Relación de Clairaut  - Fórmula en geometría diferencial clásicaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Curva diferenciable  – Estudio de curvas desde un punto de vista diferencial
• Geometría diferencial de superficies.
• círculo geodésico
• Teorema de Hopf-Rinow  : ofrece afirmaciones equivalentes sobre la completitud geodésica de las variedades de Riemann
• Métrica intrínseca  – Concepto en geometría/topología
• línea isotrópica
• campo jacobi
• Teoría de Morse  : analiza la topología de una variedad mediante el estudio de funciones diferenciables en esa variedad.
• Superficie de Zoll  : superficie homeomorfa a una esfera
• El problema de la araña y la mosca  – El problema de las geodésicas recreativas

Notas

1. Para una variedad pseudo-riemanniana , por ejemplo, una variedad de Lorentz , la definición es más complicada.
2. La ruta es un máximo local del intervalo k en lugar de un mínimo local.

Referencias

1. "geodésico". Diccionario de inglés Lexico del Reino Unido . Prensa de la Universidad de Oxford . Archivado desde el original el 16 de marzo de 2020.
2. "geodésico". Diccionario Merriam-Webster.com .
3. Mitchell, J.; Monte, D.; Papadimitriou, C. (1987). "El problema geodésico discreto". Revista SIAM de Computación . 16 (4): 647–668. doi :10.1137/0216045.
4. Kimmel, R.; Sethian, JA (1998). "Cálculo de rutas geodésicas en colectores" (PDF) . Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 95 (15): 8431–8435. Código bibliográfico : 1998PNAS...95.8431K. doi : 10.1073/pnas.95.15.8431 . PMC 21092 . PMID  9671694. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022. 
5. Grúa, K.; Weischedel, C.; Wardetzky, M. (2017). "El método del calor para el cálculo de distancias". Comunicaciones de la ACM . 60 (11): 90–99. doi :10.1145/3131280. S2CID  7078650.
6. Michael Stevens (2 de noviembre de 2017), [1] .

• Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 2) , Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3

Otras lecturas

• Adler, Ronald; Bazin, Mauricio; Schiffer, Menahem (1975), Introducción a la relatividad general (2ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000423-8. Véase el capítulo 2 .
• Abraham, Ralph H .; Marsden, Jerrold E. (1978), Fundamentos de la mecánica , Londres: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1. Ver sección 2.7 .
• Jost, Jürgen (2002), Geometría riemanniana y análisis geométrico , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1. Ver sección 1.4 .
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975), Teoría clásica de campos , Oxford: Pergamon, ISBN 978-0-08-018176-9. Véase la sección 87 .
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip ; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitación , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Ortín, Tomás (2004), Gravedad y cuerdas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-82475-0. Tenga en cuenta especialmente las páginas 7 y 10.
• Volkov, Yu.A. (2001) [1994], "Línea geodésica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Weinberg, Steven (1972), Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5. Véase el capítulo 3 .

enlaces externos

• Geodésica revisitada: Introducción a las geodésicas que incluye dos formas de derivar la ecuación de la geodésica con aplicaciones en geometría (geodésica sobre una esfera y sobre un toro ), mecánica ( braquistócrona ) y óptica (haz de luz en un medio no homogéneo).
• Subcolector totalmente geodésico en el Manifold Atlas