En la teoría geométrica de grupos , el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico , demostrado por primera vez por Mikhail Gromov , [1] caracteriza los grupos de crecimiento polinómico finitamente generados , como aquellos grupos que tienen subgrupos nilpotentes de índice finito .
La tasa de crecimiento de un grupo es una noción bien definida a partir del análisis asintótico . Decir que un grupo generado finitamente tiene crecimiento polinómico significa que el número de elementos de longitud como máximo n (en relación con un conjunto generador simétrico) está limitado anteriormente por una función polinómica p ( n ). El orden de crecimiento es entonces el menor grado de cualquier función polinómica p .
Un grupo nilpotente G es un grupo con una serie central inferior que termina en el subgrupo de identidad.
El teorema de Gromov establece que un grupo generado finitamente tiene crecimiento polinómico si y sólo si tiene un subgrupo nilpotente de índice finito.
Existe una vasta literatura sobre las tasas de crecimiento que conduce al teorema de Gromov. Un resultado anterior de Joseph A. Wolf [2] mostró que si G es un grupo nilpotente generado finitamente, entonces el grupo tiene crecimiento polinómico. Yves Guivarc'h [3] e independientemente Hyman Bass [4] (con diferentes pruebas) calcularon el orden exacto del crecimiento polinomial. Sea G un grupo nilpotente finitamente generado con series centrales inferiores
En particular, el grupo cociente G k / G k +1 es un grupo abeliano generado finitamente.
La fórmula de Bass-Guivarc'h establece que el orden de crecimiento polinomial de G es
dónde:
En particular, el teorema de Gromov y la fórmula de Bass-Guivarc'h implican que el orden de crecimiento polinomial de un grupo generado finitamente es siempre un número entero o infinito (excluyendo, por ejemplo, potencias fraccionarias).
Otra buena aplicación del teorema de Gromov y la fórmula de Bass-Guivarca es la rigidez cuasi isométrica de grupos abelianos generados finitamente: cualquier grupo que sea cuasi isométrico para un grupo abeliano generado finitamente contiene un grupo abeliano libre de índice finito.
Para demostrar este teorema, Gromov introdujo una convergencia para espacios métricos. Esta convergencia, ahora llamada convergencia de Gromov-Hausdorff , es actualmente muy utilizada en geometría.
Bruce Kleiner encontró una demostración relativamente simple del teorema . [5] Más tarde, Terence Tao y Yehuda Shalom modificaron la prueba de Kleiner para hacer una prueba esencialmente elemental, así como una versión del teorema con límites explícitos. [6] [7] El teorema de Gromov también se deriva de la clasificación de grupos aproximados obtenida por Breuillard, Green y Tao. Ozawa ofrece una prueba simple y concisa basada en métodos analíticos funcionales . [8]
Más allá del teorema de Gromov, uno puede preguntarse si existe una brecha en el espectro de crecimiento para grupos finitamente generados justo por encima del crecimiento polinómico, separando grupos virtualmente nilpotentes de otros. Formalmente, esto significa que existiría una función tal que un grupo generado finitamente sea prácticamente nilpotente si y sólo si su función de crecimiento es . Shalom y Tao obtuvieron tal teorema, con una función explícita para algunos . Todos los grupos conocidos con crecimiento intermedio (es decir, tanto superpolinomiales como subexponenciales) son esencialmente generalizaciones del grupo de Grigorchuk y tienen funciones de crecimiento más rápidas; entonces todos los grupos conocidos tienen un crecimiento más rápido que , con , donde está la raíz real del polinomio . [9]
Se conjetura que el verdadero límite inferior de las tasas de crecimiento de los grupos con crecimiento intermedio es . Esto se conoce como la conjetura de Gap . [10]