Curvatura de variedades de Riemann

De izquierda a derecha: una superficie de curvatura gaussiana negativa ( hiperboloide ), una superficie de curvatura gaussiana cero ( cilindro ) y una superficie de curvatura gaussiana positiva ( esfera ). En dimensiones superiores, una variedad puede tener diferentes curvaturas en diferentes direcciones, descritas por el tensor de curvatura de Riemann .

En matemáticas , específicamente en geometría diferencial , la geometría infinitesimal de variedades de Riemann con dimensión mayor que 2 es demasiado complicada para ser descrita por un solo número en un punto dado. Riemann introdujo una forma abstracta y rigurosa de definir la curvatura de estas variedades, ahora conocida como tensor de curvatura de Riemann . Nociones similares han encontrado aplicaciones en todas partes en la geometría diferencial de superficies y otros objetos. La curvatura de una variedad pseudo-riemanniana se puede expresar de la misma manera con sólo ligeras modificaciones.

Formas de expresar la curvatura de una variedad de Riemann

El tensor de curvatura de Riemann

La curvatura de una variedad de Riemann se puede describir de varias maneras; el más estándar es el tensor de curvatura, dado en términos de una conexión Levi-Civita (o diferenciación covariante ) y un corchete de Lie mediante la siguiente fórmula: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}$

Aquí hay una transformación lineal del espacio tangente de la variedad; es lineal en cada argumento. Si y son campos vectoriales de coordenadas, entonces y por lo tanto la fórmula se simplifica a ${\displaystyle R(u,v)}$ ${\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}}$ ${\displaystyle [u,v]=0}$

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w}$

es decir, el tensor de curvatura mide la no conmutatividad de la derivada covariante .

La transformación lineal también se llama transformación de curvatura o endomorfismo . ${\displaystyle w\mapsto R(u,v)w}$

NB: hay algunos libros donde el tensor de curvatura se define con signo opuesto.

Simetrías e identidades

El tensor de curvatura tiene las siguientes simetrías:

${\displaystyle R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}}$

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}}$

${\displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}}$

La última identidad fue descubierta por Ricci , pero a menudo se la llama la primera identidad de Bianchi , simplemente porque se parece a la identidad de Bianchi que aparece a continuación. Las dos primeras deben abordarse como antisimetría y propiedad del álgebra de Lie respectivamente, ya que la segunda significa que R ( u , v ) para todos los u , v son elementos del álgebra de Lie pseudoortogonal. Los tres juntos deberían denominarse estructura de curvatura pseudoortogonal . Dan lugar a un tensor sólo mediante identificaciones con objetos del álgebra tensorial, pero también hay identificaciones con conceptos del álgebra de Clifford. Observemos que estos tres axiomas de una estructura de curvatura dan lugar a una teoría estructural bien desarrollada, formulada en términos de proyectores (un proyector de Weyl, que da lugar a la curvatura de Weyl , y un proyector de Einstein, necesario para establecer las ecuaciones gravitacionales de Einstein). ). Esta teoría de la estructura es compatible con la acción de los grupos pseudoortogonales más dilataciones . Tiene fuertes vínculos con la teoría de los grupos y álgebras de Lie , las triples de Lie y las álgebras de Jordan. Vea las referencias dadas en la discusión.

Las tres identidades forman una lista completa de simetrías del tensor de curvatura, es decir, dado cualquier tensor que satisfaga las identidades anteriores, se podría encontrar una variedad de Riemann con dicho tensor de curvatura en algún punto. Cálculos simples muestran que dicho tensor tiene componentes independientes. Otra identidad útil se desprende de estas tres: ${\displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12}$

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}}$

La identidad de Bianchi (a menudo la segunda identidad de Bianchi ) implica las derivadas covariantes:

${\displaystyle \nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0}$

Curvatura seccional

La curvatura seccional es una descripción adicional, equivalente pero más geométrica, de la curvatura de las variedades de Riemann. Es una función que depende de una sección (es decir, un plano 2 en los espacios tangentes). Es la curvatura de Gauss de la sección - en p ; aquí la sección es una pieza de superficie definida localmente que tiene el plano tangente en p , obtenida de geodésicas que comienzan en p en las direcciones de la imagen de bajo el mapa exponencial en p . ${\displaystyle K(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Si son dos vectores linealmente independientes entonces ${\displaystyle v,u}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle K(\sigma )=K(u,v)/|u\wedge v|^{2}{\text{ where }}K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle }$

La siguiente fórmula indica que la curvatura seccional describe completamente el tensor de curvatura:

${\displaystyle 6\langle R(u,v)w,z\rangle =_{}^{}}$

${\displaystyle [K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w)+K(u,w)+K(v,z)]-_{}^{}}$

${\displaystyle [K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z)+K(v,w)+K(u,z)]._{}^{}}$

O en una fórmula más sencilla:

$${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle ={\frac {1}{6}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,v+tw)-K(u+sw,v+tz)\right)\right|_{(s,t)=(0,0)}}$$

forma de curvatura

La forma de conexión ofrece una forma alternativa de describir la curvatura. Se utiliza más para paquetes vectoriales generales y para paquetes principales , pero funciona igual de bien para el paquete tangente con la conexión Levi-Civita . La curvatura de una variedad de Riemann de n dimensiones viene dada por una matriz antisimétrica n × n de 2 formas (o equivalentemente una 2 formas con valores en , el álgebra de Lie del grupo ortogonal , que es el grupo de estructura del paquete tangente de una variedad de Riemann). ${\displaystyle \Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {so} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$

Sea una sección local de bases ortonormales. Entonces se puede definir la forma de conexión, una matriz antisimétrica de formas 1 que satisfacen la siguiente identidad ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\ j}^{i}}$

${\displaystyle \omega _{\ j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}}e_{j},e_{k}\rangle }$

Entonces la forma de curvatura está definida por ${\displaystyle \Omega =\Omega _{\ j}^{i}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$.

Tenga en cuenta que la expresión " " es una abreviatura de y, por tanto, no necesariamente desaparece. A continuación se describe la relación entre la forma de curvatura y el tensor de curvatura: ${\displaystyle \omega \wedge \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\ j}^{i}\wedge \omega _{\ k}^{j}}$

${\displaystyle R(u,v)w=\Omega (u\wedge v)w.}$

Este enfoque se basa en todas las simetrías del tensor de curvatura excepto la primera identidad de Bianchi , que toma forma

${\displaystyle \Omega \wedge \theta =0}$

donde es un n -vector de 1 formas definido por . La segunda identidad de Bianchi toma forma ${\displaystyle \theta =\theta ^{i}}$ ${\displaystyle \theta ^{i}(v)=\langle e_{i},v\rangle }$

${\displaystyle D\Omega =0}$

D denota la derivada covariante exterior

El operador de curvatura

A veces es conveniente pensar en la curvatura como un operador en bivectores tangentes (elementos de ), que se define de forma única mediante la siguiente identidad: ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Lambda ^{2}(T)}$

${\displaystyle \langle Q(u\wedge v),w\wedge z\rangle =\langle R(u,v)z,w\rangle .}$

Es posible hacer esto precisamente debido a las simetrías del tensor de curvatura (es decir, la antisimetría en el primer y último par de índices, y la simetría de bloque de esos pares).

Más tensores de curvatura

En general, los siguientes tensores y funciones no describen completamente el tensor de curvatura, sin embargo, juegan un papel importante.

Curvatura escalar

La curvatura escalar es una función de cualquier variedad de Riemann, denotada de diversas formas por o . Es la traza completa del tensor de curvatura; dada una base ortonormal en el espacio tangente en un punto ${\displaystyle S,R}$ ${\displaystyle {\text{Sc}}}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

tenemos

${\displaystyle S=\sum _{i,j}\langle R(e_{i},e_{j})e_{j},e_{i}\rangle =\sum _{i}\langle {\text{Ric}}(e_{i}),e_{i}\rangle ,}$

donde denota el tensor de Ricci . El resultado no depende de la elección de la base ortonormal. Comenzando con la dimensión 3, la curvatura escalar no describe completamente el tensor de curvatura. ${\displaystyle {\text{Ric}}}$

Curvatura de Ricci

La curvatura de Ricci es un operador lineal en el espacio tangente en un punto, generalmente denotado por . Dada una base ortonormal en el espacio tangente en p tenemos ${\displaystyle {\text{Ric}}}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle {\text{Ric}}(u)=\sum _{i}R(u,e_{i})e_{i}._{}^{}}$

El resultado no depende de la elección de la base ortonormal. Con cuatro o más dimensiones, la curvatura de Ricci no describe completamente el tensor de curvatura.

En el artículo sobre los símbolos de Christoffel se dan expresiones explícitas para el tensor de Ricci en términos de la conexión Levi-Civita .

Tensor de curvatura de Weyl

El tensor de curvatura de Weyl tiene las mismas simetrías que el tensor de curvatura de Riemann, pero con una restricción adicional: su rastro (tal como se usa para definir la curvatura de Ricci) debe desaparecer.

El tensor de Weyl es invariante con respecto a un cambio conforme de métrica: si dos métricas están relacionadas como para alguna función escalar positiva , entonces . ${\displaystyle {\tilde {g}}=fg}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tilde {W}}=W}$

En las dimensiones 2 y 3, el tensor de Weyl desaparece, pero en 4 o más dimensiones el tensor de Weyl puede ser distinto de cero. Para una variedad de curvatura constante , el tensor de Weyl es cero. Además, si y sólo si la métrica es localmente conforme a la métrica euclidiana . ${\displaystyle W=0}$

Descomposición de Ricci

Aunque individualmente, el tensor de Weyl y el tensor de Ricci no determinan en general el tensor de curvatura completo, el tensor de curvatura de Riemann se puede descomponer en una parte de Weyl y una parte de Ricci. Esta descomposición se conoce como descomposición de Ricci y juega un papel importante en la geometría conforme de las variedades de Riemann. En particular, se puede utilizar para mostrar que si la métrica se cambia de escala mediante un factor conforme de , entonces el tensor de curvatura de Riemann cambia a (visto como un tensor (0, 4)): ${\displaystyle e^{2f}}$

${\displaystyle e^{2f}\left(R+\left({\text{Hess}}(f)-df\otimes df+{\frac {1}{2}}\|{\text{grad}}(f)\|^{2}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right)}$

donde denota el producto Kulkarni-Nomizu y Hess es el hessiano. ${\displaystyle {~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}}$

Cálculo de curvatura

Para el cálculo de la curvatura.

• de hipersuperficies y subvariedades ver segunda forma fundamental ,
• en coordenadas ver la lista de fórmulas en geometría de Riemann o derivada covariante ,
• Al mover marcos, consulte Conexión de Cartan y forma de curvatura .
• La ecuación de Jacobi puede ayudar si se sabe algo sobre el comportamiento de las geodésicas .

Referencias

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 1 (Nueva edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3.
• Bosques, FS (1901). "Espacio de curvatura constante". Los Anales de las Matemáticas . 3 (1/4): 71–112. doi :10.2307/1967636. JSTOR  1967636.

Notas