Producto Kulkarni-Nomizu

En el campo matemático de la geometría diferencial , el producto Kulkarni-Nomizu (llamado así por Ravindra Shripad Kulkarni y Katsumi Nomizu ) se define para dos tensores (0, 2) y da como resultado un tensor (0, 4) .

Definición

Si h y k son tensores (0, 2) simétricos , entonces el producto se define mediante: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}):={}&h(X_{1},X_{3})k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4})k(X_{1},X_{3})\\&{}-h(X_{1},X_{4})k(X_{2},X_{3})-h(X_{2},X_{3})k(X_{1},X_{4})\\[3pt]{}={}&{\begin{vmatrix}h(X_{1},X_{3})&h(X_{1},X_{4})\\k(X_{2},X_{3})&k(X_{2},X_{4})\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}k(X_{1},X_{3})&k(X_{1},X_{4})\\h(X_{2},X_{3})&h(X_{2},X_{4})\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

donde X _j son vectores tangentes y es el determinante de la matriz . Nótese que , como se desprende de la segunda expresión. ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k=k{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}h}$

Con respecto a una base del espacio tangente, toma la forma compacta ${\displaystyle \{\partial _{i}\}}$

${\displaystyle (h~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~k)_{ijlm}=(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(\partial _{i},\partial _{j},\partial _{l},\partial _{m})=2h_{i[l}k_{m]j}+2h_{j[m}k_{l]i}\,,}$

donde denota el símbolo de antisimetrización total . ${\displaystyle [\dots ]}$

El producto Kulkarni-Nomizu es un caso especial del producto en el álgebra graduada.

${\displaystyle \bigoplus _{p=1}^{n}S^{2}\left(\Omega ^{p}M\right),}$

donde, sobre elementos simples,

${\displaystyle (\alpha \cdot \beta ){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}(\gamma \cdot \delta )=(\alpha \wedge \gamma )\odot (\beta \wedge \delta )}$

( denota el producto simétrico ). ${\displaystyle \odot }$

Propiedades

El producto de Kulkarni-Nomizu de un par de tensores simétricos tiene las simetrías algebraicas del tensor de Riemann . ^[2] Por ejemplo, en formas espaciales (es decir, espacios de curvatura seccional constante ) y variedades de Riemann suaves bidimensionales, el tensor de curvatura de Riemann tiene una expresión simple en términos del producto de Kulkarni-Nomizu de la métrica consigo misma; es decir, si denotamos por ${\displaystyle g=g_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j}}$

${\displaystyle \operatorname {R} (\partial _{i},\partial _{j})\partial _{k}={R^{l}}_{ijk}\partial _{l}}$

el tensor de curvatura (1, 3) y por

${\displaystyle \operatorname {Rm} =R_{ijkl}dx^{i}\otimes dx^{j}\otimes dx^{k}\otimes dx^{l}}$

el tensor de curvatura de Riemann con , entonces ${\displaystyle R_{ijkl}=g_{im}{R^{m}}_{jkl}}$

${\displaystyle \operatorname {Rm} ={\frac {\operatorname {Scal} }{4}}g~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~g,}$

¿Dónde está la curvatura escalar y ${\displaystyle \operatorname {Scal} =\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} ={R^{i}}_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} (Y,Z)=\operatorname {tr} _{g}\lbrace X\mapsto \operatorname {R} (X,Y)Z\rbrace }$

es el tensor de Ricci , que en componentes se lee . Desarrollando el producto Kulkarni-Nomizu utilizando la definición anterior, se obtiene ${\displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}}$ ${\displaystyle g~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~g}$

${\displaystyle R_{ijkl}={\frac {\operatorname {Scal} }{4}}g_{i[k}g_{l]j}={\frac {\operatorname {Scal} }{2}}(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})\,.}$

Esta es la misma expresión que se indica en el artículo sobre el tensor de curvatura de Riemann .

Por esta misma razón, se utiliza comúnmente para expresar la contribución que la curvatura de Ricci (o más bien, el tensor de Schouten ) y el tensor de Weyl hacen cada uno a la curvatura de una variedad de Riemann . Esta denominada descomposición de Ricci es útil en geometría diferencial .

Cuando hay un tensor métrico g , el producto de Kulkarni–Nomizu de g consigo mismo es el endomorfismo identidad del espacio de 2-formas, Ω ² ( M ), bajo la identificación (usando la métrica) del anillo de endomorfismo End(Ω ² ( M )) con el producto tensorial Ω ² ( M ) ⊗ Ω ² ( M ).

Una variedad de Riemann tiene una curvatura seccional constante k si y solo si el tensor de Riemann tiene la forma

${\displaystyle R={\frac {k}{2}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g}$

donde g es el tensor métrico .

Notas

1. Algunos autores incluyen un factor global ⁠1/2⁠ en la definición.
2. Un tensor (0, 4) que satisface la propiedad de simetría oblicua, la propiedad de simetría de intercambio y la primera identidad de Bianchi (algebraica) (ver simetrías e identidades de la curvatura de Riemann ) se denomina tensor de curvatura algebraica .

Referencias

• Besse, Arthur L. (1987), Variedades de Einstein , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)], vol. 10, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8.
• Gallot, S., Hullin, D. y Lafontaine, J. (1990). Geometría Riemanniana . Springer-Verlag.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)