En el campo matemático de la geometría diferencial , el producto Kulkarni-Nomizu (llamado así por Ravindra Shripad Kulkarni y Katsumi Nomizu ) se define para dos (0, 2) -tensores y da como resultado un (0, 4) -tensor.
Definición
Si h y k son tensores (0, 2) simétricos , entonces el producto se define mediante: [1]
![{\displaystyle {\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(X_{1},X_{2}, X_{3},X_{4}):={}&h(X_{1},X_{3})k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4} )k(X_{1},X_{3})\\&{}-h(X_{1},X_{4})k(X_{2},X_{3})-h(X_{2} ,X_{3})k(X_{1},X_{4})\\[3pt]{}={}&{\begin{vmatrix}h(X_{1},X_{3})&h(X_ {1},X_{4})\\k(X_{2},X_{3})&k(X_{2},X_{4})\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}k( X_{1},X_{3})&k(X_{1},X_{4})\\h(X_{2},X_{3})&h(X_{2},X_{4})\end {vmatrix}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde los X j son vectores tangentes y es el determinante de la matriz . Tenga en cuenta que , como se desprende de la segunda expresión. ![{\displaystyle |\cdot |}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h{~\cuña \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k=k{~\cuña \!\!\!\!\!\!\ !\!\;\bigcirc ~}h}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Con respecto a una base del espacio tangente, toma la forma compacta![{\displaystyle \{\partial _ {i}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (h~\cuña \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~k)_{ijlm}=(h{~\cuña \!\!\!\! \!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(\partial _ {i},\partial _ {j},\partial _ {l},\partial _ {m})=2h_ {i[ l}k_{m]j}+2h_{j[m}k_{l]i}\,,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde denota el símbolo de antisimetrización total .![{\displaystyle [\puntos ]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El producto Kulkarni-Nomizu es un caso especial del producto del álgebra graduada.
![{\displaystyle \bigoplus _{p=1}^{n}S^{2}\left(\Omega ^{p}M\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde, sobre elementos simples,
![{\displaystyle (\alpha \cdot \beta ){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}(\gamma \cdot \delta )=(\alpha \ cuña \gamma )\odot (\beta \wedge \delta )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
( denota el producto simétrico ).![{\displaystyle\odot}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
El producto Kulkarni-Nomizu de un par de tensores simétricos tiene las simetrías algebraicas del tensor de Riemann . [2] Por ejemplo, en formas espaciales (es decir, espacios de curvatura seccional constante ) y variedades de Riemann suaves bidimensionales, el tensor de curvatura de Riemann tiene una expresión simple en términos del producto Kulkarni-Nomizu de la métrica consigo mismo; es decir, si denotamos por![{\displaystyle g=g_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {R} (\partial _ {i},\partial _ {j})\partial _ {k}={R^{l}}_{ijk}\partial _ {l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
el tensor de curvatura (1, 3) y por
![{\displaystyle \operatorname {Rm} =R_{ijkl}dx^{i}\otimes dx^{j}\otimes dx^{k}\otimes dx^{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
el tensor de curvatura de Riemann con , entonces![{\displaystyle R_{ijkl}=g_{im}{R^{m}}_{jkl}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Rm} ={\frac {\operatorname {Scal} }{4}}g~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~g, }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está la curvatura escalar y![{\displaystyle \operatorname {Scal} =\operatorname {tr} _ {g}\operatorname {Ric} ={R^{i}}_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Ric} (Y,Z)=\operatorname {tr} _{g}\lbrace X\mapsto \operatorname {R} (X,Y)Z\rbrace }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es el tensor de Ricci , que en componentes dice . Ampliando el producto Kulkarni-Nomizu usando la definición anterior, se obtiene![{\displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g~\cuña \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R_{ijkl}={\frac {\operatorname {Scal} }{4}}g_{i[k}g_{l]j}={\frac {\operatorname {Scal} }{2}}( g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta es la misma expresión que se indica en el artículo sobre el tensor de curvatura de Riemann .
Por esta misma razón, se usa comúnmente para expresar la contribución que la curvatura de Ricci (o más bien, el tensor de Schouten ) y el tensor de Weyl hacen cada uno a la curvatura de una variedad de Riemann . Esta denominada descomposición de Ricci es útil en geometría diferencial .
Cuando hay un tensor métrico g , el producto Kulkarni-Nomizu de g consigo mismo es el endomorfismo identidad del espacio de 2 formas, Ω 2 ( M ), bajo la identificación (usando la métrica) del anillo de endomorfismo End(Ω 2 ( M )) con el producto tensorial Ω 2 ( M ) ⊗ Ω 2 ( M ).
Una variedad de Riemann tiene curvatura seccional constante k si y solo si el tensor de Riemann tiene la forma
![{\displaystyle R={\frac {k}{2}}g{~\cuña \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde g es el tensor métrico .
Notas
- ^ Algunos autores incluyen un factor general1/2en la definición.
- ^ Un tensor (0, 4) que satisface la propiedad de simetría sesgada, la propiedad de simetría de intercambio y la primera identidad (algebraica) de Bianchi (ver simetrías e identidades de la curvatura de Riemann ) se llama tensor de curvatura algebraica .
Referencias
- Besse, Arthur L. (1987), Variedades de Einstein , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)], vol. 10, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8.
- Gallot, S., Hullin, D. y Lafontaine, J. (1990). Geometría Riemanniana . Springer-Verlag.
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