Tasa de crecimiento (teoría de grupos)

En la materia matemática de teoría geométrica de grupos , la tasa de crecimiento de un grupo con respecto a un conjunto generador simétrico describe qué tan rápido crece un grupo. Cada elemento del grupo se puede escribir como un producto de generadores, y la tasa de crecimiento cuenta la cantidad de elementos que se pueden escribir como un producto de longitud n .

Definición

Supongamos que G es un grupo finitamente generado; y T es un conjunto finito simétrico de generadores (simétrico significa que si entonces ). Cualquier elemento se puede expresar como una palabra en el alfabeto T. ${\displaystyle x\in T}$ ${\displaystyle x^{-1}\in T}$ ${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ where }}a_{i}\in T.}$

Considere el subconjunto de todos los elementos de G que pueden expresarse mediante una palabra de longitud ≤  n

${\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ where }}a_{i}\in T{\text{ and }}k\leq n\}.}$

Este conjunto es simplemente la bola cerrada de radio n en la palabra métrica d en G con respecto al conjunto generador T :

${\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid d(x,e)\leq n\}.}$

Más geométricamente, es el conjunto de vértices del gráfico de Cayley con respecto a T que están a una distancia n de la identidad. ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$

Dadas dos funciones positivas no decrecientes a y b se puede decir que son equivalentes ( ) si existe una constante C tal que para todos los números enteros positivos  n , ${\displaystyle a\sim b}$

${\displaystyle a(n/C)\leq b(n)\leq a(Cn),\,}$

por ejemplo si . ${\displaystyle p^{n}\sim q^{n}}$ ${\displaystyle p,q>1}$

Entonces la tasa de crecimiento del grupo G se puede definir como la clase de equivalencia correspondiente de la función

${\displaystyle \#(n)=|B_{n}(G,T)|,}$

donde denota el número de elementos del conjunto . Aunque la función depende del conjunto de generadores T, su tasa de crecimiento no lo hace (ver más abajo) y por lo tanto la tasa de crecimiento da una invariante de un grupo. ${\displaystyle |B_{n}(G,T)|}$ ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$ ${\displaystyle \#(n)}$

La palabra métrica d y por tanto los conjuntos dependen del conjunto generador T. Sin embargo, dos de estas métricas cualesquiera son equivalentes de bilipschitz en el siguiente sentido: para conjuntos generadores simétricos finitos E , F , existe una constante positiva C tal que ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$

${\displaystyle {1 \over C}\ d_{F}(x,y)\leq d_{E}(x,y)\leq C\ d_{F}(x,y).}$

Como corolario inmediato de esta desigualdad tenemos que la tasa de crecimiento no depende de la elección del grupo electrógeno.

Crecimiento polinómico y exponencial.

Si

${\displaystyle \#(n)\leq C(n^{k}+1)}$

para algunos decimos que G tiene una tasa de crecimiento polinómica . El mínimo de tales k se llama orden de crecimiento polinomial . Según el teorema de Gromov , un grupo de crecimiento polinómico es un grupo prácticamente nilpotente , es decir, tiene un subgrupo nilpotente de índice finito . En particular, el orden de crecimiento del polinomio tiene que ser un número natural y de hecho . ${\displaystyle C,k<\infty }$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$

Si para algunos decimos que G tiene una tasa de crecimiento exponencial . Cada G generado finitamente tiene como máximo un crecimiento exponencial, es decir, para algunos tenemos . ${\displaystyle \#(n)\geq a^{n}}$ ${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \#(n)\leq b^{n}}$

Si crece más lentamente que cualquier función exponencial , G tiene una tasa de crecimiento subexponencial . Cualquier grupo de este tipo es susceptible . ${\displaystyle \#(n)}$

Ejemplos

• Un grupo libre de rango finito tiene una tasa de crecimiento exponencial. ${\displaystyle k>1}$
• Un grupo finito tiene un crecimiento constante, es decir, un crecimiento polinómico de orden 0, y esto incluye grupos fundamentales de variedades cuya cobertura universal es compacta .
• Si M es una variedad de Riemann cerrada con curva negativa , entonces su grupo fundamental tiene una tasa de crecimiento exponencial. John Milnor demostró esto utilizando el hecho de que la palabra métrica on es casi isométrica a la cobertura universal de M. ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$
• El grupo abeliano libre tiene una tasa de crecimiento polinomial de orden d . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$
• El grupo discreto de Heisenberg tiene una tasa de crecimiento polinómico de orden 4. Este hecho es un caso especial del teorema general de Hyman Bass e Yves Guivarch que se analiza en el artículo sobre el teorema de Gromov . ${\displaystyle H_{3}}$
• El grupo farolero tiene un crecimiento exponencial.
• La existencia de grupos con crecimiento intermedio , es decir subexponenciales pero no polinomiales, estuvo abierta durante muchos años. La pregunta fue formulada por Milnor en 1968 y finalmente Rostislav Grigorchuk respondió afirmativamente en 1984. Aún quedan preguntas abiertas en esta área y falta una imagen completa de qué órdenes de crecimiento son posibles y cuáles no.
• Los grupos de triángulos incluyen infinitos grupos finitos (los esféricos, correspondientes a la esfera), tres grupos de crecimiento cuadrático (los euclidianos, correspondientes al plano euclidiano) e infinitos grupos de crecimiento exponencial (los hiperbólicos, correspondientes al plano hiperbólico). avión).

Ver también

• Conexiones con desigualdades isoperimétricas

Referencias

• Milnor J. (1968). "Una nota sobre curvatura y grupo fundamental". Revista de Geometría Diferencial . 2 : 1–7. doi : 10.4310/jdg/1214501132 .
• Grigorchuk RI (1984). "Grados de crecimiento de grupos finitamente generados y teoría de medias invariantes". Izv. Akád. Nauk SSSR Ser. Estera. (en ruso). 48 (5): 939–985.

Otras lecturas

• Rostislav Grigorchuk e Igor Pak (2006). "Grupos de crecimiento intermedio: una introducción para principiantes". arXiv : math.GR/0607384 .