Concepto matemático
En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta que estudia grupos infinitos , el adverbio virtualmente se usa para modificar una propiedad de modo que sólo sea válida para un subgrupo de índice finito . Dada una propiedad P, se dice que el grupo G es virtualmente P si hay un subgrupo de índice finito tal que H tiene la propiedad P.![{\displaystyle H\leq G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los usos comunes para esto serían cuando P es abeliano , nilpotente , soluble o libre . Por ejemplo, los grupos virtualmente resolubles son una de las dos alternativas en la alternativa de Tit , mientras que el teorema de Gromov establece que los grupos finitamente generados con crecimiento polinómico son precisamente los grupos finitamente generados virtualmente nilpotentes.
Esta terminología también se utiliza cuando P es simplemente otro grupo. Es decir, si G y H son grupos, entonces G es virtualmente H si G tiene un subgrupo K de índice finito en G tal que K es isomorfo a H.
En particular, un grupo es prácticamente trivial si y sólo si es finito. Dos grupos son prácticamente iguales si y sólo si son conmensurables .
Ejemplos
Virtualmente abeliano
Los siguientes grupos son prácticamente abelianos.
- Cualquier grupo abeliano.
- Cualquier producto semidirecto donde N es abeliano y H es finito. (Por ejemplo, cualquier grupo diédrico generalizado ).
![{\displaystyle N\rveces H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Cualquier producto semidirecto donde N es finito y H es abeliano.
![{\displaystyle N\rveces H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Cualquier grupo finito (ya que el subgrupo trivial es abeliano).
Virtualmente nilpotente
- Cualquier grupo que sea virtualmente abeliano.
- Cualquier grupo nilpotente.
- Cualquier producto semidirecto donde N es nilpotente y H es finito.
![{\displaystyle N\rveces H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Cualquier producto semidirecto donde N es finito y H es nilpotente.
![{\displaystyle N\rveces H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El teorema de Gromov dice que un grupo generado finitamente es prácticamente nilpotente si y sólo si tiene un crecimiento polinómico.
Prácticamente policíclico
Prácticamente gratis
- Cualquier grupo gratuito .
- Cualquier grupo prácticamente cíclico.
- Cualquier producto semidirecto donde N es libre y H es finito.
![{\displaystyle N\rveces H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Cualquier producto semidirecto donde N es finito y H es libre.
![{\displaystyle N\rveces H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Cualquier producto libre , donde H y K son ambos finitos. (Por ejemplo, el grupo modular ).
![{\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Del teorema de Stalling se deduce que cualquier grupo prácticamente libre y libre de torsión es libre.
Otros
El grupo libre en 2 generadores es prácticamente para cualquiera como consecuencia del teorema de Nielsen-Schreier y la fórmula del índice de Schreier .![{\ Displaystyle F_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle F_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El grupo está prácticamente conectado y tiene el índice 2.![{\displaystyle \operatorname {O} (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
Busque virtualmente en Wikcionario, el diccionario gratuito.
- Schneebeli, Hans Rudolf (1978). "Sobre propiedades virtuales y extensiones de grupos". Mathematische Zeitschrift . 159 : 159-167. doi :10.1007/bf01214488. Zbl 0358.20048.