Teorema de no apretar

El teorema de no compresión , también llamado teorema de no compresión de Gromov , es uno de los teoremas más importantes de la geometría simpléctica . ^[1] Fue probado por primera vez en 1985 por Mikhail Gromov . ^[2] El teorema establece que no se puede incrustar una bola en un cilindro mediante un mapa simpléctico a menos que el radio de la bola sea menor o igual al radio del cilindro. El teorema es importante porque antiguamente se sabía muy poco sobre la geometría detrás de los mapas simplécticos.

Una consecuencia fácil de que una transformación sea simpléctica es que conserva el volumen . ^[3] Se puede incrustar fácilmente una bola de cualquier radio en un cilindro de cualquier otro radio mediante una transformación que preserva el volumen : simplemente imagínese apretando la bola dentro del cilindro (de ahí el nombre teorema de no compresión). Por lo tanto, el teorema de no compresión nos dice que, aunque las transformaciones simplécticas conservan el volumen, es mucho más restrictivo que una transformación sea simpléctica que conserve el volumen.

Antecedentes y declaración

Empezamos considerando los espacios simplécticos.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\},}$

la bola de radio R : ${\displaystyle B(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:\|z\|<R\},}$

y el cilindro de radio r : ${\displaystyle Z(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<r^{2}\},}$

cada uno dotado de la forma simpléctica

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\cdots +dx_{n}\wedge dy_{n}.}$

Nota: La elección de los ejes para el cilindro no es arbitraria dada la forma simpléctica fija anterior; es decir, los círculos del cilindro se encuentran cada uno en un subespacio simpléctico de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

El teorema de no compresión nos dice que si podemos encontrar una incrustación simpléctica φ  :  B ( R ) →  Z ( r ) entonces R  ≤  r .

El “camello simpléctico”

El teorema de no apretar de Gromov también ha llegado a ser conocido como el principio del camello simpléctico desde que Ian Stewart se refirió a él aludiendo a la parábola del camello y el ojo de una aguja . ^[4] Como afirma Maurice A. de Gosson :

Ahora bien, ¿por qué nos referimos a un camello simpléctico en el título de este artículo? Esto se debe a que se puede reformular el teorema de Gromov de la siguiente manera: no hay forma de deformar una bola en el espacio de fases usando transformaciones canónicas de tal manera que podamos hacerla pasar a través de un agujero en un plano de coordenadas conjugadas  , si el área de ese agujero es más pequeño que el de la sección transversal de esa bola. ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle p_{j}}$

—  Maurice A. de Gosson, El camello simpléctico y el principio de incertidumbre: ¿la punta de un iceberg? ^[5]

Similarmente:

Intuitivamente, un volumen en el espacio de fase no puede estirarse con respecto a un plano simpléctico particular más de lo que permite su “ancho simpléctico”. En otras palabras, es imposible introducir un camello simpléctico en el ojo de una aguja, si ésta es lo suficientemente pequeña. Este es un resultado muy poderoso, que está íntimamente ligado a la naturaleza hamiltoniana del sistema, y ​​es un resultado completamente diferente al teorema de Liouville , que sólo interesa el volumen general y no plantea ninguna restricción sobre la forma .

—  Andrea Censi, Camellos simplécticos y análisis de incertidumbre ^[6]

De Gosson ha demostrado que el teorema de no compresión está estrechamente relacionado con la desigualdad de Robertson-Schrödinger-Heisenberg , una generalización de la relación de incertidumbre de Heisenberg . La desigualdad de Robertson-Schrödinger-Heisenberg establece que:

${\displaystyle var(Q)var(P)\geq cov^{2}(Q,P)+\left({\frac {\hbar }{2}}\right)^{2}}$

con Q y P las coordenadas canónicas y var y cov las funciones de varianza y covarianza. ^[7]

Referencias

1. Tao, Terence (2006), Ecuaciones dispersivas no lineales: análisis local y global, Serie de conferencias regionales de matemáticas del CBMS, vol. 106, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, pág. 219, ISBN 9780821889503, MR  2233925, Este teorema es especialmente sorprendente a la luz del teorema de Darboux... Es un resultado de fundamental importancia en la geometría simpléctica..
2. Grómov, ML (1985). "Curvas pseudo holomorfas en variedades simplécticas". Invenciones Mathematicae . 82 (2): 307–347. Código Bib : 1985 InMat..82..307G. doi :10.1007/BF01388806. S2CID  4983969.
3. D. McDuff y D. Salamon (1996) Introducción a la topología simpléctica , Cambridge University Press ISBN 978-0-19-850451-1 . 
4. Stewart, I.: El camello simpléctico , Nature 329(6134), 17–18 (1987), doi :10.1038/329017a0. Citado después de Maurice A. de Gosson: El camello simpléctico y el principio de incertidumbre: ¿la punta de un iceberg? , Fundamentos de la Física (2009) 39, págs. 194–214, doi :10.1007/s10701-009-9272-2, en el mismo: pág. 196
5. Maurice A. de Gosson: El camello simpléctico y el principio de incertidumbre: ¿la punta de un iceberg? , Fundamentos de la Física (2009) 39, págs. 194–214, doi :10.1007/s10701-009-9272-2, en el mismo: pág. 199
6. Andrea Censi: camellos simplécticos y análisis de incertidumbre
7. Maurice de Gosson: ¿Qué tan clásico es el universo cuántico? arXiv:0808.2774v1 (presentado el 20 de agosto de 2008)

Otras lecturas

• Maurice A. de Gosson : El huevo simpléctico , arXiv:1208.5969v1, presentado el 29 de agosto de 2012; incluye una demostración de una variante del teorema para el caso de transformaciones canónicas lineales .
• Dusa McDuff : ¿Qué es la geometría simpléctica?, 2009