conexión cartan

Generalization of affine connections

En el campo matemático de la geometría diferencial , una conexión de Cartan es una generalización flexible de la noción de conexión afín . También puede considerarse como una especialización del concepto general de conexión principal , en la que la geometría del haz principal está unida a la geometría del colector base mediante una forma de soldadura . Las conexiones de Cartan describen la geometría de variedades modeladas en espacios homogéneos .

La teoría de las conexiones de Cartan fue desarrollada por Élie Cartan , como parte (y forma de formular) de su método de movimiento de cuadros ( repère mobile ). ^[1] La idea principal es desarrollar una noción adecuada de las formas de conexión y la curvatura utilizando marcos móviles adaptados al problema geométrico particular en cuestión. En relatividad o geometría de Riemann, los marcos ortonormales se utilizan para obtener una descripción de la conexión de Levi-Civita como una conexión de Cartan. Para los grupos de Lie, los marcos Maurer-Cartan se utilizan para ver la forma Maurer-Cartan del grupo como una conexión Cartan.

Cartan reformuló la geometría diferencial de la geometría ( pseudo ) riemanniana , así como la geometría diferencial de variedades equipadas con alguna estructura no métrica, incluidos grupos de Lie y espacios homogéneos . El término "conexión de Cartan" se refiere con mayor frecuencia a la formulación de Cartan de una conexión (pseudo)riemanniana, afín , proyectiva o conforme . Aunque estas son las conexiones de Cartan más utilizadas, son casos especiales de un concepto más general.

Al principio, el enfoque de Cartan parece depender de las coordenadas debido a la elección de marcos que implica. Sin embargo, no lo es, y la noción puede describirse precisamente utilizando el lenguaje de paquetes principales. Las conexiones de Cartan inducen derivadas covariantes y otros operadores diferenciales en ciertos paquetes asociados, de ahí la noción de transporte paralelo. Tienen muchas aplicaciones en geometría y física: consulte el método de marcos en movimiento , el formalismo de Cartan y la teoría de Einstein-Cartan para ver algunos ejemplos.

Introducción

En esencia, la geometría consiste en una noción de congruencia entre diferentes objetos en un espacio. A finales del siglo XIX, las nociones de congruencia surgían típicamente de la acción de un grupo de Lie en el espacio. Los grupos de Lie generalmente actúan de manera bastante rígida, por lo que una geometría de Cartan es una generalización de esta noción de congruencia para permitir la presencia de curvatura . Las geometrías planas de Cartan (aquellas con curvatura cero) son localmente equivalentes a espacios homogéneos, de ahí geometrías en el sentido de Klein.

Una geometría de Klein consta de un grupo de Lie G junto con un subgrupo de Lie H de G. Juntos G y H determinan un espacio homogéneo G / H , sobre el cual el grupo G actúa por traslación hacia la izquierda. El objetivo de Klein era entonces estudiar objetos que vivían en el espacio homogéneo y que eran congruentes por la acción de G. Una geometría de Cartan amplía la noción de geometría de Klein al adjuntar a cada punto de una variedad una copia de una geometría de Klein y considerar esta copia como tangente a la variedad. Así, la geometría de la variedad es infinitamente idéntica a la de la geometría de Klein, pero globalmente puede ser bastante diferente. En particular, las geometrías de Cartan ya no tienen una acción bien definida de G sobre ellas. Sin embargo, una conexión de Cartan proporciona una forma de conectar los espacios modelo infinitesimales dentro de la variedad mediante transporte paralelo .

Motivación

Considere una superficie lisa S en el espacio euclidiano tridimensional R ³ . Cerca de cualquier punto, S puede aproximarse por su plano tangente en ese punto, que es un subespacio afín del espacio euclidiano. Los subespacios afines son superficies modelo : son las superficies más simples en R ³ y son homogéneas bajo el grupo euclidiano del plano, por lo que son geometrías de Klein en el sentido del programa Erlangen de Felix Klein . Cada superficie lisa S tiene un plano afín tangente a ella en cada punto. La familia de todos esos planos en R ³ , uno unido a cada punto de S , se llama congruencia de planos tangentes. Un plano tangente se puede "hacer rodar" a lo largo de S y, al hacerlo, el punto de contacto traza una curva en S. Por el contrario, dada una curva en S , el plano tangente puede rodar a lo largo de esa curva. Esto proporciona una manera de identificar los planos tangentes en diferentes puntos a lo largo de la curva mediante transformaciones afines (de hecho, euclidianas) y es un ejemplo de una conexión de Cartan llamada conexión afín .

Otro ejemplo se obtiene reemplazando los planos, como superficies modelo, por esferas, que son homogéneas bajo el grupo de transformaciones conformes de Möbius. Ya no existe una única esfera tangente a una superficie lisa S en cada punto, puesto que el radio de la esfera es indeterminado. Esto se puede solucionar suponiendo que la esfera tiene la misma curvatura media que S en el punto de contacto. Estas esferas pueden nuevamente rodarse a lo largo de curvas en S , y esto equipa a S con otro tipo de conexión de Cartan llamada conexión conforme .

Los geómetras diferenciales de finales del siglo XIX y principios del XX estaban muy interesados ​​en utilizar familias de modelos, como planos o esferas, para describir la geometría de las superficies. Una familia de espacios modelo unidos a cada punto de una superficie S se llama congruencia : en los ejemplos anteriores existe una elección canónica de tal congruencia. Una conexión de Cartan proporciona una identificación entre los espacios modelo en la congruencia a lo largo de cualquier curva en S. Una característica importante de estas identificaciones es que el punto de contacto del espacio modelo con S siempre se mueve con la curva. Esta condición genérica es característica de las conexiones de Cartan.

En el tratamiento moderno de las conexiones afines, el punto de contacto se considera el origen en el plano tangente (que entonces es un espacio vectorial), y el movimiento del origen se corrige mediante una traslación, por lo que las conexiones de Cartan no son necesarias. Sin embargo, no existe una forma canónica de hacer esto en general: en particular para la conexión conforme de una congruencia de esfera, no es posible separar el movimiento del punto de contacto del resto del movimiento de forma natural.

En ambos ejemplos el espacio modelo es un espacio homogéneo G / H .

• En el primer caso, G / H es el plano afín, siendo G = Aff( R ² ) el grupo afín del plano y H = GL(2) el grupo lineal general correspondiente.
• En el segundo caso, G / H es la esfera conforme (o celeste ), con G = O ⁺ (3,1) el grupo (ortocrónico) de Lorentz , y H el estabilizador de una línea nula en R ^3,1 .

La geometría de Cartan de S consiste en una copia del espacio modelo G / H en cada punto de S ( con un punto de contacto marcado) junto con una noción de "transporte paralelo" a lo largo de curvas que identifica estas copias utilizando elementos de G. Esta noción de transporte paralelo es genérica en el sentido intuitivo de que el punto de contacto siempre se mueve a lo largo de la curva.

En general, sea G un grupo con un subgrupo H y M una variedad de la misma dimensión que G / H . Entonces, en términos generales, una conexión de Cartan en M es una conexión G que es genérica con respecto a una reducción a H.

Conexiones afines

Una conexión afín en una variedad M es una conexión en el paquete marco (haz principal) de M (o equivalentemente, una conexión en el paquete tangente (haz vectorial) de M ). Un aspecto clave del punto de vista de la conexión de Cartan es elaborar esta noción en el contexto de los paquetes principales (que podría denominarse la "teoría general o abstracta de los marcos").

Sea H un grupo de Lie , su álgebra de Lie . Entonces, un haz H principal es un haz de fibras P sobre M con una acción suave de H sobre P que es libre y transitiva sobre las fibras. Por lo tanto , P es una variedad suave con un mapa suave π : P → M que se parece localmente al paquete trivial M × H → M . El paquete de marcos de M es un paquete de marcos GL ( n ) principal , mientras que si M es una variedad de Riemann , entonces el paquete de marcos ortonormal es un paquete de marcos O ( n ) principal. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Sea R _h la acción (derecha) de h ∈ H sobre P . La derivada de esta acción define un campo vectorial vertical en P para cada elemento ξ de : si h ( t ) es un subgrupo de 1 parámetro con h (0) = e (el elemento identidad) y h '( 0 ) = ξ , entonces el campo vectorial vertical correspondiente es ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle X_{\xi }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}R_{h(t)}{\biggr |}_{t=0}.\,}$

Una conexión H principal en P es una forma 1 en P , con valores en el álgebra de Lie de H , tal que ${\displaystyle \omega \colon TP\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

1. ${\displaystyle {\hbox{Ad}}(h)(R_{h}^{*}\omega )=\omega }$
2. para cualquiera , ω ( X _ξ ) = ξ (idénticamente en P ). ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$

La idea intuitiva es que ω ( X ) proporciona una componente vertical de X , utilizando el isomorfismo de las fibras de π con H para identificar vectores verticales con elementos de . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Los haces de marcos tienen una estructura adicional llamada forma de soldadura , que puede usarse para extender una conexión principal en P a una trivialización del haz tangente de P llamada paralelismo absoluto .

En general, supongamos que M tiene dimensión n y H actúa sobre R ⁿ (esto podría ser cualquier espacio vectorial real de n dimensiones). Una forma de soldadura en un paquete H principal P sobre M es una forma θ con valor R ⁿ de 1 : T P → R ⁿ que es horizontal y equivariante de modo que induce un homomorfismo de paquete desde T M al paquete asociado P × _H R ⁿ . Además, se requiere que sea un isomorfismo de paquete. Los paquetes de cuadros tienen una forma de soldadura (canónica o tautológica) que envía un vector tangente X ∈ T _p P a las coordenadas de d π _p ( X ) ∈ T _{π ( p )} M con respecto al cuadro p .

El par ( ω , θ ) (una conexión principal y una forma de soldadura) define una forma 1 η en P , con valores en el álgebra de Lie del producto semidirecto G de H con R ⁿ , que proporciona un isomorfismo de cada espacio tangente T _p P con . Induce una conexión principal α en el paquete G principal asociado P × _H G. Esta es una conexión de Cartan. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Las conexiones de Cartan generalizan las conexiones afines de dos maneras.

• La acción de H sobre R ⁿ no tiene por qué ser eficaz. Esto permite, por ejemplo, que la teoría incluya conexiones de espín, en las que H es el grupo de espín Spin( n ) en lugar del grupo ortogonal O( n ).
• No es necesario que el grupo G sea un producto semidirecto de H con R ⁿ .

Geometrías de Klein como espacios modelo.

El programa Erlangen de Klein sugirió que la geometría podría considerarse como un estudio de espacios homogéneos : en particular, es el estudio de muchas geometrías de interés para los geómetras del siglo XIX (y anteriores). Una geometría de Klein consistía en un espacio, junto con una ley para el movimiento dentro del espacio (análoga a las transformaciones euclidianas de la geometría euclidiana clásica ) expresada como un grupo de transformaciones de Lie . Estos espacios generalizados resultan ser variedades suaves y homogéneas difeomorfas al espacio cociente de un grupo de Lie por un subgrupo de Lie . La estructura extra diferencial que poseen estos espacios homogéneos permite estudiar y generalizar su geometría mediante el cálculo.

El enfoque general de Cartan es comenzar con una geometría de Klein suave , dada por un grupo de Lie G y un subgrupo de Lie H , con álgebras de Lie asociadas y , respectivamente. Sea P el espacio homogéneo principal subyacente de G . Una geometría de Klein es el espacio homogéneo dado por el cociente P / H de P por la acción derecha de H. Hay una acción H derecha sobre las fibras de la proyección canónica. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

π : P → P / H

dado por R _h g = gh . Además, cada fibra de π es una copia de H. P tiene la estructura de un paquete H principal sobre P / H . ^[2]

Un campo vectorial X sobre P es vertical si d π ( X ) = 0. Cualquier ξ ∈ da lugar a un campo vectorial vertical canónico X _ξ al tomar la derivada de la acción derecha del subgrupo de 1 parámetro de H asociado a ξ. La forma de Maurer-Cartan η de P es la forma univaluada en P que identifica cada espacio tangente con el álgebra de Lie. Tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. Ad( h ) R _h ^* η = η para todo h en H
2. η ( X _ξ ) = ξ para todo ξ en ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
3. para todo g ∈ P , η restringe un isomorfismo lineal de T _g P con (η es un paralelismo absoluto en P ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Además de estas propiedades, η satisface la ecuación de estructura (o estructural )

${\displaystyle d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta ,\eta ]=0.}$

A la inversa, se puede demostrar que dada una variedad M y un paquete H principal P sobre M , y una forma 1 η con estas propiedades, entonces P es localmente isomorfo como un paquete H al paquete homogéneo principal G → G / H . La ecuación de estructura es la condición de integrabilidad para la existencia de tal isomorfismo local.

Una geometría de Cartan es una generalización de una geometría suave de Klein, en la que no se asume la ecuación de estructura, sino que se utiliza para definir una noción de curvatura . Por tanto, se dice que las geometrías de Klein son los modelos planos de las geometrías de Cartan. ^[3]

Pseudogrupos

Las conexiones de Cartan están estrechamente relacionadas con estructuras de pseudogrupos en una variedad. Se piensa que cada uno está modelado sobre una geometría de Klein G / H , de manera similar a la forma en que la geometría de Riemann está modelada sobre el espacio euclidiano . En una variedad M , uno imagina adjuntar a cada punto de M una copia del espacio modelo G / H . Luego , la simetría del espacio modelo se incorpora a la geometría de Cartan o estructura de pseudogrupo al postular que los espacios modelo de puntos cercanos están relacionados mediante una transformación en G. La diferencia fundamental entre una geometría de Cartan y una geometría de pseudogrupo es que la simetría de una geometría de Cartan relaciona puntos infinitamente cercanos mediante una transformación infinitesimal en G (es decir, un elemento del álgebra de Lie de G ) y la noción análoga de simetría para una estructura de pseudogrupo. se aplica a puntos que están físicamente separados dentro del colector.

El proceso de unir espacios a puntos y las simetrías correspondientes se puede realizar concretamente mediante el uso de sistemas de coordenadas especiales . ^[4] A cada punto p ∈ M , se le da una vecindad U _p de p junto con un mapeo φ _p  : U _p → G / H . De esta manera, el espacio modelo se adjunta a cada punto de M realizando M localmente en cada punto como un subconjunto abierto de G / H . Pensamos en esto como una familia de sistemas de coordenadas en M , parametrizados por los puntos de M . Dos de estos sistemas de coordenadas parametrizados φ y φ′ están relacionados con H si hay un elemento h _p ∈ H , parametrizado por p , tal que

φ′ _pags = h _pags φ _pags . ^[5]

Esta libertad corresponde aproximadamente a la noción de calibre de los físicos .

Los puntos cercanos se relacionan uniéndolos con una curva. Supongamos que p y p ′ son dos puntos en M unidos por una curva p _t . Entonces p _t proporciona una noción de transporte del espacio modelo a lo largo de la curva. ^[6] Sea τ _t  : G / H → G / H el mapa compuesto (definido localmente)

τ _t = φ _{pag t} o φ _{pag 0} ⁻¹ .

Intuitivamente, τ _t es el mapa de transporte. Una estructura de pseudogrupo requiere que τ _t sea una simetría del espacio modelo para cada t : τ _t ∈ G . Una conexión de Cartan requiere sólo que la derivada de τ _t sea una simetría del espacio modelo: τ′ ₀ ∈ g , el álgebra de Lie de G .

Como es típico de Cartan, una motivación para introducir la noción de conexión de Cartan fue estudiar las propiedades de los pseudogrupos desde un punto de vista infinitesimal. Una conexión de Cartan define un pseudogrupo precisamente cuando la derivada del mapa de transporte τ′ puede integrarse , recuperando así un mapa de transporte verdadero ( con valor G ) entre los sistemas de coordenadas. Por lo tanto, existe una condición de integrabilidad en juego, y el método de Cartan para realizar las condiciones de integrabilidad fue introducir una forma diferencial .

En este caso, τ′ ₀ define una forma diferencial en el punto p de la siguiente manera. Para una curva γ( t ) = p _t en M que comienza en p , podemos asociar el vector tangente X , así como un mapa de transporte τ _t ^γ . Tomar la derivada determina un mapa lineal.

${\displaystyle X\mapsto \left.{\frac {d}{dt}}\tau _{t}^{\gamma }\right|_{t=0}=\theta (X)\in {\mathfrak {g}}.}$

Entonces θ define una forma diferencial 1 con valor de g en M .

Sin embargo, esta forma depende de la elección del sistema de coordenadas parametrizado. Si h  : U → H es una relación H entre dos sistemas de coordenadas parametrizados φ y φ′, entonces los valores correspondientes de θ también están relacionados por

${\displaystyle \theta _{p}^{\prime }=Ad(h_{p}^{-1})\theta _{p}+h_{p}^{*}\omega _{H},}$

donde ω _H es la forma Maurer-Cartan de H.

Definicion formal

Una geometría de Cartan modelada en un espacio homogéneo G / H puede verse como una deformación de esta geometría que permite la presencia de curvatura . Por ejemplo:

• una variedad de Riemann puede verse como una deformación del espacio euclidiano ;
• una variedad de Lorentz puede verse como una deformación del espacio de Minkowski ;
• una variedad conforme puede verse como una deformación de la esfera conforme ;
• una variedad equipada con una conexión afín puede verse como una deformación de un espacio afín .

Hay dos enfoques principales para la definición. En ambos enfoques, M es una variedad suave de dimensión n , H es un grupo de Lie de dimensión m , con álgebra de Lie , y G es un grupo de Lie de dimensión n + m , con álgebra de Lie , que contiene a H como subgrupo. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Definición mediante transiciones de calibre

Una conexión de Cartan consiste ^{[7] [8]} en un atlas de coordenadas de conjuntos abiertos U en M , junto con una forma θ _U de 1 valor definida en cada gráfico tal que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. θ _U  : T U → . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
2. θ _U mod  : T _u U → es un isomorfismo lineal para todo u ∈ U . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$
3. Para cualquier par de cartas U y V en el atlas, existe una aplicación suave h  : U ∩ V → H tal que

${\displaystyle \theta _{V}=Ad(h^{-1})\theta _{U}+h^{*}\omega _{H},\,}$

donde ω _H es la forma Maurer -Cartan de H.

Por analogía con el caso en el que θ _U proviene de sistemas de coordenadas, la condición 3 significa que φ _U está relacionado con φ _V por h .

La curvatura de una conexión de Cartan consiste en un sistema de 2 formas definidas en las cartas, dada por

${\displaystyle \Omega _{U}=d\theta _{U}+{\tfrac {1}{2}}[\theta _{U},\theta _{U}].}$

Ω _U satisface la condición de compatibilidad:

Si las formas θ _U y θ _V están relacionadas por una función h  : U ∩ V → H , como arriba, entonces Ω _V = Ad( h ⁻¹ ) Ω _U

La definición se puede independizar de los sistemas de coordenadas formando el espacio cociente

${\displaystyle P=(\coprod _{U}U\times H)/\sim }$

de la unión disjunta sobre toda U en el atlas. La relación de equivalencia ~ se define en los pares ( x , h ₁ ) ∈ U ₁ × H y ( x , h ₂ ) ∈ U ₂ × H , por

( x , h ₁ ) ~ ( x , h ₂ ) si y sólo si x ∈ U ₁ ∩ U ₂ , θ _{U 1} está relacionado con θ _{U 2} por h , y h ₂ = h ( x ) ⁻¹ h ₁ .

Entonces P es un paquete H principal en M , y la condición de compatibilidad en las formas de conexión θ _U implica que se elevan a una forma η de valor 1 definida en P (ver más abajo). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Definición mediante paralelismo absoluto

Sea P un paquete principal H sobre M . Entonces una conexión de Cartan ^[9] es una forma η de valor 1 en P tal que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. para todo h en H , Ad( h ) R _h ^* η = η
2. para todo ξ en , η ( X _ξ ) = ξ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
3. para todo p en P , la restricción de η define un isomorfismo lineal desde el espacio tangente T _p P a . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La última condición a veces se llama condición de Cartan : significa que η define un paralelismo absoluto en P. La segunda condición implica que η ya es inyectivo en vectores verticales y que el mod η de forma 1 , con valores en , es horizontal. El espacio vectorial es una representación de H usando la representación adjunta de H en , y la primera condición implica que η mod es equivariante. Por lo tanto, define un homomorfismo de paquete desde TM al paquete asociado . La condición de Cartan es equivalente a que este homomorfismo de haz sea un isomorfismo, de modo que η mod es una forma de soldadura . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

La curvatura de una conexión de Cartan es la forma Ω de 2 valores definida por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ].}$

Tenga en cuenta que esta definición de conexión de Cartan es muy similar a la de conexión principal . Sin embargo, existen varias diferencias importantes. Primero, la forma 1 η toma valores en , pero solo es equivariante bajo la acción de H . De hecho, no puede ser equivariante en el grupo G completo porque no hay cesta G ni acción G. En segundo lugar, la forma 1 es un paralelismo absoluto, lo que intuitivamente significa que η proporciona información sobre el comportamiento de direcciones adicionales en el paquete principal (en lugar de ser simplemente un operador de proyección en el espacio vertical). Concretamente, la existencia de una forma de soldadura une (o suelda) la conexión de Cartan a la topología diferencial subyacente de la variedad. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Una interpretación intuitiva de la conexión de Cartan en esta forma es que determina una fractura del haz principal tautológico asociado a una geometría de Klein. Por tanto, las geometrías de Cartan son análogas deformadas de las geometrías de Klein. Esta deformación es aproximadamente una prescripción para adjuntar una copia del espacio modelo G / H a cada punto de M y pensar en ese espacio modelo como tangente (e infinitamente idéntico a) la variedad en un punto de contacto. La fibra del haz tautológico G → G / H de la geometría de Klein en el punto de contacto se identifica entonces con la fibra del haz P . Cada una de estas fibras (en G ) lleva una forma de Maurer-Cartan para G , y la conexión de Cartan es una forma de ensamblar estas formas de Maurer-Cartan reunidas a partir de los puntos de contacto en una forma 1 coherente η definida en todo el paquete. El hecho de que sólo los elementos de H contribuyan a la ecuación de Maurer-Cartan Ad( h ) R _h ^* η = η tiene la interpretación intuitiva de que cualquier otro elemento de G alejaría el espacio modelo del punto de contacto, por lo que ya no ser tangente a la variedad.

A partir de la conexión de Cartan, definida en estos términos, se puede recuperar una conexión de Cartan como un sistema de formas 1 en la variedad (como en la definición de calibre) tomando una colección de trivializaciones locales de P dadas como secciones s _U  : U → P y dejando que θ _U = s ^* η sean los retrocesos de la conexión de Cartan a lo largo de las secciones.

Como conexiones principales

Otra forma de definir una conexión de Cartan es como una conexión principal en un determinado paquete G principal . Desde esta perspectiva, una conexión de Cartan consiste en

• un paquete G principal Q sobre M
• una conexión G principal α en Q (la conexión de Cartan)
• un subpaquete H principal P de Q (es decir, una reducción del grupo estructural)

tal que el retroceso η de α a P satisface la condición de Cartan.

La conexión principal α en Q se puede recuperar de la forma η tomando Q como el paquete asociado P × _H G. Por el contrario , la forma η se puede recuperar de α tirando hacia atrás a lo largo de la inclusión P ⊂ Q.

Dado que α es una conexión principal, induce una conexión en cualquier paquete asociado a Q. En particular, el paquete Q × _G G / H de espacios homogéneos sobre M , cuyas fibras son copias del espacio modelo G / H , tiene una conexión. La reducción del grupo estructural a H viene dada de manera equivalente por una sección s de E = Q × _G G / H. La fibra de sobre x en M puede verse como el espacio tangente en s ( x ) a la fibra de Q × _G G / H sobre x . Por tanto, la condición de Cartan tiene la interpretación intuitiva de que los espacios modelo son tangentes a M a lo largo de la sección s . Dado que esta identificación de espacios tangentes es inducida por la conexión, los puntos marcados dados por s siempre se mueven bajo transporte paralelo. ${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

Definición mediante una conexión de Ehresmann

Otra forma más de definir una conexión de Cartan es con una conexión de Ehresmann en el paquete E = Q × _G G / H de la sección anterior. ^[10] Una conexión de Cartan consiste entonces en

• Un haz de fibras π : E → M con fibra G / H y espacio vertical V E ⊂ T E .
• Una sección s  : M → E .
• Una conexión G θ : T E → V E tal que

s ^* θ _x  : T _x M → V _{s ( x )} E es un isomorfismo lineal de espacios vectoriales para todo x ∈ M .

Esta definición hace rigurosas las ideas intuitivas presentadas en la introducción. En primer lugar, se puede considerar que las secciones preferidas s identifican un punto de contacto entre el colector y el espacio tangente. La última condición, en particular, significa que el espacio tangente de M en x es isomorfo al espacio tangente del espacio modelo en el punto de contacto. Entonces los espacios modelo son, de esta manera, tangentes a la variedad.

Desarrollo de una curva en el espacio modelo en x ₀

Esta definición también pone de relieve la idea de desarrollo . Si x _t es una curva en M , entonces la conexión de Ehresmann en E proporciona un mapa de transporte paralelo asociado τ _t  : E _{x t} → E _{x 0} desde la fibra sobre el punto final de la curva hasta la fibra sobre el punto inicial. En particular, dado que E está equipado con una sección preferida s , los puntos s ( x _t ) se transportan de regreso a la fibra sobre x ₀ y trazan una curva en E _{x 0} . Esta curva se denomina entonces desarrollo _de la curva xt .

Para demostrar que esta definición es equivalente a las otras anteriores, se debe introducir una noción adecuada de marco móvil para el paquete E. En general esto es posible para cualquier conexión G en un haz de fibras con grupo estructural G. Consulte Conexión Ehresmann#Paquetes asociados para obtener más detalles.

Conexiones especiales de Cartan

Conexiones reductivas de Cartan

Sea P un paquete H principal en M , equipado con una conexión de Cartan η : T P → . Si es un módulo reductivo para H , lo que significa que admite una división de espacios vectoriales invariante Ad( H ) , entonces el componente de η generaliza la forma de soldadura para una conexión afín . ^[11] En detalle, η se divide en y componentes: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

η = η + η . _{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

Tenga en cuenta que la forma 1 η es una conexión H principal en el paquete de Cartan original P. Además, la forma 1 η satisface: _{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

η ( X ) = 0 para todo vector vertical X ∈ T P . (η es horizontal ). _{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

R _h ^* η = Ad( h ⁻¹ )η para cada h ∈ H . (η es equivariante bajo la acción H derecha .) _{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

En otras palabras, η es una forma de soldadura para el paquete P.

Por lo tanto, P equipado con la forma η define una estructura H (de primer orden) en M. La forma η define una conexión en la estructura H. _{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$}

Conexiones de Cartan parabólicas

Si es un álgebra de Lie semisimple con subálgebra parabólica (es decir , contiene una subálgebra máxima resoluble de ) y G y P son grupos de Lie asociados, entonces una conexión de Cartan modelada en ( G , P ,, ) se llama geometría de Cartan parabólica , o simplemente una geometría parabólica . Una característica distintiva de las geometrías parabólicas es una estructura de álgebra de Lie en sus espacios cotangentes : esto surge porque el subespacio perpendicular ^⊥ de in con respecto a la forma Killing de es una subálgebra de , y la forma Killing induce una dualidad natural entre ^⊥ y . Así, el paquete asociado a ^⊥ es isomorfo al paquete cotangente . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Las geometrías parabólicas incluyen muchas de las de interés en la investigación y aplicaciones de las conexiones de Cartan, como los siguientes ejemplos:

• Conexiones conformes : Aquí G = SO ( p +1, q +1), y P es el estabilizador de un rayo nulo en R ⁿ⁺² .
• Conexiones proyectivas : Aquí G = PGL (n+1) y P es el estabilizador de un punto en RP ⁿ .
• Estructuras CR y conexiones Cartan-Chern-Tanaka: G = PSU ( p +1, q +1), P = estabilizador de un punto sobre el hipercuadrico nulo proyectivo .
• Conexiones proyectivas de contacto: ^[12] Aquí G = SP (2n+2) y P es el estabilizador del rayo generado por el primer vector de base estándar en R ⁿ⁺² .
• Distribuciones genéricas de rango 2 en 5 variedades: aquí G = Aut ( O _s ) es el grupo de automorfismo del álgebra O _s de octoniones divididos, un subgrupo cerrado de SO (3,4), y P es la intersección de G con el estabilizador de la línea isotrópica atravesada por el primer vector de base estándar en R ⁷ visto como los octoniones divididos puramente imaginarios (complemento ortogonal del elemento unitario en O _s ). ^[13]

Operadores diferenciales asociados

diferenciación covariante

Supongamos que M es una geometría de Cartan modelada en G / H , y sea ( Q , α ) el paquete G principal con conexión, y ( P , η ) la reducción correspondiente a H con η igual al retroceso de α . Sea V una representación de G y forme el paquete de vectores V = Q × _G V sobre M. Entonces la conexión G principal α en Q induce una derivada covariante en V , que es un operador diferencial lineal de primer orden

${\displaystyle \nabla \colon \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )\to \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} ),}$

donde denota el espacio de k -formas en M con valores en V de modo que es el espacio de secciones de V y es el espacio de secciones de Hom(T M , V ). Para cualquier sección v de V , la contracción de la derivada covariante ∇ v con un campo vectorial X en M se denota ∇ _X v y satisface la siguiente regla de Leibniz: ${\displaystyle \Omega _{M}^{k}(\mathbf {V} )}$ ${\displaystyle \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )}$ ${\displaystyle \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} )}$

${\displaystyle \nabla _{X}(fv)=df(X)v+f\nabla _{X}v}$

para cualquier función suave f en M .

La derivada covariante también se puede construir a partir de la conexión de Cartan η en P. De hecho, construirlo de esta manera es un poco más general en el sentido de que V no necesita ser una representación completa de G. ^[14] Supongamos en cambio que V es un módulo ( , H ): una representación del grupo H con una representación compatible del álgebra de Lie . Recuerde que una sección v del paquete de vectores inducido V sobre M puede considerarse como un mapa H -equivariante P → V. Éste es el punto de vista que adoptaremos. Sea X un campo vectorial en M . Elija cualquier elevación invariante por la derecha al paquete tangente de P . Definir ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$

${\displaystyle \nabla _{X}v=dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v}$.

Para demostrar que ∇ v está bien definido, se debe:

1. ser independiente del ascensor elegido ${\displaystyle {\bar {X}}}$
2. ser equivariante, de modo que descienda a una sección del paquete V .

Para (1), la ambigüedad al seleccionar una elevación de X invariante a la derecha es una transformación de la forma donde se induce el campo vectorial vertical invariante a la derecha desde . Entonces, al calcular la derivada covariante en términos de la nueva sustentación , se tiene ${\displaystyle X\mapsto X+X_{\xi }}$ ${\displaystyle X_{\xi }}$ ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}+X_{\xi }}$

${\displaystyle \nabla _{X}v=dv({\bar {X}}+X_{\xi })+\eta ({\bar {X}}+X_{\xi }))\cdot v}$

${\displaystyle =dv({\bar {X}})+dv(X_{\xi })+\eta ({\bar {X}})\cdot v+\xi \cdot v}$

${\displaystyle =dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v}$

ya que tomando el diferencial de la propiedad de equivarianza en h igual al elemento identidad. ${\displaystyle \xi \cdot v+dv(X_{\xi })=0}$ ${\displaystyle h\cdot R_{h}^{*}v=v}$

Para (2), observe que dado que v es equivariante e invariante por la derecha, es equivariante. Por otro lado, dado que η también es equivariante, se deduce que también es equivariante. ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle dv({\bar {X}})}$ ${\displaystyle \eta ({\bar {X}})\cdot v}$

La derivada fundamental o universal

Supongamos que V es sólo una representación del subgrupo H y no necesariamente del grupo mayor G. Sea el espacio de formas k diferenciales valoradas en V en P . En presencia de una conexión Cartan, existe un isomorfismo canónico. ${\displaystyle \Omega ^{k}(P,V)}$

${\displaystyle \varphi \colon \Omega ^{k}(P,V)\cong \Omega ^{0}(P,V\otimes \bigwedge \nolimits ^{k}{\mathfrak {g}}^{*})}$

dado por dónde y . ${\displaystyle \varphi (\beta )(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{k})=\beta (\eta ^{-1}(\xi _{1}),\dots ,\eta ^{-1}(\xi _{k}))}$ ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{k}(P,V)}$ ${\displaystyle \xi _{j}\in {\mathfrak {g}}}$

Para cada k , la derivada exterior es un operador diferencial de operador de primer orden

${\displaystyle d\colon \Omega ^{k}(P,V)\rightarrow \Omega ^{k+1}(P,V)\,}$

y entonces, para k =0, define un operador diferencial

${\displaystyle \varphi \circ d\colon \Omega ^{0}(P,V)\rightarrow \Omega ^{0}(P,V\otimes {\mathfrak {g}}^{*}).\,}$

Debido a que η es equivariante, si v es equivariante, también lo es Dv  := φ (d v ). De ello se deduce que este compuesto desciende a un operador diferencial de primer orden D desde secciones de V = P × _H V hasta secciones del paquete . Esto se llama derivada fundamental o universal, u operador D fundamental. ${\displaystyle P\times _{H}(\mathbf {V} \otimes {\mathfrak {g}}^{*})}$

Notas

1. Aunque Cartan sólo comenzó a formalizar esta teoría en casos particulares en la década de 1920 (Cartan 1926), hizo mucho uso de la idea general mucho antes. El punto culminante de su notable artículo de 1910 sobre sistemas pfaffianos en cinco variables es la construcción de una conexión de Cartan modelada en un espacio homogéneo de 5 dimensiones para el excepcional grupo de Lie G 2 , que él y Engels habían descubierto de forma independiente en 1894.
2. Chevalley 1946, pag. 110.
3. Véase R. Hermann (1983), Apéndice 1-3 de Cartan (1951).
4. Esta parece ser la forma en que Cartan ve la conexión. Cf. Cartan 1923, pág. 362; Cartan 1924, pág. 208 especialmente ..un repère définissant un système de coordonnées projectives... ; Cartan 1951, pág. 34. Los lectores modernos pueden llegar a diversas interpretaciones de estas afirmaciones, cf. Notas de Hermann de 1983 en Cartan 1951, págs. 384–385, 477.
5. Más precisamente, se requiere que h _p esté en el grupo de isotropía de φ _p ( p ), que es un grupo en G isomorfo a H.
6. En general, este no es el mapa rodante descrito en la motivación, aunque está relacionado.
7. Sharpe 1997.
8. Lumiste 2001a.
9. Esta es la definición estándar. Cfr. Hermann (1983), Apéndice 2 de Cartan 1951; Kobayashi 1970, pág. 127; Sharpe 1997; Eslovaco 1997.
10. Ehresmann 1950, Kobayashi 1957, Lumiste 2001b.
11. Para un tratamiento de las conexiones afines desde este punto de vista, consulte Kobayashi y Nomizu (1996, volumen 1).
12. Véase, por ejemplo, Fox (2005).
13. Sagerschnig 2006; Čap y Sagerschnig 2009.
14. Véase, por ejemplo, Čap & Gover (2002, Definición 2.4).

Referencias

• Čap, Andreas; Gover, A. Rod (2002), "Cálculos de tractores para geometrías parabólicas]", Transactions of the American Mathematical Society , 354 (4): 1511–1548, doi : 10.1090/S0002-9947-01-02909-9.
• Čap, A.; Sagerschnig, K. (2009), "Sobre la estructura conforme de Nurowski asociada a una distribución genérica de rango dos en la dimensión cinco", Journal of Geometry and Physics , 59 (7): 901–912, arXiv : 0710.2208 , Bibcode : 2007arXiv0710.2208C, doi :10.1016/j.geomphys.2009.04.001, S2CID  12850650.
• Cartan, Élie (1910), "Les systèmes de Pfaff à cinq variables et les équations aux dérivées partielles du second ordre", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 27 : 109–192, doi : 10.24033/asens.618.
• Cartan, Élie (1923), "Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24033/asens.751.
• Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion projective", Bulletin de la Société Mathématique de France , 52 : 205–241, doi : 10.24033/bsmf.1053.
• Cartan, Élie (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica , 48 (1–2): 1–42, doi : 10.1007/BF02629755.
• Cartan, Élie (1951), con apéndices de Robert Hermann (ed.), Geometry of Riemannian Spaces (traducción de James Glazebrook de Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , 2.ª ed.), Math Sci Press, Massachusetts (publicado en 1983) , ISBN 978-0-915692-34-7.
• Chevalley, C. (1946), La teoría de los grupos de mentiras , Princeton University Press, ISBN 0-691-08052-6.
• Ehresmann, C. (1950), "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiel", Colloque de Topologie, Bruxelles : 29–55, SEÑOR  0042768.
• Fox, DJF (2005), "Estructuras proyectivas de contacto", Indiana University Mathematics Journal , 54 (6): 1547–1598, arXiv : math/0402332 , doi :10.1512/iumj.2005.54.2603, S2CID  17061926.
• Griffiths, Phillip (1974), "Sobre el método de Cartan de grupos de Lie y marcos móviles aplicados a cuestiones de unicidad y existencia en geometría diferencial", Duke Mathematical Journal , 41 (4): 775–814, doi :10.1215/S0012-7094- 74-04180-5, S2CID  12966544.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 1 y 2 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• Kobayashi, Shoshichi (1970), Grupos de transformación en geometría diferencial (1ª ed.), Springer, ISBN 3-540-05848-6.
• Kobayashi, Shoshichi (1957), "Teoría de las conexiones", Annali di Matematica Pura ed Applicata , Serie 4, 43 : 119–194, doi : 10.1007/BF02411907 , S2CID  120972987.
• Lumiste, Ü. (2001a) [1994], "Conexión conforme", en Hazewinkel, Michiel (ed.), Enciclopedia de Matemáticas , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Lumiste, Ü. (2001b) [1994], "Conexiones en una variedad", en Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Sagerschnig, K. (2006), "Octoniones divididos y distribuciones genéricas de rango dos en la dimensión cinco", Archivum Mathematicum , 42 (Suppl): 329–339.
• Sharpe, RW (1997), Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein , Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-94732-9.
• Slovák, Jan (1997), Geometrías parabólicas (PDF) , notas de conferencias de investigación, parte de la disertación DrSc, Universidad de Masaryk, archivada desde el original (PDF) el 30 de marzo de 2022.

Libros

• Kobayashi, Shoshichi (1972), Grupos de transformaciones en geometría diferencial (Clásicos de matemáticas, edición de 1995), Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-58659-3.

La sección 3. Conexiones de Cartan [páginas 127-130] trata las conexiones conformes y proyectivas de manera unificada.

enlaces externos

• Ü. Lumiste (2001) [1994], "Conexión afín", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press