Mikhael Leonidovich Gromov (también Mikhail Gromov , Michael Gromov o Misha Gromov ; ruso: Михаи́л Леони́дович Гро́мов ; nacido el 23 de diciembre de 1943) es un matemático ruso-francés conocido por su trabajo en geometría , análisis y teoría de grupos . Es miembro permanente del Institut des Hautes Études Scientifiques de Francia y profesor de matemáticas en la Universidad de Nueva York .
Gromov ha ganado varios premios, incluido el Premio Abel en 2009 "por sus revolucionarias contribuciones a la geometría".
Mikhail Gromov nació el 23 de diciembre de 1943 en Boksitogorsk , Unión Soviética . Su padre Leonid Gromov era ruso-eslavo y su madre Lea era de ascendencia judía. Ambos eran patólogos . [1] Su madre era prima del campeón mundial de ajedrez Mikhail Botvinnik , así como del matemático Isaak Moiseevich Rabinovich. [2] Gromov nació durante la Segunda Guerra Mundial , y su madre, que trabajaba como médica en el ejército soviético, tuvo que abandonar la línea del frente para poder darle a luz. [3] Cuando Gromov tenía nueve años, [4] su madre le regaló el libro El disfrute de las matemáticas de Hans Rademacher y Otto Toeplitz , libro que despertó su curiosidad y tuvo una gran influencia en él. [3]
Gromov estudió matemáticas en la Universidad Estatal de Leningrado , donde obtuvo una maestría en 1965, un doctorado en 1969 y defendió su tesis postdoctoral en 1973. Su director de tesis fue Vladimir Rokhlin . [5]
Gromov se casó en 1967. En 1970, fue invitado a dar una presentación en el Congreso Internacional de Matemáticos en Niza , Francia. Sin embargo, no se le permitió salir de la URSS. Aún así, su conferencia fue publicada en las actas de la conferencia. [6]
Al no estar de acuerdo con el sistema soviético, había estado pensando en emigrar desde los 14 años. A principios de la década de 1970 dejó de publicar, con la esperanza de que esto ayudaría en su solicitud para mudarse a Israel . [4] [7] Cambió su apellido por el de su madre. [4] Recibió una carta codificada que decía que, si podía salir de la Unión Soviética, podría ir a Stony Brook , donde se le había arreglado un puesto. Cuando se concedió la solicitud en 1974, se mudó directamente a Nueva York y trabajó en Stony Brook. [6]
En 1981 dejó la Universidad de Stony Brook para incorporarse a la facultad de la Universidad de París VI y en 1982 se convirtió en profesor permanente en el Institut des Hautes Études Scientifiques, donde permanece hoy. Al mismo tiempo, ocupó cátedras en la Universidad de Maryland, College Park de 1991 a 1996, y en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de Nueva York desde 1996. [8] Adoptó la ciudadanía francesa en 1992. [9]
El estilo de geometría de Gromov a menudo presenta un punto de vista "tosco" o "suave", analizando propiedades asintóticas o de gran escala. [G00] También está interesado en la biología matemática , [10] la estructura del cerebro y el proceso de pensamiento, y la forma en que evolucionan las ideas científicas. [6]
Motivado por los teoremas de incrustación isométrica de Nash y Kuiper y los resultados sobre inmersiones de Morris Hirsch y Stephen Smale , [10] Gromov introdujo el principio h en varias formulaciones. Siguiendo el modelo del caso especial de la teoría de Hirsch-Smale, introdujo y desarrolló la teoría general de las gavillas microflexibles , demostrando que satisfacen un principio h en variedades abiertas . [G69] Como consecuencia (entre otros resultados) pudo establecer la existencia de métricas de Riemann con curvatura positiva y curva negativa en cualquier variedad abierta . Su resultado está en contrapunto a las restricciones topológicas bien conocidas (como el teorema del alma de Cheeger-Gromoll o el teorema de Cartan-Hadamard ) sobre variedades de Riemann geodésicamente completas de curvatura positiva o negativa. Después de este trabajo inicial, desarrolló más principios h en parte en colaboración con Yakov Eliashberg , incluido el trabajo basado en el teorema de Nash y Kuiper y el teorema de la función implícita de Nash-Moser . Hay muchas aplicaciones de sus resultados, incluidas las condiciones topológicas para la existencia de inmersiones lagrangianas exactas y objetos similares en geometría simpléctica y de contacto . [11] [12] Su conocido libro Relaciones diferenciales parciales recoge la mayor parte de su trabajo sobre estos problemas. [G86] Más tarde, aplicó sus métodos a la geometría compleja , demostrando ciertos casos del principio de Oka sobre la deformación de mapas continuos a mapas holomórficos . [G89] Su trabajo inició un estudio renovado de la teoría de Oka-Grauert, que se había introducido en la década de 1950. [13] [14]
Gromov y Vitali Milman formularon los fenómenos de concentración de medidas . [GM83] Definieron una "familia Lévy" como una secuencia de espacios de medidas métricas normalizadas en los que cualquier secuencia de conjuntos asintóticamente no evanescente puede engrosarse métricamente para incluir casi todos los puntos. Esto imita fielmente los fenómenos de la ley de los grandes números y, de hecho, la ley de los grandes números puede situarse en el marco de las familias de Lévy. Gromov y Milman desarrollaron la teoría básica de las familias de Lévy e identificaron una serie de ejemplos, los más importantes provienen de secuencias de variedades de Riemann en las que el límite inferior de la curvatura de Ricci o el primer valor propio del operador de Laplace-Beltrami divergen hasta el infinito. También destacaron una característica de las familias de Lévy en la que cualquier secuencia de funciones continuas debe ser asintóticamente casi constante. Estas consideraciones han sido llevadas más allá por otros autores, como Michel Talagrand . [15]
Desde la publicación fundamental de 1964 de James Eells y Joseph Sampson sobre mapas armónicos , se han deducido varios fenómenos de rigidez a partir de la combinación de un teorema de existencia para mapeos armónicos junto con un teorema de desaparición que afirma que (ciertos) mapeos armónicos deben ser totalmente geodésicos u holomórficos. [16] [17] [18] Gromov tuvo la idea de que la extensión de este programa al establecimiento de asignaciones en espacios métricos implicaría nuevos resultados en grupos discretos , siguiendo la superrigidez de Margulis . Richard Schoen llevó a cabo el trabajo analítico para extender la teoría del mapa armónico al entorno del espacio métrico; Posteriormente, Nicholas Korevaar y Schoen hicieron esto de manera más sistemática, estableciendo extensiones de la mayor parte de la teoría espacial estándar de Sobolev . [19] Un ejemplo de aplicación de los métodos de Gromov y Schoen es el hecho de que las redes en el grupo de isometría del espacio hiperbólico cuaterniónico son aritméticas . [GS92]
En 1978, Gromov introdujo la noción de variedades casi planas . [G78] El famoso teorema de un cuarto de esfera pellizcada en geometría de Riemann dice que si una variedad de Riemann completa tiene curvaturas seccionales que están suficientemente cerca de una constante positiva dada, entonces M debe estar cubierto de manera finita por una esfera. Por el contrario, se puede ver mediante escala que cada variedad de Riemann cerrada tiene métricas de Riemann cuyas curvaturas seccionales son arbitrariamente cercanas a cero. Gromov demostró que si la posibilidad de escalamiento se rompe al considerar únicamente variedades de Riemann de un diámetro fijo, entonces una variedad cerrada que admita tal métrica de Riemann, con curvaturas seccionales suficientemente cercanas a cero, debe estar cubierta de manera finita por una variedad nula . La prueba funciona reproduciendo las demostraciones del teorema de Bieberbach y el lema de Margulis . La prueba de Gromov fue expuesta cuidadosamente por Peter Buser y Hermann Karcher. [20] [21] [22]
En 1979, Richard Schoen y Shing-Tung Yau demostraron que la clase de variedades suaves que admiten métricas riemannianas de curvatura escalar positiva es topológicamente rica. En particular, demostraron que esta clase está cerrada bajo la operación de suma conectada y de cirugía en codimensión al menos tres. [23] Su prueba utilizó métodos elementales de ecuaciones diferenciales parciales , en particular los relacionados con la función de Green . Gromov y Blaine Lawson dieron otra prueba de los resultados de Schoen y Yau, utilizando construcciones geométricas elementales. [GL80b] También mostraron cómo resultados puramente topológicos como el teorema del cobordismo h de Stephen Smale podrían aplicarse para sacar conclusiones como el hecho de que toda variedad lisa cerrada y simplemente conexa de dimensión 5, 6 o 7 tiene una Métrica de Riemann de curvatura escalar positiva. Además, introdujeron la nueva clase de variedades ampliables , que se distinguen por una condición en la teoría de la homotopía . [GL80a] Demostraron que las métricas de Riemann de curvatura escalar positiva no pueden existir en tales variedades. Una consecuencia particular es que el toro no puede soportar ninguna métrica riemanniana de curvatura escalar positiva, que había sido una conjetura importante resuelta previamente por Schoen y Yau en dimensiones bajas. [24]
En 1981, Gromov identificó restricciones topológicas, basadas en números de Betti , en variedades que admiten métricas de Riemann de curvatura seccional no negativa . [G81a] La idea principal de su trabajo fue combinar la teoría Morse de Karsten Grove y Katsuhiro Shiohama para la función de distancia de Riemann, con el control de la función de distancia obtenida del teorema de comparación de Toponogov , junto con la desigualdad de Bishop-Gromov sobre el volumen de bolas geodésicas. . [25] Esto resultó en cubiertas de la variedad controladas topológicamente por bolas geodésicas, a las que se podrían aplicar argumentos de secuencia espectral para controlar la topología de la variedad subyacente. La topología de los límites inferiores de la curvatura seccional aún no se comprende completamente y el trabajo de Gromov sigue siendo un resultado principal. Como aplicación de la teoría de Hodge , Peter Li y Yau pudieron aplicar sus estimaciones de gradiente para encontrar estimaciones de números de Betti similares que son más débiles que las de Gromov pero permiten que la variedad tenga un límite convexo. [26]
En la teoría de la compacidad fundamental de Jeff Cheeger para variedades de Riemann, un paso clave en la construcción de coordenadas en el espacio límite es una estimación del radio de inyectividad para variedades cerradas . [27] Cheeger, Gromov y Michael Taylor localizaron la estimación de Cheeger y mostraron cómo utilizar la comparación de volumen de Bishop-Gromov para controlar el radio de inyectividad en términos absolutos mediante límites de curvatura y volúmenes de bolas geodésicas. [CGT82] Su estimación se ha utilizado en varios lugares donde la construcción de coordenadas es un problema importante. [28] [29] [30] Un ejemplo particularmente conocido de esto es mostrar que el "teorema del no colapso" de Grigori Perelman para el flujo de Ricci , que controla el volumen, es suficiente para permitir aplicaciones de la teoría de la compacidad de Richard Hamilton . [31] [32] [33] Cheeger, Gromov y Taylor aplicaron su estimación del radio de inyectividad para demostrar el control gaussiano del núcleo de calor , aunque Li y Yau mejoraron posteriormente estas estimaciones como una aplicación de sus estimaciones de gradiente. [26]
Gromov hizo contribuciones fundamentales a la geometría sistólica . La geometría sistólica estudia la relación entre los invariantes de tamaño (como el volumen o el diámetro) de una variedad M y sus subvariedades topológicamente no triviales (como las curvas no contráctiles). En su artículo de 1983 "Relleno de variedades de Riemann" [G83] Gromov demostró que toda variedad esencial con una métrica de Riemann contiene una geodésica cerrada no contráctil de longitud como máximo . [34]
En 1981, Gromov introdujo la métrica de Gromov-Hausdorff , que dota al conjunto de todos los espacios métricos de la estructura de un espacio métrico. [G81b] De manera más general, se puede definir la distancia de Gromov-Hausdorff entre dos espacios métricos, en relación con la elección de un punto en cada espacio. Aunque esto no proporciona una métrica sobre el espacio de todos los espacios métricos, es suficiente para definir la "convergencia de Gromov-Hausdorff" de una secuencia de espacios métricos puntiagudos hasta un límite. Gromov formuló un importante teorema de compacidad en este contexto, dando una condición bajo la cual una secuencia de espacios métricos puntiagudos y "propios" debe tener una subsecuencia que converja. Esto fue posteriormente reformulado por Gromov y otros en la noción más flexible de ultralímite . [G93]
El teorema de compacidad de Gromov tuvo un profundo impacto en el campo de la teoría geométrica de grupos . Lo aplicó para comprender la geometría asintótica de la palabra métrica de un grupo de crecimiento polinomial , tomando el límite de reescalaciones bien elegidas de la métrica. Al rastrear los límites de las isometrías de la palabra métrica, pudo demostrar que el espacio métrico limitante tiene continuidades inesperadas y, en particular, que su grupo de isometría es un grupo de Lie . [G81b] Como consecuencia, pudo resolver la conjetura de Milnor-Wolf planteada en la década de 1960, que afirma que cualquier grupo de este tipo es prácticamente nilpotente . Utilizando ultralímites, se pueden estudiar estructuras asintóticas similares para espacios métricos más generales. [G93] Bruce Kleiner , Bernhard Leeb y Pierre Pansu , entre otros, dieron importantes avances sobre este tema . [35] [36]
Otra consecuencia es el teorema de compacidad de Gromov , que establece que el conjunto de variedades riemannianas compactas con curvatura de Ricci ≥ c y diámetro ≤ D es relativamente compacto en la métrica de Gromov-Hausdorff. [G81b] Los posibles puntos límite de secuencias de tales variedades son espacios de curvatura de Alexandrov ≥ c , una clase de espacios métricos estudiados en detalle por Burago , Gromov y Perelman en 1992. [BGP92]
Junto con Eliyahu Rips , Gromov introdujo la noción de grupos hiperbólicos . [G87]
La teoría de las curvas pseudoholomórficas de Gromov es uno de los fundamentos del estudio moderno de la geometría simpléctica . [G85] Aunque no fue el primero en considerar curvas pseudoholomórficas, descubrió un fenómeno de "burbujeo" paralelo al trabajo anterior de Karen Uhlenbeck sobre las conexiones de Yang-Mills y al trabajo de Uhlenbeck y Jonathan Sack sobre mapas armónicos . [37] [38] Desde el trabajo de Sacks, Uhlenbeck y Gromov, este tipo de fenómenos burbujeantes se han encontrado en otros contextos geométricos. El correspondiente teorema de compacidad que codifica el burbujeo permitió a Gromov llegar a una serie de conclusiones analíticamente profundas sobre la existencia de curvas pseudoholomórficas. Un resultado particularmente famoso de Gromov, al que llegó como consecuencia de la teoría de la existencia y la fórmula de monotonicidad para superficies mínimas , es el " teorema de no compresión ", que proporcionó una característica cualitativa sorprendente de la geometría simpléctica. Siguiendo las ideas de Edward Witten , el trabajo de Gromov también es fundamental para la teoría de Gromov-Witten , que es un tema ampliamente estudiado que abarca la teoría de cuerdas , la geometría algebraica y la geometría simpléctica . [39] [40] [41] Desde una perspectiva diferente, el trabajo de Gromov también fue una inspiración para gran parte del trabajo de Andreas Floer . [42]
Yakov Eliashberg y Gromov desarrollaron parte de la teoría básica de las nociones simplécticas de convexidad. [EG91] Introducen varias nociones específicas de convexidad, todas las cuales tienen que ver con la existencia de familias de difeomorfismos de un solo parámetro que contraen la forma simpléctica. Muestran que la convexidad es un contexto apropiado para que un principio h sea válido para el problema de construir ciertos simplectomorfismos . También introdujeron nociones análogas en geometría de contacto ; La existencia de estructuras de contacto convexas fue estudiada posteriormente por Emmanuel Giroux . [43]
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