Curva pseudoholomórfica

En matemáticas , específicamente en topología y geometría , una curva pseudoholomórfica (o curva J -holomórfica ) es un mapa suave desde una superficie de Riemann hasta una variedad casi compleja que satisface la ecuación de Cauchy-Riemann . Introducidas en 1985 por Mikhail Gromov , las curvas pseudoholomórficas han revolucionado desde entonces el estudio de las variedades simplécticas . En particular, conducen a las invariantes de Gromov-Witten y a la homología de Floer , y desempeñan un papel destacado en la teoría de cuerdas .

Definición

Sea una variedad casi compleja con una estructura casi compleja . Sea una superficie de Riemann lisa (también llamada curva compleja ) con estructura compleja . Una curva pseudoholomórfica es un mapa que satisface la ecuación de Cauchy-Riemann ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:C\to X}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=0.}$

Dado que esta condición es equivalente a ${\displaystyle J^{2}=-1}$

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

lo que simplemente significa que el diferencial es lineal complejo, es decir, mapea cada espacio tangente ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X}$

a sí mismo. Por razones técnicas, a menudo es preferible introducir algún tipo de término no homogéneo y estudiar mapas que satisfagan la ecuación perturbada de Cauchy-Riemann. ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f=\nu .}$

Una curva pseudoholomórfica que satisface esta ecuación puede denominarse, más específicamente, curva -holomórfica . A veces se supone que la perturbación es generada por un hamiltoniano (particularmente en la teoría de Floer), pero en general no es necesario que sea así. ${\displaystyle (j,J,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

Una curva pseudoholomorfa está, por definición, siempre parametrizada. En las aplicaciones, a menudo uno está realmente interesado en curvas no parametrizadas, es decir, dos subvariedades incrustadas (o sumergidas) de , por lo que se modifica mediante reparametrizaciones del dominio que preservan la estructura relevante. En el caso de las invariantes de Gromov-Witten, por ejemplo, consideramos solo dominios cerrados de género fijo e introducimos puntos marcados (o pinchazos ) en . Tan pronto como la característica de Euler perforada es negativa, sólo hay un número finito de reparametrizaciones holomorfas que conservan los puntos marcados. La curva de dominio es un elemento del espacio de curvas de módulos de Deligne-Mumford . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2-2g-n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Analogía con las ecuaciones clásicas de Cauchy-Riemann

El caso clásico ocurre cuando y son ambos simplemente el plano de números complejos . En coordenadas reales ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle j=J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},}$

y

${\displaystyle df={\begin{bmatrix}du/dx&du/dy\\dv/dx&dv/dy\end{bmatrix}},}$

dónde . Después de multiplicar estas matrices en dos órdenes diferentes, se ve inmediatamente que la ecuación ${\displaystyle f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))}$

${\displaystyle J\circ df=df\circ j}$

escrito arriba es equivalente a las ecuaciones clásicas de Cauchy-Riemann

${\displaystyle {\begin{cases}du/dx=dv/dy\\dv/dx=-du/dy.\end{cases}}}$

Aplicaciones en topología simpléctica

Aunque pueden definirse para cualquier variedad casi compleja, las curvas pseudoholomórficas son especialmente interesantes cuando interactúan con una forma simpléctica . Se dice que una estructura casi compleja es dócil si y sólo si ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega (v,Jv)>0}$

para todos los vectores tangentes distintos de cero . La mansedumbre implica que la fórmula ${\displaystyle v}$

${\displaystyle (v,w)={\frac {1}{2}}\left(\omega (v,Jw)+\omega (w,Jv)\right)}$

define una métrica de Riemann en . Gromov demostró que, para un determinado , el espacio de -domesticado no está vacío y es contráctil . Usó esta teoría para demostrar un teorema de no compresión relativo a incrustaciones simplécticas de esferas en cilindros. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle J}$

Gromov demostró que ciertos espacios de módulos de curvas pseudoholomórficas (que satisfacen condiciones adicionales especificadas) son compactos y describió la forma en que las curvas pseudoholomórficas pueden degenerar cuando solo se supone energía finita. (La condición de energía finita se cumple más notablemente para curvas con una clase de homología fija en una variedad simpléctica donde J es -manso o -compatible). Este teorema de compacidad de Gromov , ahora muy generalizado utilizando mapas estables , hace posible la definición de invariantes de Gromov-Witten, que cuentan curvas pseudoholomórficas en variedades simplécticas. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Los espacios de módulo compacto de curvas pseudoholomórficas también se utilizan para construir la homología de Floer , que Andreas Floer (y autores posteriores, en mayor general) utilizaron para probar la famosa conjetura de Vladimir Arnol'd sobre el número de puntos fijos de los flujos hamiltonianos .

Aplicaciones en física

En la teoría de cuerdas de tipo II, se consideran superficies trazadas por cuerdas a medida que viajan a lo largo de caminos en un triple Calabi-Yau . Siguiendo la formulación de integral de trayectoria de la mecánica cuántica , se desea calcular ciertas integrales en el espacio de todas esas superficies. Debido a que dicho espacio es de dimensión infinita, estas integrales de trayectoria no están matemáticamente bien definidas en general. Sin embargo, bajo el giro A se puede deducir que las superficies están parametrizadas por curvas pseudoholomórficas, por lo que las integrales de trayectoria se reducen a integrales sobre espacios de módulos de curvas pseudoholomórficas (o más bien mapas estables), que son de dimensión finita. En la teoría de cuerdas cerrada de tipo IIA, por ejemplo, estas integrales son precisamente las invariantes de Gromov-Witten .

Ver también

• curva holomorfa

Referencias

• Dusa McDuff y Dietmar Salamon , J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology , publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society, 2004. ISBN  0-8218-3485-1 .
• Mikhail Leonidovich Gromov , Curvas pseudoholomórficas en variedades simplécticas. Invenciones Mathematicae vol. 82, 1985, págs. 307-347.
• Donaldson, Simon K. (octubre de 2005). "¿Qué es... una curva pseudoholomórfica?" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 52 (9): 1026–1027 . Consultado el 17 de enero de 2008 .